第六讲 正比例和反比例 （讲义+强化训练）-2024-2025学年苏教版六年级下册期末复习宝典

第六讲 正比例和反比例 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．节约用水，人人有责。若一个没有关紧的水龙头，每时大约滴水3.6千克。照这样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 2．已知且当x和y都不为0。当m一定时，x和y（　　） A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对 3．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x=8y,则x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数。 C．速度一定，行驶的路程与时间。 D．同学们的年龄一定，他们的身高与体重。 4．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（　　） A．正方形面积与边长。 B．人的身高与年龄。 C．圆的面积与半径。 D．圆的周长与半径。 5．有两个相关联的量，它们的关系如图，这两个量可能是（　　） A．一辆汽车，从甲地匀速开往乙地时的速度与时间。 B．小明的身高与体重。 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。 D．正方形的边长与面积。 6．下列式子中，x和y成反比例关系的是（　　） A． B．x+y=100 C．x：y=5：3 D． 7．若，则x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 8．已知x=（y≠0），那么关于x和y的关系，下列说法错误的是（　　） A．长x、宽y的长方形面积为1。 B．成反比例关系。 C．成正比例关系。 D．x和y互为倒数。 9．x、y是两种相关联的量，下面（　　）中的x、y成正比例关系． A．y=x B．= C．x+y=10 D．=y 10．如图，在长方形ABCD中，动点P沿着AB边从点A移动到点B，三角形PAD的面积随动点P的运动在不断变化。在点P的运动过程中，三角形PAD的面积和线段AP的长度（　　）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 二．判断题（共4小题） 11．圆的周长和它的直径成正比例． ______． 12．如果y=8x（x和y均不为0），那么x和y成反比例关系。 ______ 13．订阅某一种杂志的数量和金额成反比例。 ______ 14．一个人的年龄和身高成正比例。 ______ 三．填空题（共5小题） 15．圆锥的高一定，圆锥的体积和底面积成 ______比例。 16．如果A×B=C，当C一定时，A和B成 ______比例；当A一定时，B和C成 ______比例。 17．如果5n=7m（n、m都不为0），那么m：n= ______，m和n成 ______比例。 18．a、b是两个相关联的量，且均不等于0。如果，那么a与b成 ______比例关系；如果，那么a与b成 ______比例关系。 19．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，______的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）；小明追上小芳所需的时间为 ______分钟，此时他们都走了 ______米。 四．连线题（共1小题） 20．下面各题中的两种量之间是否有比例关系？如果有，成什么比例关系？连一连。 ​​ 五．解答题（共4小题） 21．上表中，如果x和y成正比例，那么“？”处应填______；如果x和y成反比例，那么“？”处应填______。 x 2.4 ？ y 6 2.4 22．我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。 （1）点A表示什么意思？______ （2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？______ （3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？ 23．2022年某地发生特大旱灾，某慈善机构需要把一批物资一次全部运往灾区。每辆汽车的载质量与所需汽车的辆数如表。 每辆汽车的载质量/吨 4.5 5 7.5 9 …… 所需汽车的辆数 100 90 60 50 …… （1）如果用t表示每辆汽车的载质量，a表示所需汽车的辆数，t与a成什么比例关系？请你写出这个关系式。 （2）如果全部用载质量为15吨的汽车运，需要多少辆汽车？ 24．如表是一台碾米机的碾米情况。 工作时间/时 0 1 2 3 4 5 碾米质量A 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 （1）碾米机的碾米质量与工作时间成正比例关系吗？为什么？ （2）在如图中描出表示碾米质量与对应工作时间的点，并连线。 （3）碾米1.5t需要多少小时？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第六讲 正比例和反比例 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．节约用水，人人有责。若一个没有关紧的水龙头，每时大约滴水3.6千克。照这 样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 2．已知2𝑚𝑥 = 𝑦且当x和y都不为0。当m一定时，x和y（　　） A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对 3．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x=8y,则x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数。 C．速度一定，行驶的路程与时间。 D．同学们的年龄一定，他们的身高与体重。 4．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（　　） A．正方形面积与边长。 B．人的身高与年龄。 C．圆的面积与半径。 D．圆的周长与半径。 5．有两个相关联的量，它们的关系如图，这两个量可能是（　　） A．一辆汽车，从甲地匀速开往乙地时的速度与时间。 B．小明的身高与体重。 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。 D．正方形的边长与面积。 6．下列式子中，x和y成反比例关系的是（　　） A．𝑥𝑦 = 67 B．x+y=100 C．x：y=5：3 D．𝑦 = 3 7 𝑥 7．若2𝑥3 = 𝑦 5，则x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 8．已知x= 1 𝑦（y≠0），那么关于x和y的关系，下列说法错误的是（　　） A．长x、宽y的长方形面积为1。 B．成反比例关系。 C．成正比例关系。 D．x和y互为倒数。 9．x、y是两种相关联的量，下面（　　）中的x、y成正比例关系． A．y= 611x B． 𝑥 12= 1 𝑦 C．x+y=10 D． 5 𝑥=y 10．如图，在长方形ABCD中，动点P沿着AB边从点A移动到点B，三角形PAD的 面积随动点P的运动在不断变化。在点P的运动过程中，三角形PAD的面积和线段 AP的长度（　　）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 二．判断题（共4小题） 11．圆的周长和它的直径成正比例． ______． 12．如果y=8x（x和y均不为0），那么x和y成反比例关系。 ______ 13．订阅某一种杂志的数量和金额成反比例。 ______ 14．一个人的年龄和身高成正比例。 ______ 三．填空题（共5小题） 15．圆锥的高一定，圆锥的体积和底面积成 ______比例。 16．如果A×B=C，当C一定时，A和B成 ______比例；当A一定时，B和C成 ______ 比例。 17．如果5n=7m（n、m都不为0），那么m：n= ______，m和n成 ______比例。 18．a、b是两个相关联的量，且均不等于0。如果𝑎 = 12 𝑏，那么a与b成 ______比例 关系；如果3𝑎 = 710 ÷ 𝑏，那么a与b成 ______比例关系。 19．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所 示，根据图像可以判断，______的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）；小明 追上小芳所需的时间为 ______分钟，此时他们都走了 ______米。 四．连线题（共1小题） 20．下面各题中的两种量之间是否有比例关系？如果有，成什么比例关系？连一 连。 五．解答题（共4小题） 21．上表中，如果x和y成正比例，那么“？”处应填______；如果x和y成反比例，那 么“？”处应填______。 x 2.4 ？ y 6 2.4 22．我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。 （1）点A表示什么意思？______ （2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正 比例？______ （3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？ 23．2022年某地发生特大旱灾，某慈善机构需要把一批物资一次全部运往灾区。每 辆汽车的载质量与所需汽车的辆数如表。 每辆汽车的载质量 /吨 4.5 5 7.5 9 …… 所需汽车的辆数 100 90 60 50 …… （1）如果用t表示每辆汽车的载质量，a表示所需汽车的辆数，t与a成什么比例关 系？请你写出这个关系式。 （2）如果全部用载质量为15吨的汽车运，需要多少辆汽车？ 24．如表是一台碾米机的碾米情况。 工作时间/时 0 1 2 3 4 5 碾米质量A 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 （1）碾米机的碾米质量与工作时间成正比例关系吗？为什么？ （2）在如图中描出表示碾米质量与对应工作时间的点，并连线。 （3）碾米1.5t需要多少小时？ 第六讲 正比例和反比例 考点 1 正比例和反比例的意义............................................................................4 考点 2 正比例 ......................................................................................................6 考点 3 反比例 ......................................................................................................9 考点 4 辨识成正比例的量与成反比例的量 .......................................................10 1．正比例和反比例的意义 （1）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它 们的关系叫做正比例关系．如果用字母 x和 y表示这两种相关联的量，用 k表示 它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： y x = k（一定）． 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 （2）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们 的关系叫做反比例关系．如果用字母 x和 y表示这两种相关联的量，用 k表示它 们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）． 2．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变 化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成 正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX=Y 中，a 不变，则 X 与 Y 成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而 变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径=2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）=πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R=πR）因为根据上面所说， 比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果 R 变化， 那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π=R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化 而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化， 这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化 的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A=A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比 例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）=π，这可看成一个正比例，它是 S与（R•R）成正比例。 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）=C，a+b=C/2（一定），发现长宽之和一 定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为 10 厘米时，长 9 宽 1 积为 9，长 8 宽 2 积为 16，长 7 宽 3 积为 21，长 6 宽 4 积为 24，发现积不一定，故不成正比例。 3．反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量 也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做 成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程 100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 4.辨识成正比例的量与成反比例的量 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式： y x=k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定， 如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． （1）正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量， 它们的关系叫作正比例关系。关系式： y x =k（k为定值） （2） 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随 着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。xy=k（k为定值） 考点 1 正比例和反比例的意义 例 1：y-x=0，y与 x（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定 【分析】根据等式的性质，在 y-x=0的左右两边同时加上 x，可变成 y=x，再 根据等式的性质，在等式 y=x 的左右两边同时除以 x，可化成 y x = 1（一定）， 是相关联的两个量对应的比值一定，所以 y与 x成正比例． 【解答】y-x=0，可知 y=x，那么 y x = 1（一定）， 方法归纳 典例 是比值一定，符合正比例的意义，所以 y与 x成正比例． 故选：A． 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的 比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断． 例 2：长方形的面积一定，长和宽（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 【分析】根据正比例的意义 x：y=k（一定）和反比例的意义 xy=k（一定）， 因为长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义． 【解答】根据长方形的面积公式，长×宽=长方形的面积（一定），符合反比 例的意义 xy=k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例． 故选：B． 【点评】此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断是否为正反比关系可以，根据正比例的意义 x：y=k（一定）和反比例的 意义 xy=k（一定），要明确知道什么是变化的量什么是不变的量，然后根据 定进行判断． 【变式练 1】（2024春•市北区校级期中）圆的周长公式中，当 C 一定时，π 与 d（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【变式练 2】（2024•港南区）在等式 a×b=c（a、b、c均不等于 0）中，当 c一 定时，a和 b成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 【变式练 3】（2025春•牡丹区校级期中）Y=KX（K一定），Y与 X 是成______ 的量，它们的关系叫做______关系． 【变式练 4】（2024•岚山区）如果 A÷B=C，当 A一定时，B 和 C成______比 例．当 B一定时，A和 C成______比例． 【变式练 5】（2024•乐平市）参观美术展的人数与所付费用如表。 人数 0 1 2 3 4 …… 费用/元 0 4 8 12 16 …… （1）根据上表描点，再顺次连接各点。点（20，80）在这条直线上吗？这个点 表示的含义是什么？ （2）所付费用与参观人数成正比例吗？为什么？ 考点 2 正比例 例 1：下列数量关系中，成正比例关系的是（　　） A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面半径 C．单价一定，数量和总价 D．2÷x=y,x和 y 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定， 典例 还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反 比例。 【解答】解：A.出勤人数+缺勤人数=全班人数（一定），和是定值，所以全班人 数一定，出勤人数和缺勤人数不成比例，本项不符合题意； B.因为圆柱的体积=底面积×高，所以，圆柱的体积÷底面积=高（一定），即圆 柱的体积与底面积的比值一定．所以圆柱的体积与底面积成正比例，本项不符合 题意； C.总价÷数量=单价（一定），商一定，所以购买的数量和总价成正比例，本项 符合题意； D.已知 2÷x=y,即 xy=3（一定），积一定，所以 y与 x成反比例关系，本项不符 合题意。 故选：C。 例 2：如图中，表示正比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作 成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过 原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，符合正比例图象的特点，所以是正比 例图象。 故选：C。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例的意义是： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个 数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是 正比例关系 【变式练 1】（2024•浦口区）表示 x和 y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【变式练 2】（2023•昆明）下列两个量之间成正比例关系的是（　　） A．如果 4 x=y,x和 y B．同一个圆的周长和直径 C．积（0除外）一定，一个因数和另一个因数 D．一本书的总页数一定，已读的页数和未读的页数 【变式练 3】（2024•沧县）若 ab=1 3 ，则 a与 b成 ______比例；若 x= 1 3 y,则 x与 y成 ______比例。 【变式练 4】（2024 春•淅川县期中）如果 3a=4b（ab≠0），那么 a：b=______： ______，a和 b成______比例． 【变式练 5】（2024•荆门）成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例 中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。 ______（判断对错） 【变式练 6】（2023•铜仁市）小明应完成的作业量一定，他已完成的作业量和 未完成的作业量成反比例． ______（判断对错） 考点 3 反比例 判断下列各题中的两种量是不是成反比例。（成反比例的画“√”） ①圆柱的体积一定，它的底面积与高。 ②苹果的单价一定，购买苹果的数量与总价。 ③铺地面积一定，每块砖的面积与需要的块数。 ④王明的年龄和他的身高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【解答】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 2．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一 定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练 1】（2023•播州区）下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果 5x=8y,则 x和 y B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数 C．在同时同地条件下，竹竿的长和它的影长 D．同学的年龄一定，他们的身高与体重 【变式练 2】（2023•金水区）如表所示，如果 A与 B两个量成反比例，那么 “x”是（　　） 典例 A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【变式练 3】（2023•市南区）圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高成反比例， ______． 【变式练 4】（2023春•德江县期中）xy+3=19，x和 y成反比例关系。 ______ （判断对错） 【变式练 5】（2024•济南）师徒二人加工一批零件，师傅单独完成要 40 分钟， 徒弟单独完成要 1小时，师徒二人的工作时间比是 ______；他们的工作效率比 是 ______。 【变式练 6】（2024春•郓城县期中）两个量 x和 y成反比例，如果 x=2时， y=5，那么 y= 2 3 时，x=______。 考点 4 辨识成正比例的量与成反比例的量 例：下列 x和 y成反比例关系的是（　　） A、y=3+x B、x+y= 5 6 C、x= 5 6 y D、y= 6 x 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一 定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反 比例．据此进行判断并选择． 【解答】A、因为 y=3+x，所以 y-x=3（一定），是 x和 y的差一定，x和 y不成 比例； B、因为 x+y=（一定），是 x和 y的和一定，x和 y不成比例； C、因为 x= 5 6 ，所以 x÷y= 5 6 （一定），是比值一定，x和 y成正比例； 典例 D、因为 y= 6 x 所以 xy=1，是乘积一定，x和 y成反比例； 故选：D． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例， 就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式： y x =k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商 一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练 1】（2025春•福清市期中）节约用水，人人有责。若一个没有关紧的 水龙头，每时大约滴水 3.6千克。照这样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 【变式练 2】（2025春•牡丹区校级期中）如果 xy=4.5×4，那么 x和 y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【变式练 3】（2025春•汶上县期中）如果2x = 5y，则 x和 y成 ______比例。 【变式练 4】（2025 春•福清市期中）已知 6x=4y,则 x 与 y 成______比例关系； 若 3 a × 5 = 2 5 × b（a、b均不为 0），则 a、b成______比例关系。 【变式练 5】（2025春•陕州区期中）圆的直径一定，它的周长和圆周率成正比 例关系。 ______（判断对错） 【变式练 6】（2025春•汶上县期中）因为 C r = 2π（一定），所以圆的周长和它 的半径成正比例。 ______（判断对错） 第六讲 正比例和反比例 考点1 正比例和反比例的意义 4 考点2 正比例 6 考点3 反比例 9 考点4 辨识成正比例的量与成反比例的量 10 考点回顾 1．正比例和反比例的意义 （1）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： = k（一定）． （2）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）． 2．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX=Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径=2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）=πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R=πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π=R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A=A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）=π，这可看成一个正比例，它是S与（R•R）成正比例。 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）=C，a+b=C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。 3．反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 4.辨识成正比例的量与成反比例的量 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：=k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 方法归纳 （1）正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。关系式：=k（k为定值） （2） 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。xy=k（k为定值） 考点1 正比例和反比例的意义 典例 例1：y-x=0，y与x（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定 【分析】根据等式的性质，在y-x=0的左右两边同时加上x，可变成y=x，再根据等式的性质，在等式y=x的左右两边同时除以x，可化成（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以y与x成正比例． 【解答】y-x=0，可知y=x，那么 （一定）， 是比值一定，符合正比例的意义，所以y与x成正比例． 故选：A． 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断． 例2：长方形的面积一定，长和宽（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 【分析】根据正比例的意义x：y=k（一定）和反比例的意义xy=k（一定），因为长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义． 【解答】根据长方形的面积公式，长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义xy=k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例． 故选：B． 【点评】此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断是否为正反比关系可以，根据正比例的意义x：y=k（一定）和反比例的意义xy=k（一定），要明确知道什么是变化的量什么是不变的量，然后根据定进行判断． 【变式练1】（2024春•市北区校级期中）圆的周长公式中，当 C 一定时，π 与 d（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【变式练2】（2024•港南区）在等式a×b=c（a、b、c均不等于0）中，当c一定时，a和b成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 【变式练3】（2025春•牡丹区校级期中）Y=KX（K一定），Y与X 是成______的量，它们的关系叫做______关系． 【变式练4】（2024•岚山区）如果A÷B=C，当A一定时，B 和C成______比例．当B一定时，A和C成______比例． 【变式练5】（2024•乐平市）参观美术展的人数与所付费用如表。 人数 0 1 2 3 4 …… 费用/元 0 4 8 12 16 …… （1）根据上表描点，再顺次连接各点。点（20，80）在这条直线上吗？这个点表示的含义是什么？ （2）所付费用与参观人数成正比例吗？为什么？ 考点2 正比例 典例 例1：下列数量关系中，成正比例关系的是（　　） A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面半径 C．单价一定，数量和总价 D．2÷x=y,x和y 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.出勤人数+缺勤人数=全班人数（一定），和是定值，所以全班人数一定，出勤人数和缺勤人数不成比例，本项不符合题意； B.因为圆柱的体积=底面积×高，所以，圆柱的体积÷底面积=高（一定），即圆柱的体积与底面积的比值一定．所以圆柱的体积与底面积成正比例，本项不符合题意； C.总价÷数量=单价（一定），商一定，所以购买的数量和总价成正比例，本项符合题意； D.已知2÷x=y,即xy=3（一定），积一定，所以y与x成反比例关系，本项不符合题意。 故选：C。 例2：如图中，表示正比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，符合正比例图象的特点，所以是正比例图象。 故选：C。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例的意义是： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系 【变式练1】（2024•浦口区）表示x和y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【变式练2】（2023•昆明）下列两个量之间成正比例关系的是（　　） A．如果=y,x和y B．同一个圆的周长和直径 C．积（0除外）一定，一个因数和另一个因数 D．一本书的总页数一定，已读的页数和未读的页数 【变式练3】（2024•沧县）若ab=，则a与b成 ______比例；若x=y,则x与y成 ______比例。 【变式练4】（2024春•淅川县期中）如果3a=4b（ab≠0），那么a：b=______：______，a和b成______比例． 【变式练5】（2024•荆门）成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。 ______（判断对错） 【变式练6】（2023•铜仁市）小明应完成的作业量一定，他已完成的作业量和未完成的作业量成反比例． ______（判断对错） 考点3 反比例 判断下列各题中的两种量是不是成反比例。（成反比例的画“√”） ①圆柱的体积一定，它的底面积与高。 ②苹果的单价一定，购买苹果的数量与总价。 ③铺地面积一定，每块砖的面积与需要的块数。 ④王明的年龄和他的身高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【解答】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×。典例 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 2．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练1】（2023•播州区）下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x=8y,则x和y B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数 C．在同时同地条件下，竹竿的长和它的影长 D．同学的年龄一定，他们的身高与体重 【变式练2】（2023•金水区）如表所示，如果A与B两个量成反比例，那么“x”是（　　） A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【变式练3】（2023•市南区）圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高成反比例，______． 【变式练4】（2023春•德江县期中）xy+3=19，x和y成反比例关系。 ______（判断对错） 【变式练5】（2024•济南）师徒二人加工一批零件，师傅单独完成要40分钟，徒弟单独完成要1小时，师徒二人的工作时间比是 ______；他们的工作效率比是 ______。 【变式练6】（2024春•郓城县期中）两个量x和y成反比例，如果x=2时，y=5，那么y=时，x=______。 考点4 辨识成正比例的量与成反比例的量 典例 例：下列x和y成反比例关系的是（　　） A、y=3+x          B、x+y=           C、x=y         D、y= 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择． 【解答】A、因为y=3+x，所以y-x=3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例； B、因为x+y=（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例； C、因为x=，所以x÷y=（一定），是比值一定，x和y成正比例； D、因为y=所以xy=1，是乘积一定，x和y成反比例； 故选：D． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：=k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练1】（2025春•福清市期中）节约用水，人人有责。若一个没有关紧的水龙头，每时大约滴水3.6千克。照这样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 【变式练2】（2025春•牡丹区校级期中）如果xy=4.5×4，那么x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【变式练3】（2025春•汶上县期中）如果，则x和y成 ______比例。 【变式练4】（2025春•福清市期中）已知6x=4y,则x与y成______比例关系；若（a、b均不为0），则a、b成______比例关系。 【变式练5】（2025春•陕州区期中）圆的直径一定，它的周长和圆周率成正比例关系。 ______（判断对错） 【变式练6】（2025春•汶上县期中）因为（一定），所以圆的周长和它的半径成正比例。 ______（判断对错） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 正比例和反比例 考点1 正比例和反比例的意义 4 考点2 正比例 8 考点3 反比例 12 考点4 辨识成正比例的量与成反比例的量 16 考点回顾 1．正比例和反比例的意义 （1）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： = k（一定）． （2）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）． 2．正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX=Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径=2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）=πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R=πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π=R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A=A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）=π，这可看成一个正比例，它是S与（R•R）成正比例。 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）=C，a+b=C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。 3．反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 4.辨识成正比例的量与成反比例的量 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：=k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 方法归纳 （1）正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。关系式：=k（k为定值） （2） 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。xy=k（k为定值） 考点1 正比例和反比例的意义 典例 例1：y-x=0，y与x（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定 【分析】根据等式的性质，在y-x=0的左右两边同时加上x，可变成y=x，再根据等式的性质，在等式y=x的左右两边同时除以x，可化成（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以y与x成正比例． 【解答】y-x=0，可知y=x，那么 （一定）， 是比值一定，符合正比例的意义，所以y与x成正比例． 故选：A． 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断． 例2：长方形的面积一定，长和宽（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 【分析】根据正比例的意义x：y=k（一定）和反比例的意义xy=k（一定），因为长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义． 【解答】根据长方形的面积公式，长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义xy=k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例． 故选：B． 【点评】此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断是否为正反比关系可以，根据正比例的意义x：y=k（一定）和反比例的意义xy=k（一定），要明确知道什么是变化的量什么是不变的量，然后根据定进行判断． 【变式练1】（2024春•市北区校级期中）圆的周长公式中，当 C 一定时，π 与 d（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】C 【分析】判断π圆周率与直径成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否是①相关联；②一种量变化，另一种量也随着变化，变化方向相同或相反；③对应的比值或乘积一定；如果这两种量相关联的量都是变量，且对应的比值一定，就成正比例；如果两种量相关联的量都是变量，且对应的乘积一定，就成反比例；如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例． 【解答】解：因为在圆的周长公式中，圆周率是一个固定不变的数，是定量，它不能随着直径的变化而变化， 所有当C一定时，π和d就都是定量，就没有变量了， 所有当C一定时，π 与d不成比例； 故选：C． 【变式练2】（2024•港南区）在等式a×b=c（a、b、c均不等于0）中，当c一定时，a和b成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 【答案】B 【分析】判定a和b成什么比例关系，根据等式a×b=c,c一定，可知是a和b对应的乘积一定，从而判定成反比例关系． 【解答】解：因为a×b=c（一定）， 所以是a和b对应的乘积一定， 符合反比例的意义，所以a和b成反比例． 故选：B． 【变式练3】（2025春•牡丹区校级期中）Y=KX（K一定），Y与X 是成______的量，它们的关系叫做______关系． 【分析】Y=KX（K一定），即=K（K一定），符合正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．据此解答． 【解答】解：关系式是Y=KX（K一定），即=K（K一定），也就是x和y的乘积一定．所以Y与X是成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系． 故答案为：正比例，正比例． 【变式练4】（2024•岚山区）如果A÷B=C，当A一定时，B 和C成______比例．当B一定时，A和C成______比例． 【分析】根据正比例的意义和反比例的意义：即看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 【解答】解：如果A÷B=C，当A一定时，即：B×C=A（一定），则B和C成反比例； 当B一定，即：A÷C=B（一定），则A和C成正比例； 故答案为：反，正． 【变式练5】（2024•乐平市）参观美术展的人数与所付费用如表。 人数 0 1 2 3 4 …… 费用/元 0 4 8 12 16 …… （1）根据上表描点，再顺次连接各点。点（20，80）在这条直线上吗？这个点表示的含义是什么？ （2）所付费用与参观人数成正比例吗？为什么？ 【答案】（1） 点（20，80）在这条直线上，这个点表示的20个人的费用需要80元；（2）所付费用与参观人数成正比例，因为费用÷人数=每人付的费用（一定）。 【分析】（1）根据表中数据进行描点，结合题意去解答。 （2）根据费用与人数的比值是不是一定，来判断是否成正比例，如果比值一定，就成正比例，根据此来解答。 【解答】解：（1） 点（20，80）在这条直线上，这个点表示的20个人的费用需要80元。 （2）4÷1=8÷2=12÷3=16÷4=20÷5…… 所以所付费用与参观人数成正比例，因为费用÷人数=每人付的费用（一定）。 考点2 正比例 典例 例1：下列数量关系中，成正比例关系的是（　　） A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面半径 C．单价一定，数量和总价 D．2÷x=y,x和y 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.出勤人数+缺勤人数=全班人数（一定），和是定值，所以全班人数一定，出勤人数和缺勤人数不成比例，本项不符合题意； B.因为圆柱的体积=底面积×高，所以，圆柱的体积÷底面积=高（一定），即圆柱的体积与底面积的比值一定．所以圆柱的体积与底面积成正比例，本项不符合题意； C.总价÷数量=单价（一定），商一定，所以购买的数量和总价成正比例，本项符合题意； D.已知2÷x=y,即xy=3（一定），积一定，所以y与x成反比例关系，本项不符合题意。 故选：C。 例2：如图中，表示正比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。 【解答】解；根据正比例图象的特点可知，符合正比例图象的特点，所以是正比例图象。 故选：C。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例的意义是： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系 【变式练1】（2024•浦口区）表示x和y成正比例关系的式子是（　　） A．x+y=12 B．y=0.8x C．x-y=20 D．xy=10 【答案】B 【分析】判断x与y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例 【解答】解：A、x+y=12，x与y的和一定，不符合题意； B、y=0.8x,所以=0.8（一定），所以x、y比值一定，x与y成正比例，符合题意； C、x-y=20，x与y的差一定，不符合题意； D、xy=10（一定），积一定，x、y成反比例，不符合题意； 故选：B． 【变式练2】（2023•昆明）下列两个量之间成正比例关系的是（　　） A．如果=y,x和y B．同一个圆的周长和直径 C．积（0除外）一定，一个因数和另一个因数 D．一本书的总页数一定，已读的页数和未读的页数 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：选项A：如果=y,则xy=4（一定），x和y成反比例关系。 选项B：圆的周长÷直径=π（一定），所以同一个圆的周长和直径成正比例关系。 选项C：因数×因数=积（一定），则两个因数成反比例关系。 选项D：一本书，已读的页数+未读的页数=总页数（一定），已读的页数和未读的页数不成比例。 故选：B。 【变式练3】（2024•沧县）若ab=，则a与b成 ______比例；若x=y,则x与y成 ______比例。 【答案】反；正。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：因为ab=（乘积一定），a与b成反比例关系； 因为x=y,x÷y=（比值一定），a与b成正比例关系。 故答案为：反；正。 【变式练4】（2024春•淅川县期中）如果3a=4b（ab≠0），那么a：b=______：______，a和b成______比例． 【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，即可得解． 【解答】解：3a=4b, a：b=4：3； 答：如果3a=4b,那么a：b=4：3，a和b成正比例． 故答案为：4，3，正． 【变式练5】（2024•荆门）成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】在同时同地，太阳光线的角度是固定的。根据相似三角形的原理，竿高和影长的比值是一个定值，即竿高和影长成正比例关系。“立竿见影”描述的就是在阳光下竖起一根杆子，立刻就能看到它的影子，从数学角度看，很好地体现了这种同时同地竿高和影长的正比例关系。据此判断。 【解答】解：成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。说法正确。 故答案为：√。 【变式练6】（2023•铜仁市）小明应完成的作业量一定，他已完成的作业量和未完成的作业量成反比例． ______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系．既然小明应完成的作业量一定，就看那两个变量（他已完成的作业量和未完成的作业量）是比值一定还是乘积一定，从而判定是不是成反比例关系． 【解答】解：已完成的作业量+未完成的作业量=应完成的作业量（一定）， 可以看出，已完成的作业量和未完成的作业量是两种相关联的变化的量，但是它们相对应的数是和一定，它们的乘积和比值都不一定， 所以已完成的作业量和未完成的作业量不成任何比例关系． 故答案为：×． 考点3 反比例 判断下列各题中的两种量是不是成反比例。（成反比例的画“√”） ①圆柱的体积一定，它的底面积与高。 ②苹果的单价一定，购买苹果的数量与总价。 ③铺地面积一定，每块砖的面积与需要的块数。 ④王明的年龄和他的身高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【解答】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×。典例 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 2．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练1】（2023•播州区）下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x=8y,则x和y B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数 C．在同时同地条件下，竹竿的长和它的影长 D．同学的年龄一定，他们的身高与体重 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.如果5x=8y,即x：y=，是比值一定，那么y和x成正比例； B.因为每块砖的面积×铺地砖块数=铺地面积（一定），是乘积一定，所以每块砖的面积与铺地砖块数成反比例； C、因为竹竿的长和它的影长，是比值一定，所以同时同地条件下，竹竿的长与它影子的长成正比例关系； D、同学的年龄一定，他们的身高与体重的比值不一定，乘积也不一定，所以他们的身高与体重不成比例。 故选：B。 【变式练2】（2023•金水区）如表所示，如果A与B两个量成反比例，那么“x”是（　　） A 12 8 B 6 x A．9 B．0 C．4 【答案】A 【分析】正比例是指当两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量；反比例是指当两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就叫做成反比例的量。 【解答】解：如果A与B两个量成反比例，那么  8x=6×12  8x=72    x=9 故选：A。 【变式练3】（2023•市南区）圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高成反比例，______． 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例． 【解答】解：圆柱的底面周长×高=侧面积（一定），是乘积一定，所以它的底面周长和高成反比例． 故判断为：正确． 【变式练4】（2023春•德江县期中）xy+3=19，x和y成反比例关系。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】判断成正比例关系还是成反比例关系，如果两个变量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果乘积一定，成反比例关系。 【解答】解：因为xy+3=19 所以xy=19-3=16（乘积一定），x和y成反比例关系，原题说法正确。 故答案为：√。 【变式练5】（2024•济南）师徒二人加工一批零件，师傅单独完成要40分钟，徒弟单独完成要1小时，师徒二人的工作时间比是 ______；他们的工作效率比是 ______。 【答案】2：3；3：2。 【分析】师傅用40分钟完成，徒弟用1小时即60分钟完成，用40分钟比60分钟即可求出师徒二人的工作时间，再化简即可； 工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，所以两者工作时间的反比就是工作效率的比，由此求解。 【解答】解：师徒二人的工作时间比：40：60=2：3 师徒二人的工作效率比：3：2。 故答案为：2：3；3：2。 【变式练6】（2024春•郓城县期中）两个量x和y成反比例，如果x=2时，y=5，那么y=时，x=______。 【答案】15。 【分析】根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系成反比例关系。据此即可列出比例关系式，然后解比例。 【解答】解：由题意得，x=2×5 x=10 x=15 答：x=15。 故答案为：15。 考点4 辨识成正比例的量与成反比例的量 典例 例：下列x和y成反比例关系的是（　　） A、y=3+x          B、x+y=           C、x=y         D、y= 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择． 【解答】A、因为y=3+x，所以y-x=3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例； B、因为x+y=（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例； C、因为x=，所以x÷y=（一定），是比值一定，x和y成正比例； D、因为y=所以xy=1，是乘积一定，x和y成反比例； 故选：D． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：=k（k为定值）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy=k（k为定值）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 【变式练1】（2025春•福清市期中）节约用水，人人有责。若一个没有关紧的水龙头，每时大约滴水3.6千克。照这样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】解：“照这样计算”说明每小时滴水的质量是相同的， 所以，滴水的总质量÷时间=每小时滴水的质量（一定）， 因此，滴水的质量与时间成正比例。 故选：B。 【变式练2】（2025春•牡丹区校级期中）如果xy=4.5×4，那么x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：xy=4.5×4=18（一定），乘积一定，所以x和y成反比例。 故选：B。 【变式练3】（2025春•汶上县期中）如果，则x和y成 ______比例。 【答案】反。 【分析】要想判定x和y成什么比例关系，要看x和y是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系。 【解答】解：因为，所以5xy=2 xy=0.4（一定） 可以看出，xy两种相关联的量，xy化而变化，0.4是一定的，也就是xy对应数的乘积一定，符合反比例的意义，所以xy反比例关系。 故答案为：反。 【变式练4】（2025春•福清市期中）已知6x=4y,则x与y成______比例关系；若（a、b均不为0），则a、b成______比例关系。 【答案】正；反。 【分析】根据x÷y=k（一定），x和y成正比例关系；xy=k（一定），x和y成反比例关系，进行分析。 【解答】解：已知6x=4y,则x÷y=，因此x与y成正比例关系； 若（a、b均不为0），则ab=，因此a、b成反比例关系。 故答案为：正；反。 【变式练5】（2025春•陕州区期中）圆的直径一定，它的周长和圆周率成正比例关系。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：因为圆的周长C=πd, 在此题中圆的直径一定，圆周率也是一定的， 所以周长也是一定的， 即三个量都是一定的，不存在变量问题， 所以圆的周长和圆周率不成比例；所以原题说法错误。 故答案为：×。 【变式练6】（2025春•汶上县期中）因为（一定），所以圆的周长和它的半径成正比例。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此判断即可。 【解答】解：因为圆的周长÷半径=2π（一定），符合正比例的意义，所以圆的周长和它的半径成正比例，说法正确。 故答案为：√。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 正比例和反比例 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．节约用水，人人有责。若一个没有关紧的水龙头，每时大约滴水3.6千克。照这样计算，滴水的质量与时间（　　） A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】解：“照这样计算”说明每小时滴水的质量是相同的， 所以，滴水的总质量÷时间=每小时滴水的质量（一定）， 因此，滴水的质量与时间成正比例。 故选：B。 2．已知且当x和y都不为0。当m一定时，x和y（　　） A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对 【答案】B 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解：=y,xy=2m,当m一定时，x和y成反比例关系。 故选：B。 3．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x=8y,则x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数。 C．速度一定，行驶的路程与时间。 D．同学们的年龄一定，他们的身高与体重。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。否则不成比例。 【解答】解：A：如果5x=8y,则x：y=，x和y成正比例关系； B：每块砖的面积×用砖块数=铺地面积（一定），所以铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数乘反比例关系； C：行驶的路程：时间=速度（一定），所以速度一定，行驶的路程与时间成正比例关系； D：同学们的年龄一定，他们的身高与体重不成比例。 故选：B。 4．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（　　） A．正方形面积与边长。 B．人的身高与年龄。 C．圆的面积与半径。 D．圆的周长与半径。 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A、正方形的面积÷边长=边长，没有定值，正方形的面积和边长所以不成比例； B、人的身高和年龄，不成比例； C、圆的面积÷半径=πr,没有定值，所以圆的面积与半径不成比例； D、圆的周长÷半径=2π（一定），所以圆的周长与半径成正比例。 故选：D。 5．有两个相关联的量，它们的关系如图，这两个量可能是（　　） A．一辆汽车，从甲地匀速开往乙地时的速度与时间。 B．小明的身高与体重。 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。 D．正方形的边长与面积。 【答案】C 【分析】由图可知，这两个相关联的量成正比例，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例；如果相对应的两个数的积一定，则这两种量成反比例；逐项解答即可。 【解答】解：A.从甲地匀速开往乙地时的速度×时间=甲地到乙地的路程（一定），也就是积一定，所以从甲地匀速开往乙地时的速度与时间成反比例。不符合题意。 B.小明的身高与体重不是相关联的量，所以身高与体重不成比例。不符合题意。 C.运货总吨数÷每次运货的吨数=汽车运货的次数（一定），也就是比值一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例。符合题意。 D.正方形的面积÷边长=边长（不一定），所以正方形的边长与面积不成比例。不符合题意。 故选：C。 6．下列式子中，x和y成反比例关系的是（　　） A． B．x+y=100 C．x：y=5：3 D． 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 【解答】解：A、xy=，x和y的乘积一定，则x和y成反比例关系； B、x+y=100，x和y的和一定，则x和y不成比例； C、x：y=5：3，x和y的比值一定，则x和y成正比例关系； D、y=x,即，x和y的比值一定，则x和y成正比例关系。 故选：A。 7．若，则x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果相对应的两个数的积一定，则这两种量成反比例关系；根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积；计算得出x与y的关系式，解答即可。 【解答】解： 2x×5=3y 10x=3y x：y= x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 故选：A。 8．已知x=（y≠0），那么关于x和y的关系，下列说法错误的是（　　） A．长x、宽y的长方形面积为1。 B．成反比例关系。 C．成正比例关系。 D．x和y互为倒数。 【答案】C 【分析】①长方形的面积=长×宽。②判断两个相关联的量是否成正比例，就看这两个量是对应的商一定还是对应的乘积一定；如果是商一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果商和积都不是定值，则不成比例关系。③根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数；据此逐项分析即可判断。 【解答】解：已知x=（y≠0），化简得xy=1。 A．长x、宽y的长方形面积=x×y=1，该说法是正确的，不符合题意； B．化简得xy=1（一定），x和y对应的乘积一定，因此x和y成反比例关系，该说法是正确的，不符合题意； C．x和y对应的乘积一定，因此x和y成反比例关系，原说法是错误的，符合题意； D．xy=1，根据倒数的定义，x和y互为倒数，该说法是正确的，不符合题意。 故选：C。 9．x、y是两种相关联的量，下面（　　）中的x、y成正比例关系． A．y=x B．= C．x+y=10 D．=y 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：选项A：y=x,即x：y=11：6，是比值一定，所以x和y成正比例； 选项B：=，即xy=12，是乘积一定，所以x和y成反比例； 选项C：x+y=10，是和的关系，所以x和y不成比例关系； 选项D：=y,即xy=5，是乘积一定，所以x和y成反比例． 故选：A． 10．如图，在长方形ABCD中，动点P沿着AB边从点A移动到点B，三角形PAD的面积随动点P的运动在不断变化。在点P的运动过程中，三角形PAD的面积和线段AP的长度（　　）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据成正比例的关系：两个相关联的量如果比值一定，这两个量就成正比例；若两个相关联的量乘积一定，则这两个量成反比例。据此解答。 【解答】解：三角形PAD的面积=AD×AP×，AD的长度一定，则三角形PAD的面积和线段AP的长度成正比例关系。 故选：A。 二．判断题（共4小题） 11．圆的周长和它的直径成正比例． ______． 【答案】√ 【分析】可以根据圆的周长的公式，进行变化，变为圆的周长和直径的比，看等于不等于常数，就能判定成不成正比例关系了． 【解答】解：圆的周长的公式为C=πd, =π，因为π是一个固定的数，也就是一个常数， 根据判断是否成正比例的方法，可以判定圆的周长和它的直径成正比例关系； 故答案为：√． 12．如果y=8x（x和y均不为0），那么x和y成反比例关系。 ______ 【答案】× 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】解：如果y=8x（x和y均不为0），即=8（一定），比值一定，所以x和y成正比例关系。原题说法错误。 故答案为：×。 13．订阅某一种杂志的数量和金额成反比例。 ______ 【答案】× 【分析】判断订阅某一种杂志的数量和金额是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定，就不成反比例。 【解答】解：因为某一种杂志的单价一定，所以订阅某一种杂志的金额÷数量=杂志的单价（一定），符合正比例的意义，不符合反比例的意义。 答：订阅某一种杂志的数量和金额成正比例，不成反比例。所以原题说法错误。 故答案为：×。 14．一个人的年龄和身高成正比例。 ______ 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：一个人的年龄和身高是两个不相关的量，所以一个人的年龄和身高不成比例。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 三．填空题（共5小题） 15．圆锥的高一定，圆锥的体积和底面积成 ______比例。 【答案】正。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：根据分析可得： V圆锥=Sh,h一定时，V：S=h（一定），所以两个量成正比例关系。 故答案为：正。 16．如果A×B=C，当C一定时，A和B成 ______比例；当A一定时，B和C成 ______比例。 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：如果A×B=C，当C一定时，A和B成反比例； C÷B=A（一定），当A一定时，B和C成正比例。 故答案为：反；正。 17．如果5n=7m（n、m都不为0），那么m：n= ______，m和n成 ______比例。 【答案】5：7；正。 【分析】根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，求出m与n的比值，根据判断成什么比例的方法判断即可。 【解答】解：如果5n=7m（n、m都不为0），那么m：n=5：7，所以m：n=5：7=（一定），比值一定，所以m和n成正比例。 故答案为：5：7；正。 18．a、b是两个相关联的量，且均不等于0。如果，那么a与b成 ______比例关系；如果，那么a与b成 ______比例关系。 【答案】正，反。 【分析】根据成正比例的两个量的比值一定，成反比例的两个量的乘积一定，判断即可。 【解答】解：a、b是两个相关联的量，且均不等于0。如果，=（一定），那么a与b成正比例关系；如果，3ab=，ab=（一定），那么a与b成反比例关系。 故答案为：正，反。 19．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，______的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）；小明追上小芳所需的时间为 ______分钟，此时他们都走了 ______米。 【答案】小芳；5；560。 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。根据题意，结合路程与时间的关系图解答即可。 【解答】解：210÷3=70（米/分） 560÷8=70（米/分） 路程÷时间=速度，速度是一定值，所以小芳路程与时间成正比例。 8-3=5（分钟） 小明追上小芳所需的时间为5分钟，此时他们都走了560米。 故答案为：小芳；5；560。 四．连线题（共1小题） 20．下面各题中的两种量之间是否有比例关系？如果有，成什么比例关系？连一连。 ​​ 【答案】 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：解答如下： 五．解答题（共4小题） 21．上表中，如果x和y成正比例，那么“？”处应填______；如果x和y成反比例，那么“？”处应填______。 x 2.4 ？ y 6 2.4 【答案】0.96、6。 【分析】如果x和y成正比例，则（x÷y）的值一定，由此计算“？”处应填数据；如果x和y成反比例，则（x×y）值一定，由此计算“？”处应填数据。 【解答】解：2.4÷6×2.4=0.96； 2.4×6÷2.4=6  故答案为：0.96、6。 22．我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。 （1）点A表示什么意思？______ （2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？______ （3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？ 【答案】（1）水龙头6分钟漏水72毫升。 （2）=12，成正比例。 （3）259.2天。 【分析】（1）横坐标表示时间，纵坐标表示漏水量，据此解答。 （2）从图像上可以看出，水龙头每分钟漏水12毫升，根据漏水量÷时间=每分钟漏水量写出关系式；再判断两种量是否成正比例。 （3）先求出水龙头一个月的漏水量，再求可供这个人喝几天。 【解答】解：（1）点A表示水龙头6分钟漏水72毫升。 （2）=12，V与t的比值一定，V与t成正比例。 （3）12×60×24×30=518400（毫升） 518400毫升=518.4升 518.4÷2=259.2（天） 答：可供这个人喝259.2天。 故答案为：水龙头6分钟漏水72毫升。=12，成正比例。 23．2022年某地发生特大旱灾，某慈善机构需要把一批物资一次全部运往灾区。每辆汽车的载质量与所需汽车的辆数如表。 每辆汽车的载质量/吨 4.5 5 7.5 9 …… 所需汽车的辆数 100 90 60 50 …… （1）如果用t表示每辆汽车的载质量，a表示所需汽车的辆数，t与a成什么比例关系？请你写出这个关系式。 （2）如果全部用载质量为15吨的汽车运，需要多少辆汽车？ 【答案】（1）运载的总质量=at，成反比例关系；（2）30辆。 【分析】（1）根据运载的总质量=每辆汽车的载重量×汽车数量，可得运载的总质量=at,判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。本题中乘积一定，所以t与a成反比例关系，据此解答即可； （2）根据运载的总重量÷每辆汽车的载载重量=需要汽车辆数，解答即可。 【解答】解：（1）根据题意，关系式是：运载的总质量=at,乘积一定，所以t与a成反比例关系。 （2）4.5×100÷15 =450÷15 =30（辆） 答：需要30辆汽车。 24．如表是一台碾米机的碾米情况。 工作时间/时 0 1 2 3 4 5 碾米质量A 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 （1）碾米机的碾米质量与工作时间成正比例关系吗？为什么？ （2）在如图中描出表示碾米质量与对应工作时间的点，并连线。 （3）碾米1.5t需要多少小时？ 【答案】（1）碾米机的碾米质量与工作时间成正比例关系，因为碾米质量：工作时间=每小时碾米质量（一定）； （2） （3）2.5小时。 【分析】（1）求出碾米机的碾米质量与工作时间的比值，如果比值一定，那么碾米质量与工作时间成正比例。据此解答。 （2）根据画折线统计图的方法，把表中相对应的点描在图中，再顺次连接即可。 （3）根据工作时间=工作量÷工作效率，列式解答。 【解答】解：（1）0.6：1=0.6÷1=0.6 1.2：2=1.2÷2=0.6 1.8：3=1.8÷3=0.6 2.4：4=12.4÷4=0.6 3：5=3÷5=0.6 比值一定，所以碾米机的碾米质量与工作时间成正比例关系。 （2）作图如下： （3）1.5÷0.6=2.5（小时） 答：碾米1.5t需要2.5小时。 学科网（北京）股份有限公司 $$