第一篇 专题一 第3讲 抛体运动-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考物理复习讲义课件（广东专用）（课件PPT+word教案）

力与运动 专题一 第3讲　抛体运动 1.掌握运动的合成与分解，掌握解决曲线运动的一般方法。 2.会灵活分解平抛、斜抛运动及解决三维空间中抛体运动问题的方法。 目标要求 内容索引 专题强化练 考点二　平抛运动 考点一　运动的合成与分解 考点三　斜抛运动 3 运动的合成与分解 考点一 　 (多选)(2024·广东佛山市二模)如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3 m的待切割玻璃板以0.4 m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5 m/s，下列说法正确的是(sin 37°=0.6) A.切割一块矩形玻璃需要10 s B.切割一块矩形玻璃需要6 s C.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°， 　可使割下的玻璃板呈矩形 D.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°， 　可使割下的玻璃板呈矩形 例1 √ √ 金刚石切割刀的移动速度0.5 m/s是割刀对地的速度，切割刀的移动轨迹亦是割刀对地面的相对轨迹，为使割下的玻璃板呈矩形，则割刀相对玻璃板的速度v3方向应垂直于玻璃板侧边，如图所示，切割一块玻 璃需要的时间为t===10 s，故A正确，B错误； 则有cos θ==0.8，解得θ=37°，故D错误，C正确。 　 (2024·广东深圳市光明区调研)如图所示，一牵引车沿水平面以v=5 m/s的速度向左匀速运动，牵引车连接轻绳跨过滑轮拉升重物，使重物沿竖直杆上升。某一时刻拴在车上的绳子与水平方向的夹角θ=37°，跨过滑轮的绳子恰好相互垂直，此时重物的速度大小为 (sin 37°=0.6) A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.3.2 m/s √ 例2 将牵引车和重物的速度分解为沿绳和垂直于绳的速度，沿绳速度大小相等vcos 37°=v'cos 37°，v'=v=5 m/s，故选A。 提炼·总结 关联速度问题 首先明确物体的实际速度为合速度，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 8 平抛运动 考点二 1.平抛运动及研究方法 2.平抛运动的两个推论 (1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则有tan θ=2tan φ，如图甲所示。 (2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。 　 (2024·浙江1月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为 A. B. C. D.(+1)D 例3 √ 设出水口到水桶口中心水平距离为x，则x=v0，落到桶底A点时x+=v0，解得v0=，故C正确。 　 如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则v1∶v2等于 A.4∶3 B.5∶4 C.8∶7 D.9∶8 例4 √ 小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得tan 37°=，对于小球B： tan 37°==，联立得v1∶v2=9∶8，故选D。 多题归一 大多数平抛运动与斜面(曲面)的综合问题，最终可转化为对平抛物体位移方向、速度方向分析，对位移、速度分解、计算，从而解决问题。 已知速度方向，分解速度   垂直落在斜面上 tan θ==   无碰撞地进入圆弧形轨道 tan θ== 已知位移方向， 分解位移   求飞行时间、位移等 tan θ==   落在斜面上位移最小 tan θ==   (x-R)2+y2=R2 斜抛运动 考点三 性质 斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线 研究方法 运动的合成与分解、逆向思维法 基本规律(以斜 上抛运动为例)   (1)水平方向：v0x=v0cos θ，F合x=0；x=v0tcos θ (2)竖直方向：v0y=v0sin θ，F合y=mg；y=v0tsin θ-gt2 常见图例     　 (2024·广东深圳市模拟)小齐在投篮时，投了一个“过桥”。篮球从距离篮筐的左侧边缘x=54 cm处越过篮筐，从右侧的对称位置落下，当篮球球心与篮筐等高度时，球心与篮筐中心在一条直线AOB上，俯视如图。已知篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，篮筐的外圈直径为D=47.4 cm，篮球的直径为d=24.6 cm，重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力和篮球的自转，求： 例5 (1)篮球飞行过程中球心高于篮筐的飞行时间t； 答案　0.6 s 根据题意，篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，竖直方向：h=g 解得t0=0.3 s 则篮球球心在篮筐上方飞行的时间：t=2t0=0.6 s (2)篮球在最高点时的速度大小v0； 答案　3 m/s 水平方向：++x=v0t0 解得v0=3 m/s (3)球心经过A点时的速度大小vA。 答案　3 m/s 球心经过A点时竖直方向的速度 vy=gt0=3 m/s 球心经过A点时的速度大小 vA==3 m/s。 　(多选)(2024·广东省四校联考)某篮球爱好者投篮训练时，篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的抛出点，B是篮球运动轨迹的最高点，C是篮球的入筐点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点速度大小为v，与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是 A.篮球经过B点时的速度为0 B.从A点到C点，篮球的速度变化方向竖直向下 C.从A点到C点，篮球的运动时间为 D.A、C两点的高度差为 例6 √ √ √ 篮球经过B点时有水平速度，则速度不为0，故A错误； 速度变化方向为重力加速度的方向， 则从A点到C点，篮球的速度变化方向竖直向下，故B正确； 在A、C两点时水平速度相同，即vAcos 60°=vcos 45°，可得篮球从A点抛出时的速度为vA=v，A点竖直分速度vAy=vAsin 60°=v，方向竖直向上；C点竖直分速度vCy=vsin 45°=v，方向竖直向下；选竖直向下为正方向，有t==，故C正确； 从A到C，有(vsin 45°)2- =-2gh，解得A、C两点的高度差为h=，故D正确。 　(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是 A.运动时间为2 s B.落地速度与水平方向夹角为60° C.重物离PQ连线的最远距离为10 m D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m 例7 √ √ 解法一　以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴) 将v0沿两个坐标轴分解，则有 v0x=v0cos 60°=10 m/s，v0y=v0sin 60°=10 m/s 将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有 ax=gsin 30°=5 m/s2 ay=gcos 30°=5 m/s2 从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2=4 s，A错误； 重物距PQ连线最远距离Y==10 m，C错误； 落至Q点时vx=v0x+axt=30 m/s 由对称性得vy=v0y=10 m/s 落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ tan θ==，则θ=30° 又因PQ与水平方向夹角为30°， 则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确； 重物从抛出到最高点所用时间为t1==1 s 从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s 则轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m， D正确。 解法二　以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等高 v0x=v0cos 30°=10 m/s v0y=v0sin 30°=10 m/s 从P→P' t1==2 s x1=v0xt1=20 m vx=v0x=10 m/s vy=v0y=10 m/s， 从P'→Q x2=vxt2 y=vyt2+g 由几何关系知：tan 30°== 解得：t2=2 s t总=t1+t2=4 s A错误； 从最高点至Q点时间为t3=t总-=3 s vy'=gt3=30 m/s tan α==，α=60°，B正确； H=g=45 m，D正确； 离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D===10 m，C错误。 多题归一 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C AD B A BD BD C 题号 9 10 答案 (1)　(2)g　(3)v0 (1)4.8 m　(2)12 m 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 保分基础练 答案 篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。 2.(2024·湖北卷·3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完 成跳跃，则它应跳到 A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，可得v=x 因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度 越小，因此它应跳到荷叶c上面。故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 3.(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小 鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小 鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标 系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x=vxt，故A正确，C错误； 小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=vy0t-gt2， vy=vy0-gt，且最高点时竖直方向的分速度为0，故B错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 4.(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误； 谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动， 在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误； 谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.如图所示，相对且紧挨着的两个斜面固定在水平面上，倾角分别为α=60°，β=30°。在斜面OA上某点将a、b两小球分别以速度v1、v2同时向右水平抛出，a球落在M点、b球垂直打在斜面OC上的N点(M、N在同一水平面上)。不计空气阻力，则v1、v2的 大小之比为 A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.3∶5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 由题可知两小球做平抛运动下落的高度相同，所以两小球做平抛运动的时间相同，设为t，由题意及几何关系可知，小球a落在斜面上M点时， 位移方向与水平方向的夹角为60°，小球b落在斜面上N点时，速度方向与水平方向的夹角为60°。根据平抛运动规律，对小球a有tan 60° ==，对小球b有tan 60°==，故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 6.(多选)(2024·福建卷·8)先后两次从高为OH=1.4 m高处斜向上抛出质量为m=0.2 kg的同一物体分别落于Q1、Q2，测得OQ1=8.4 m，OQ2=9.8 m，两轨迹交于P点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为3.2 m，g= 10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是 A.第一次抛出上升时间、下降时间比值为∶4 B.第一次过P点比第二次机械能少1.3 J C.落地瞬间，第一次、第二次动能之比为72∶85 D.第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 争分提能练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一次抛出上升的高度为h1=3.2 m-1.4 m=1.8 m，故上升时间为t上1==0.6 s，最高点距水平地 面高为h0=3.2 m，故下降的时间为t下1==0.8 s，故第一次抛出上升时间、下降时间比值为3∶4，故A错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为t=t上1+t下1=1.4 s，故可得第一次、第二次抛出时水平方向的分速度分别为vx1== 6 m/s，vx2==7 m/s，由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为vy=gt上1=6 m/s，由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少，ΔE=m-m=1.3 J，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从抛出到落地瞬间根据动能定理Ek1=Ek01+mghOH =m(+)+mghOH=10 J，Ek2=Ek02+mghOH= m(+)+mghOH=11.3 J，故落地瞬间，第一次、第二次动能之比为100∶113，故C错误； 根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度方向与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度方向与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。 答案 7.(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则 A.物块始终做匀变速曲线运动 B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2 D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N) 物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； 沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为 ay==gsin 30°=5 m/s2 故t=1 s时，物块的y坐标值为 y=ayt2=2.5 m 故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2 则a==5 m/s2 故C错误； 沿x轴正方向，对物块根据动量定理得 Fxt=mvx-0 由于Fx与时间t成线性关系，故可得 ×2=1.2vx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解得vx=10 m/s 此时y轴方向速度大小为 vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s 故此时物块的速度大小为 v==10 m/s 故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.如图在水平地面上放置一边长为0.8 m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5 cm2，出水速率为2.5 m/s，g取10 m/s2，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则 A.任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面 B.水在空中运动时间的最大值为0.32 s C.空中运动的水的质量最大值为0.5 kg D.若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据平抛知识，如果全都落在水平面上，则在竖直 方向上h=gt2，水平方向上x=v0t， 求得t=0.4 s，x=1 m，而由几何关系可知AC=0.8 m >1 m，所以不是所有方向喷出的水都能达到DCGH或CGFB侧面，水在空中运动时间的最大值为t=0.4 s，故A、B错误； 水的流量为Q=v0S=2.5×5×10-4 m3/s=1.25×10-3 m3/s，空中运动的水的质量最大值为m=ρQt=1.0×103×1.25×10-3×0.4 kg=0.5 kg，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若水管与AD边的夹角较小或者与AB边夹角较小，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再缩短，故D错误。 答案 9.作为研制新一代飞行器的摇篮，我国JF-22超高速风洞可以创造出高度达几十千米、速度达约三十倍声速的飞行条件。若将一小球从风洞中地面上的A点以初速度v0竖直向上弹出，小球受到大小恒定的水平风力作用，到达最高点B时的动能为初始点A时动能的，小球最后落回到地面上的C点，如图。不计空气阻力，重力加速度为g，求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 (1)小球从弹出到落地所用的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案　 竖直方向上，小球只受重力作用，到达最高点B所用的时间t上= 根据对称性，从最高点到落地的时间t下= 则小球从弹出到落地所用的时间t=t上+t下= (2)小球运动的加速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案　g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 到达最高点B时的动能与A点的动能之比为9∶16，则速度之比为 v水平∶v0=3∶4 在最高点竖直方向速度为0，由(1)知t上= v水平=a水平t上， 得a水平=g 小球运动的加速度大小为a= 联立解得a=g (3)小球在空中的最小速度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案　v0 小球在重力和风力作用下做类斜抛运动，当小球速度方向与重力和风力的合力方向垂直时，速度最小，合力与竖直方向夹角正切值为tan θ= 最小速度vmin=v0sin θ=v0。 10.(2020·山东卷·16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 尖子生选练 方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2，sin 72.8°=0.96，cos 72.8°=0.30。求： (1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案　4.8 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得 v1=vMsin 72.8° ① 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos 17.2°=ma1 ② 由运动学公式得d= ③ 联立①②③式，代入数据得 d=4.8 m ④ (2)M、N之间的距离L。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案　12 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2， 由运动的合成与分解规律得v2=vMcos 72.8° ⑤ 设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin 17.2°=ma2 ⑥ 设腾空时间为t，由运动学公式得 t= ⑦ L=v2t+a2t2 ⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L=12 m。 ⑨ 本课结束 THANKS $$ 第3讲　抛体运动 目标要求　1.掌握运动的合成与分解，掌握解决曲线运动的一般方法。2.会灵活分解平抛、斜抛运动及解决三维空间中抛体运动问题的方法。 考点一　运动的合成与分解 例1　(多选)(2024·广东佛山市二模)如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3 m的待切割玻璃板以0.4 m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5 m/s，下列说法正确的是(sin 37°=0.6)(　　) A.切割一块矩形玻璃需要10 s B.切割一块矩形玻璃需要6 s C.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°，可使割下的玻璃板呈矩形 D.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°，可使割下的玻璃板呈矩形 答案　AC 解析　金刚石切割刀的移动速度0.5 m/s是割刀对地的速度，切割刀的移动轨迹亦是割刀对地面的相对轨迹，为使割下的玻璃板呈矩形，则割刀相对玻璃板的速度v3方向应垂直于玻璃板侧边，如图所示，切割一块玻璃需要的时间为t===10 s，故A正确，B错误； 则有cos θ==0.8，解得θ=37°，故D错误，C正确。 例2　(2024·广东深圳市光明区调研)如图所示，一牵引车沿水平面以v=5 m/s的速度向左匀速运动，牵引车连接轻绳跨过滑轮拉升重物，使重物沿竖直杆上升。某一时刻拴在车上的绳子与水平方向的夹角θ=37°，跨过滑轮的绳子恰好相互垂直，此时重物的速度大小为(sin 37°=0.6)(　　) A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.3.2 m/s 答案　A 解析　将牵引车和重物的速度分解为沿绳和垂直于绳的速度，沿绳速度大小相等vcos 37°=v'cos 37°，v'=v=5 m/s，故选A。 关联速度问题 首先明确物体的实际速度为合速度，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 考点二　平抛运动 1.平抛运动及研究方法 2.平抛运动的两个推论 (1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则有tan θ=2tan φ，如图甲所示。 (2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。 例3　(2024·浙江1月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　) A. B. C. D.(+1)D 答案　C 解析　设出水口到水桶口中心水平距离为x，则x=v0，落到桶底A点时x+=v0，解得v0=，故C正确。 例4　如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则v1∶v2等于(　　) A.4∶3 B.5∶4 C.8∶7 D.9∶8 答案　D 解析　小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得tan 37°=，对于小球B：tan 37°==，联立得v1∶v2=9∶8，故选D。 大多数平抛运动与斜面(曲面)的综合问题，最终可转化为对平抛物体位移方向、速度方向分析，对位移、速度分解、计算，从而解决问题。 已知速度方向，分解速度 垂直落在斜面上 tan θ== 无碰撞地进入圆弧形轨道 tan θ== 已知位移方向，分解位移 求飞行时间、位移等 tan θ== 落在斜面上位移最小 tan θ== (x-R)2+y2=R2 考点三　斜抛运动 性质 斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线 研究方法 运动的合成与分解、逆向思维法 基本规律(以斜 上抛运动为例) (1)水平方向：v0x=v0cos θ，F合x=0；x=v0tcos θ (2)竖直方向：v0y=v0sin θ，F合y=mg；y=v0tsin θ-gt2 常见图例 例5　(2024·广东深圳市模拟)小齐在投篮时，投了一个“过桥”。篮球从距离篮筐的左侧边缘x=54 cm处越过篮筐，从右侧的对称位置落下，当篮球球心与篮筐等高度时，球心与篮筐中心在一条直线AOB上，俯视如图。已知篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，篮筐的外圈直径为D=47.4 cm，篮球的直径为d=24.6 cm，重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力和篮球的自转，求： (1)篮球飞行过程中球心高于篮筐的飞行时间t； (2)篮球在最高点时的速度大小v0； (3)球心经过A点时的速度大小vA。 答案　(1)0.6 s　(2)3 m/s　(3)3 m/s 解析　(1)根据题意，篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，竖直方向：h=g 解得t0=0.3 s 则篮球球心在篮筐上方飞行的时间：t=2t0=0.6 s (2)水平方向：++x=v0t0 解得v0=3 m/s (3)球心经过A点时竖直方向的速度 vy=gt0=3 m/s 球心经过A点时的速度大小 vA==3 m/s。 例6　(多选)(2024·广东省四校联考)某篮球爱好者投篮训练时，篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的抛出点，B是篮球运动轨迹的最高点，C是篮球的入筐点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点速度大小为v，与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.篮球经过B点时的速度为0 B.从A点到C点，篮球的速度变化方向竖直向下 C.从A点到C点，篮球的运动时间为 D.A、C两点的高度差为 答案　BCD 解析　篮球经过B点时有水平速度，则速度不为0，故A错误；速度变化方向为重力加速度的方向，则从A点到C点，篮球的速度变化方向竖直向下，故B正确；在A、C两点时水平速度相同，即vAcos 60°=vcos 45°，可得篮球从A点抛出时的速度为vA=v，A点竖直分速度vAy=vAsin 60°=v，方向竖直向上；C点竖直分速度vCy=vsin 45°=v，方向竖直向下；选竖直向下为正方向，有t==，故C正确；从A到C，有(vsin 45°)2-=-2gh，解得A、C两点的高度差为h=，故D正确。 例7　(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是 (　　) A.运动时间为2 s B.落地速度与水平方向夹角为60° C.重物离PQ连线的最远距离为10 m D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m 答案　BD 解析　解法一　以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴) 将v0沿两个坐标轴分解，则有 v0x=v0cos 60°=10 m/s，v0y=v0sin 60°=10 m/s 将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有 ax=gsin 30°=5 m/s2 ay=gcos 30°=5 m/s2 从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2=4 s，A错误； 重物距PQ连线最远距离Y==10 m，C错误； 落至Q点时vx=v0x+axt=30 m/s 由对称性得vy=v0y=10 m/s 落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ tan θ==，则θ=30° 又因PQ与水平方向夹角为30°， 则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确； 重物从抛出到最高点所用时间为t1==1 s 从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s 则轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m，D正确。 解法二　以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等高 v0x=v0cos 30°=10 m/s v0y=v0sin 30°=10 m/s 从P→P' t1==2 s x1=v0xt1=20 m vx=v0x=10 m/s vy=v0y=10 m/s， 从P'→Q x2=vxt2 y=vyt2+g 由几何关系知： tan 30°== 解得：t2=2 s t总=t1+t2=4 s A错误； 从最高点至Q点时间为t3=t总-=3 s vy'=gt3=30 m/s tan α==，α=60°，B正确； H=g=45 m，D正确； 离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D===10 m，C错误。 专题强化练 1~5题每题4分，6~8题每题6分，9题10分，10题12分，共60分 ［保分基础练］ 1.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　) 答案　A 解析　篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。 2.(2024·湖北卷·3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 (　　) A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d 答案　C 解析　青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，可得v=x 因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面。故选C。 3.(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是 (　　) 答案　AD 解析　小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x=vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且最高点时竖直方向的分速度为0，故B错误，D正确。 4.(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 答案　B 解析　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 5.如图所示，相对且紧挨着的两个斜面固定在水平面上，倾角分别为α=60°，β=30°。在斜面OA上某点将a、b两小球分别以速度v1、v2同时向右水平抛出，a球落在M点、b球垂直打在斜面OC上的N点(M、N在同一水平面上)。不计空气阻力，则v1、v2的大小之比为(　　) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.3∶5 答案　A 解析　由题可知两小球做平抛运动下落的高度相同，所以两小球做平抛运动的时间相同，设为t，由题意及几何关系可知，小球a落在斜面上M点时，位移方向与水平方向的夹角为60°，小球b落在斜面上N点时，速度方向与水平方向的夹角为60°。根据平抛运动规律，对小球a有tan 60°==，对小球b有tan 60°=，则=，故选A。 ［争分提能练］ 6.(多选)(2024·福建卷·8)先后两次从高为OH=1.4 m高处斜向上抛出质量为m=0.2 kg的同一物体分别落于Q1、Q2，测得OQ1=8.4 m，OQ2=9.8 m，两轨迹交于P点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为3.2 m，g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.第一次抛出上升时间、下降时间比值为∶4 B.第一次过P点比第二次机械能少1.3 J C.落地瞬间，第一次、第二次动能之比为72∶85 D.第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大 答案　BD 解析　第一次抛出上升的高度为h1=3.2 m-1.4 m=1.8 m，故上升时间为t上1==0.6 s，最高点距水平地面高为h0=3.2 m，故下降的时间为t下1==0.8 s，故第一次抛出上升时间、下降时间比值为3∶4，故A错误；两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为t=t上1+t下1=1.4 s，故可得第一次、第二次抛出时水平方向的分速度分别为vx1==6 m/s，vx2==7 m/s，由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为vy=gt上1=6 m/s，由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少，ΔE=m-m=1.3 J，故B正确；从抛出到落地瞬间根据动能定理Ek1=Ek01+mghOH=m(+)+mghOH=10 J，Ek2=Ek02+mghOH=m(+)+mghOH=11.3 J，故落地瞬间，第一次、第二次动能之比为100∶113，故C错误；根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度方向与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度方向与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。 7.(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则 (　　) A.物块始终做匀变速曲线运动 B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2 D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s 答案　BD 解析　根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N) 物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； 沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为 ay==gsin 30°=5 m/s2 故t=1 s时，物块的y坐标值为 y=ayt2=2.5 m 故B正确； t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2 则a==5 m/s2 故C错误； 沿x轴正方向，对物块根据动量定理得 Fxt=mvx-0 由于Fx与时间t成线性关系，故可得 ×2=1.2vx 解得vx=10 m/s 此时y轴方向速度大小为 vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s 故此时物块的速度大小为 v==10 m/s 故D正确。 8.如图在水平地面上放置一边长为0.8 m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5 cm2，出水速率为2.5 m/s，g取10 m/s2，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则(　　) A.任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面 B.水在空中运动时间的最大值为0.32 s C.空中运动的水的质量最大值为0.5 kg D.若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短 答案　C 解析　根据平抛知识，如果全都落在水平面上，则在竖直方向上h=gt2，水平方向上x=v0t， 求得t=0.4 s，x=1 m，而由几何关系可知AC=0.8 m>1 m，所以不是所有方向喷出的水都能达到DCGH或CGFB侧面，水在空中运动时间的最大值为t=0.4 s，故A、B错误；水的流量为Q=v0S=2.5×5×10-4 m3/s=1.25×10-3 m3/s，空中运动的水的质量最大值为m=ρQt=1.0×103×1.25×10-3×0.4 kg=0.5 kg，故C正确；若水管与AD边的夹角较小或者与AB边夹角较小，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再缩短，故D错误。 9.(10分)作为研制新一代飞行器的摇篮，我国JF-22超高速风洞可以创造出高度达几十千米、速度达约三十倍声速的飞行条件。若将一小球从风洞中地面上的A点以初速度v0竖直向上弹出，小球受到大小恒定的水平风力作用，到达最高点B时的动能为初始点A时动能的，小球最后落回到地面上的C点，如图。不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)(3分)小球从弹出到落地所用的时间； (2)(4分)小球运动的加速度大小； (3)(3分)小球在空中的最小速度。 答案　(1)　(2)g　(3)v0 解析　(1)竖直方向上，小球只受重力作用，到达最高点B所用的时间t上= 根据对称性，从最高点到落地的时间t下= 则小球从弹出到落地所用的时间t=t上+t下= (2)到达最高点B时的动能与A点的动能之比为9∶16，则速度之比为v水平∶v0=3∶4 在最高点竖直方向速度为0，由(1)知t上= v水平=a水平t上， 得a水平=g 小球运动的加速度大小为a= 联立解得a=g (3)小球在重力和风力作用下做类斜抛运动，当小球速度方向与重力和风力的合力方向垂直时，速度最小，合力与竖直方向夹角正切值为tan θ= 最小速度vmin=v0sin θ=v0。 ［尖子生选练］ 10.(12分)(2020·山东卷·16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2，sin 72.8°=0.96，cos 72.8°=0.30。求： (1)(6分)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d； (2)(6分)M、N之间的距离L。 答案　(1)4.8 m　(2)12 m 解析　(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得 v1=vMsin 72.8°① 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得 mgcos 17.2°=ma1② 由运动学公式得d=③ 联立①②③式，代入数据得 d=4.8 m④ (2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2， 由运动的合成与分解规律得v2=vMcos 72.8°⑤ 设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得 mgsin 17.2°=ma2⑥ 设腾空时间为t，由运动学公式得 t=⑦ L=v2t+a2t2⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L=12 m。⑨ 学科网（北京）股份有限公司 $$