第5讲 比和比例(讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               比和比例 第5讲     专题概述 比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。解答比和比例的问题，应综合运用比和比例的意义、性质，这类问题比较复杂，常常同分数应用题、工程问题、行程问题等综合在一起，其间的数量关系也因此变得复杂起来。 解决比例问题的一般思路是：一、找出与问题有关的两种关联的量，判断其是否成比例关系；二、找出两种量的对应数值，将未知量设为 ；三、根据正反比例意义列出比例式；四、解比例，求出相应的值；五、检验并写出答句。解这类问题的关键，在于判断是否成比例关系。 重点例题1、2 【例1】某体育老师对六年级的140名学生进行训练，他把这些学生分成了三组。其中，第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少名学生？ 【思维点拨】解答本题的关键是先求出三个小组的连比，再根据每个小组所占的不同份额，求出各小组的人数。 一、二小组的人数比：2：3=8：12 二、三小组的人数比：4：5=12：15 一、二、三小组的人数比：8：12：15 总份数：8+12+15=35 第一小组人数：（名） 第二小组人数：（名） 第三小组人数：140× =60（名） 答：这三个小组分别有32名学生、48名学生、60名学生。 【例2】有一堆围棋子，分为黑、白两种颜色。小王拿走5枚白棋子后，黑子与白子的个数之比是2：1，再拿走15枚黑棋子后，黑子和白子的个数比为1：2。开始时，黑棋子和白棋子各有多少枚？ 【思维点拨】第二次拿走15枚黑棋子后，黑棋子和白棋子的个数之比由2：1=4：2变为1：2，其中白棋子的数目是不变的，因此我们就知道白棋子中原来的4份变成现在的1份，减少了3份。原来的黑棋子=15÷3×4=20（枚），白棋子=15÷3×2+5=15（枚）。 答：开始时，黑棋子有20枚，白棋子有15枚。 培优拔尖1 1．甲、乙的步行速度之比是2：3，乙、丙的步行速度之比是4：5，三人一分钟所走的路程之和是175米。甲、乙、丙三人一分钟各走了多少米？ 【答案】40米、60米、75米。 【分析】先求出三人速度的连比，再求出每份的路程，然后再分别乘各自的份数即可。 【解答】解：2：3=8：12 4：5=12：15 所以甲、乙、丙速度之比是8：12：15， 175÷（8+12+15）=5（米） 5×8=40（米/分钟） 5×12=60（米/分钟） 5×15=75（米/分钟） 答：甲、乙、丙三人一分钟分别走了40米、60米、75米。 2．甲、乙、丙三人合买一台电脑，甲付出钱数的等于乙付出钱数的，等于丙付出钱数的，已知丙比甲多付250元，问这台电脑共多少钱？ 【答案】5500元。 【分析】根据题意可得：甲×=乙×=丙×，可得甲：乙：丙==6：9：7，丙比甲多付的250元是这台电脑钱数的，据此用“250÷”解答即可。 【解答】解：根据题意可得，甲×=乙×=丙×， 所以，甲：乙：丙==6：9：7， 250÷=5500（元） 答：这台电脑5500元。 3．甲、乙两人各有钱若干元。已知甲的钱比乙的钱多3倍，当甲花去后，又花去了余下的。若这时甲给乙7元钱，则甲、乙两人的钱数恰好相等。甲原有多少元钱？ 【答案】72元。 【分析】甲花两次后剩下的钱数-7元=乙原有的钱数+7元，据此列方程解答即可。 【解答】解：设乙原有x元钱，则甲原来有（3+1）x=4x元钱。 4x××-7=x+7 解之得：x=18 18×4=72（元） 答：甲原有72元钱。 重点例题3、4 【例3】有一个长方体，它的棱长总和是120厘米，长、宽、高之比是6：5：4。这个长方体的表面积是多少？ 【思维点拨】这是一道关于分配比和长方体表面积的应用题。对于较为复杂的问题，分配比是要通过计算和转化才能求得，才可以根据比例分配。 我们知道，长方体的棱长之和是由4条长、4条宽和4条高组成的，由此，就可以算出一条长、一条宽和一条高的长度和。再根据长、宽、高之比是6：5：4，将一条长、一条宽和一条高的长度和按比例分配，就能求出长方体的长、宽、高，从而求出长方体的表面积是多少了。 一条长、一条宽和一条高的长度和：120 ÷ 4 = 30（厘米） 长: （厘米） 宽: （厘米） 高: （厘米） 长方体的表面积： （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是592平方厘米。 【例4】甲、乙、丙三艘船上的货物总价值2580万元，已知这三批货物的质量比是3：4：6，单位质量的价格比是5：4：2，问：这三批货物各值多少万元？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们已经知道了这三批货物的总价值，只要按照货物价值的比例进行分配，就可以求出这三批货物各自的价值了。 货物价值=货物的单价×货物的质量，所以甲货物的价值：乙货物的价值：丙货物的价值=(甲货物的单价×甲货物的质量)；（乙货物的单价×乙货物的质量）；（丙货物的单价×丙货物的质量），据此，我们就可求出这三批货物的价值比为：：=15：16：12，最后按比例分配就可以了。 甲货物的价值： （万元） 乙货物的价值： （万元） 丙货物的价值： （万元） 答：甲、乙、丙的货物分别值 900 万元、960 万元、720 万元。 培优拔尖2 1．加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个、32个、28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少名工人？ 【答案】第一道工序28人，第二道工序42人，第三道工序48人。 【分析】首先考虑计算专做第一、二、三道工序时完成每个零件需要的人数比：：=14：21：24，然后再根据比的分配求出专做第一、二、三道工序应安排的人数。 【解答】解：专做第一、二、三道工序时完成每个零件需要的人数比：：=14：21：24 14+21+24=59 第一道工序需要：118×=28（人） 第二道工序需要：118×=42（人） 第三道工序需要：118×=48（人） 答：专做第一道工序的需要28人，第二道工序的需要42人，第三道工序的需要48人。 2．水果批发站运来苹果、梨和橘子，出售时苹果、梨、橘子每千克价格比为4：5：6，已知一周三种水果售出数量比为3：2：4，又知苹果共卖得1440元，问上周批发部出售梨、橘子的收入各是多少元？ 【分析】苹果、梨、橘子每千克价格比为4：5：6，看作苹果、梨、橘子每千克价格为4份，5份，6份；三种水果售出数量比为3：2：4，看作三种水果售出数量为3份，2份，4份，所以可得苹果为4×3=12份为1440元，用除法求得1份的，再分别乘以梨、橘子的份数即可． 【解答】解：1440÷（4×3） =1440÷12 =120（元）， 120×（5×2） =120×10 =1200（元）， 120×（6×4） =120×24 =2880（元）， 答：上周批发部出售梨收入是1200元、橘子的收入是2880元． 3．一个圆柱和一个圆锥底面周长之比为4：3，高之比为5：6，圆锥体积是圆柱体积的少10立方厘米，圆柱体积是多少立方厘米？ 【分析】根据圆柱的体积公式：V=πr2h,圆锥的体积公式：Vπr2h,因为圆的半径和圆的周长成正比例，已知一个圆柱和一个圆锥底面周长之比为4：3，则圆柱和圆锥底面半径的比是4：3，所以底面积的比是16：9，又知圆柱和圆锥高之比为5：6，则圆柱和圆锥体积的比是（16×5）：（）=40：9，据此解答． 【解答】解：由分析得： 因为圆柱和圆锥底面周长之比为4：3，则圆柱和圆锥底面半径的比是4：3， 所以底面积的比是16：9， 又圆柱和圆锥高之比为5：6， 则圆柱和圆锥体积的比是（16×5）：（）=40：9， 设圆柱的体积为40x,圆锥的体积为9x, 所以9x=40x×-10       9x=20x-10        x=． 所以圆柱的体积是：40×=（立方厘米）， 答：圆柱的体积是立方厘米． 重点例题5、6 【例5】某校组织五年级和六年级开展围棋比赛，已知六年级比五年级少12人，五年级人数的 和六年级人数的 同样多。求：这两个年级参加围棋比赛的各有多少人？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们首先可以根据"五年级人数的 和六年级人数的 同样多"，算出五年级和六年级的人数比。再根据"六年级比五年级少12人"，也就是说六年级比五年级少的份数对应的是12人，从中求出每份数，最后求出每个年级各有多少人参加围棋比赛。解答本题的关键是要把分数的概念转化为比的概念，其实这两个概念是想通的。很多分数问题用比的概念解题，会变得很直观。 五年级人数与六年级人数之比： 每份数： 五年级人数：（人） 六年级人数：（人） 答：五年级参加比赛的有32人，六年级参加比赛的有20人。 【例5】大林和小林是兄弟俩，他们同时看中了文具店里的一把精致的转笔刀。这把转笔刀的售价为3元。如果小林买了这把转笔刀，那么小林剩余的钱数和大林的钱数之比是2：5；如果大林买下了这把转笔刀，那么两人的钱数之比变为8：13。请问：小林原来有多少钱？ 【思维点拨】由题目可知，大林的钱数相当于大林的钱数与小林买转笔刀后所剩钱数和的 ，小林的钱数相当于小林的钱数与大林买转笔刀后所剩钱数和的 ，所以小林、大林的钱数比为8：15，而小林买转笔刀后小林、大林的钱数之比为2：5=6：15，所以小林买转笔刀前后的钱数之比为8：6=4：3，所以转笔刀的售价等于小林原来钱数的 ，所以小林的钱数为 （元）。 答：小林原来有 12 元钱。 培优拔尖3 1．一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原来有多少元钱？ 【分析】根据条件可知，小明买，小明剩下的钱是两人剩下的钱的，如果小强买，那么小明的钱是两人剩下的钱的    因此用除法可求出小明剩下的钱占他自己原来的钱的几分之几；把小明原来的钱看作单位“1”，用1减去小明剩下的钱占他自己原来的钱的几分之几，就得出3元就是几分之几，3除以这个几分之几就算出答案． 【解答】解法一： 小明买，小明剩下的钱是两人剩下的钱的2÷（2+5）= 如果小强买，那么小明的钱是两人剩下的钱的8÷（8+13）= 所以小明剩下的钱占他自己原来的钱的÷=． 所以小明原来的钱有3÷（1-）=12元．        答：小明原来有12元． 解法二： 如果小明买， 剩下（8+13）÷（2+5）×2=6份， 用掉8-6=2份． 所以小明有3÷2×8=12元．         答：小明原来有12元． 2．一把小刀售价5元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原有多少钱？ 【分析】小明买后与小强的钱数比是2：5，因为两人买完后钱数总和不变，总和为7份，所以，小明买后的钱数：小强的钱数：总钱数=2：5：7，即：6：15：21．用同样方法，小明的钱数：小强买后的钱数：总钱数是：8：13：21．由此可知，小刀5元占总钱数的8-6=2份，每份是5÷2=2.5元．小明不买时占了8份，因此小明的钱数即可求出． 【解答】解：小明买后的钱数：小强的钱数：总钱数=2：5：7=6：15：21 小明的钱数：小强买后的钱数：总钱数=8：13：21 [5÷（8-6）]×8 =[5÷2]×8 =2.5×8 =20（元） 答：小明原有20元钱． 3．五年级和六年级共有310人参加数学竞赛，已知六年级的人数的等于五年级人数的，五年级参加数学竞赛的学生有多少？ 【答案】160人，150人。 【分析】设六年级参加数学竞赛学生为x人，则五年级参加数学竞赛学生为（310-x）人，根据题中的等量关系：“六年级的人数的等于五年级人数的”列方程解答即可。 【解答】解：设六年级参加数学竞赛学生为x人，则六年级参加数学竞赛学生为（310-x）人。 x×=（310-x）×   x=124-x  x=124     x=160 310-160=150（人） 答：六年级参加数学竞赛的学生有160人，五年级参加数学竞赛的有150人。 4．某小学四、五、六年级共有学生430人，已知五年级与四年级人数的比是5：4，六年级人数是五年级的，六年级比四年级多多少人？ 【分析】五年级与四年级人数的比是5：4=15：12；又因为六年级人数是五年级的，所以六年级人数：五年级人数：四年级人数=16：15：12，然后把四、五、六年级的总人数430人，按16：15：12的比例分配即可． 【解答】解：5：4=15：12 所以，六年级人数：五年级人数：四年级人数=16：15：12 16+15+12=43 430×=160（人） 430×=120（人） 160-120=40（人） 答：六年级比四年级多40人． 重点例题7、8 【例7】有两块铜锌合金，重量相同，但铜锌之比不同。第一块合金中，铜锌之比为 2：5；第二块合金中，铜锌之比为 1：3。如果把两块合金合成一块，求新的合金中铜锌之比。 【思维点拨】根据"第一块合金中，铜锌之比为 2：5"，可知铜占这块合金的 ；同理，可求出另一块合金中铜占的比值，是 。因为两块合金的重量相等，所以新合金中铜占 ，锌占1- 。 解：第一块合金中铜占总量的 。 第二块合金中铜占总量的 。 新合金中铜占总量的 。 新合金中锌占总量的 。 新合金中的铜锌之比是 。 答：新的合金中铜锌之比是 15 : 41。 【例7】甲、乙、丙三个小朋友，一共有54元钱。甲用了自己钱数的 ，乙用了自己钱数的 ，丙用了自己钱数的 ，各买了一个相同的玩具。问：甲、丙二人剩下的钱数共有多少元？ 【思维点拨】根据甲、乙、丙"各买了一个相同的玩具"，可知三人用去的钱数相同。甲钱数 乙钱数 丙钱数 。由此，可以得出三人原有钱数的连比。又知道三人的总钱数，所以按照比例分配，求出各人原有的钱数，最后就能求出甲、丙剩下的钱数了。 解：由题意可知，甲钱数 乙钱数 丙钱数 。 即，甲钱数 乙钱数 丙钱数 ， 所以，甲钱数：乙钱数：丙钱数=。 甲原有的钱数：（元）。 丙原有的钱数：（元）。 甲、丙共剩下的钱数：（元）。 答：甲、丙两人共剩下14元。 培优拔尖4 1．丁丁和宁宁各有一个盒子，里面都放有棋子，两只盒子里一共有270粒棋子．丁丁从自己盒子里拿出的棋子放入宁宁的盒子里后，这时宁宁盒子里的棋子数恰好比原来增加了．求两人原来各有多少粒棋子？ 【分析】设原来丁丁有棋子x粒，则宁宁有棋子270-x粒，根据总数是270粒，及调整后的数量关系：丁丁的粒数×（1-）+宁宁的粒数×（1+）=270列出方程，求解即可． 【解答】解：设原来丁丁有棋子x粒，则宁宁有棋子270-x粒，根据题意可得方程： （1-）x+（1+）×（270-x）=270，     x+×（270-x）=270，     x+324-x=270，      x=54，     x=120， 所以宁宁原来有270-120=150（粒）， 答：原来丁丁有120粒，宁宁有150粒． 2．甲、乙两只盒子里都放黑白两种颜色的棋子．已知甲盒里黑白棋子数的比为4：5，乙盒里黑白棋子数的比为5：4，并且甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9：16．求两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的比． 【分析】把乙盒子里的棋子数看作单位“1”，则甲盒子里的棋子数为；分别求出甲、乙盒中黑色棋子数和白色棋子数，即可求出两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的比． 【解答】解：把乙盒子里的棋子数看作单位“1”，则甲盒子里的棋子数为； ∵甲盒里黑白棋子数的比为4：5，乙盒里黑白棋子数的比为5：4， ∴甲盒中黑色棋子数和白色棋子数分别为×=，=， 乙盒中黑色棋子数和白色棋子数分别为，， ∴两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的比为（）：（）=116：109， 答：两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的比为116：109． 3．哥哥、弟弟二人，每月的收入比是4：3，但每月支出的钱的比是18：13，一年下来两人都结余3600元。兄弟二人每月的收入分别是多少元？ 【答案】哥哥每月收入3000元，弟弟每月收入2250元。 【分析】根据已知条件兄弟二人的收入比和支出比，设支出的钱的其中一份为x元，分别用含x的式子表示出哥哥和弟弟的收入，根据收入之比是4：3列出方程，解答即可。 【解答】解：兄弟二人每月节余的钱一样多，每月支出的钱的比是18：13，设其中的一份是x元： (18x+3600÷12):(13x+3600÷12)=4:3 (18x+300):(13x+300)=4:3  52x+1200=54x+900  2x=300  x=150 哥哥每月收入： 150×18+3600÷12 =2700+300 =3000（元） 弟弟每月收入： 150×13+3600÷12 =1950+300 =2250（元） 答：哥哥每月收入3000元，弟弟每月收入2250元。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 比和比例 强化训练 1．买甲、乙两种铅笔共210支，甲种铅笔每支价值3分，乙种铅笔每支价值4分，两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了______支． 2． 建筑用的混凝土是由水泥、沙、石子按5：4：3搅拌而成。某公司建住宅楼需混凝土1800吨，需水泥、沙、石子各多少吨？ 3． 甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的等于乙所付钱数的，等于丙所付钱数的．已知丙比甲多付了120元，那么这台电视机多少钱？ 4． 在一次数学综合测试中，甲、乙、丙三个人的成绩平均分是75，其中甲与乙的分数比为4：5，甲和丙的分数比为2：3，请问甲、乙、丙三人分别考了多少分？ 5． 六年级3个班男、女生的人数总和之比是3：2，一班、二班、三班的人数比是10：8：7，一班男、女生的人数比是3：1，二班男、女生的人数比是5：3，那么三班男、女生的人数比是多少？ 6． 小明家饲养的鸡与猪的只数比为26：5，羊与马的只数比为25：9，猪与马的只数比为10：3．求鸡、猪、马和羊的只数比． 7． 甲、乙、丙三人都在银行里都有存款，乙的存款比甲的2倍少100元，丙的存款比甲、乙两人存款数和少300元，甲的存款是丙的，求甲、乙、丙三人各有存款多少元？ 8．在三环附近相邻的两个楼盘一月份价格比是10：9，受新的经济政策影响，它们现在同时在二月份每平方米涨价1200元，现在的价格比是11：10，那么一月份这两个楼盘的价格分别是多少元每平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 5 讲 比和比例 强化训练 1．买甲、乙两种铅笔共 210支，甲种铅笔每支价值 3分，乙种铅笔每 支价值 4分，两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了______支． 2．建筑用的混凝土是由水泥、沙、石子按 5：4：3搅拌而成。某公司 建住宅楼需混凝土 1800吨，需水泥、沙、石子各多少吨？ 3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的 1 2 等于乙所付钱数 的 1 3 ，等于丙所付钱数的 3 7 ．已知丙比甲多付了 120元，那么这台电视机 多少钱？ 4．在一次数学综合测试中，甲、乙、丙三个人的成绩平均分是 75，其 中甲与乙的分数比为 4：5，甲和丙的分数比为 2：3，请问甲、乙、丙 三人分别考了多少分？ 5．六年级 3个班男、女生的人数总和之比是 3：2，一班、二班、三班 的人数比是 10：8：7，一班男、女生的人数比是 3：1，二班男、女生 的人数比是 5：3，那么三班男、女生的人数比是多少？ 6．小明家饲养的鸡与猪的只数比为 26：5，羊与马的只数比为 25： 9，猪与马的只数比为 10：3．求鸡、猪、马和羊的只数比． 7．甲、乙、丙三人都在银行里都有存款，乙的存款比甲的 2倍少 100 元，丙的存款比甲、乙两人存款数和少 300元，甲的存款是丙的 2 5 ，求 甲、乙、丙三人各有存款多少元？ 8．在三环附近相邻的两个楼盘一月份价格比是 10：9，受新的经济政 策影响，它们现在同时在二月份每平方米涨价 1200元，现在的价格比 是 11：10，那么一月份这两个楼盘的价格分别是多少元每平方米？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               比和比例 第5讲     专题概述 比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。解答比和比例的问题，应综合运用比和比例的意义、性质，这类问题比较复杂，常常同分数应用题、工程问题、行程问题等综合在一起，其间的数量关系也因此变得复杂起来。 解决比例问题的一般思路是：一、找出与问题有关的两种关联的量，判断其是否成比例关系；二、找出两种量的对应数值，将未知量设为 ；三、根据正反比例意义列出比例式；四、解比例，求出相应的值；五、检验并写出答句。解这类问题的关键，在于判断是否成比例关系。 重点例题1、2 【例1】某体育老师对六年级的140名学生进行训练，他把这些学生分成了三组。其中，第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少名学生？ 【思维点拨】解答本题的关键是先求出三个小组的连比，再根据每个小组所占的不同份额，求出各小组的人数。 一、二小组的人数比：2：3=8：12 二、三小组的人数比：4：5=12：15 一、二、三小组的人数比：8：12：15 总份数：8+12+15=35 第一小组人数：（名） 第二小组人数：（名） 第三小组人数：140× =60（名） 答：这三个小组分别有32名学生、48名学生、60名学生。 【例2】有一堆围棋子，分为黑、白两种颜色。小王拿走5枚白棋子后，黑子与白子的个数之比是2：1，再拿走15枚黑棋子后，黑子和白子的个数比为1：2。开始时，黑棋子和白棋子各有多少枚？ 【思维点拨】第二次拿走15枚黑棋子后，黑棋子和白棋子的个数之比由2：1=4：2变为1：2，其中白棋子的数目是不变的，因此我们就知道白棋子中原来的4份变成现在的1份，减少了3份。原来的黑棋子=15÷3×4=20（枚），白棋子=15÷3×2+5=15（枚）。 答：开始时，黑棋子有20枚，白棋子有15枚。 培优拔尖1 1．甲、乙的步行速度之比是2：3，乙、丙的步行速度之比是4：5，三人一分钟所走的路程之和是175米。甲、乙、丙三人一分钟各走了多少米？ 2．甲、乙、丙三人合买一台电脑，甲付出钱数的等于乙付出钱数的，等于丙付出钱数的，已知丙比甲多付250元，问这台电脑共多少钱？ 3．甲、乙两人各有钱若干元。已知甲的钱比乙的钱多3倍，当甲花去后，又花去了余下的。若这时甲给乙7元钱，则甲、乙两人的钱数恰好相等。甲原有多少元钱？ 重点例题3、4 【例3】有一个长方体，它的棱长总和是120厘米，长、宽、高之比是6：5：4。这个长方体的表面积是多少？ 【思维点拨】这是一道关于分配比和长方体表面积的应用题。对于较为复杂的问题，分配比是要通过计算和转化才能求得，才可以根据比例分配。 我们知道，长方体的棱长之和是由4条长、4条宽和4条高组成的，由此，就可以算出一条长、一条宽和一条高的长度和。再根据长、宽、高之比是6：5：4，将一条长、一条宽和一条高的长度和按比例分配，就能求出长方体的长、宽、高，从而求出长方体的表面积是多少了。 一条长、一条宽和一条高的长度和：120 ÷ 4 = 30（厘米） 长: （厘米） 宽: （厘米） 高: （厘米） 长方体的表面积： （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是592平方厘米。 【例4】甲、乙、丙三艘船上的货物总价值2580万元，已知这三批货物的质量比是3：4：6，单位质量的价格比是5：4：2，问：这三批货物各值多少万元？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们已经知道了这三批货物的总价值，只要按照货物价值的比例进行分配，就可以求出这三批货物各自的价值了。 货物价值=货物的单价×货物的质量，所以甲货物的价值：乙货物的价值：丙货物的价值=(甲货物的单价×甲货物的质量)；（乙货物的单价×乙货物的质量）；（丙货物的单价×丙货物的质量），据此，我们就可求出这三批货物的价值比为：：=15：16：12，最后按比例分配就可以了。 甲货物的价值： （万元） 乙货物的价值： （万元） 丙货物的价值： （万元） 答：甲、乙、丙的货物分别值 900 万元、960 万元、720 万元。 培优拔尖2 1．加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个、32个、28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少名工人？ 2．水果批发站运来苹果、梨和橘子，出售时苹果、梨、橘子每千克价格比为4：5：6，已知一周三种水果售出数量比为3：2：4，又知苹果共卖得1440元，问上周批发部出售梨、橘子的收入各是多少元？ 3．一个圆柱和一个圆锥底面周长之比为4：3，高之比为5：6，圆锥体积是圆柱体积的少10立方厘米，圆柱体积是多少立方厘米？ 重点例题5、6 【例5】某校组织五年级和六年级开展围棋比赛，已知六年级比五年级少12人，五年级人数的 和六年级人数的 同样多。求：这两个年级参加围棋比赛的各有多少人？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们首先可以根据"五年级人数的 和六年级人数的 同样多"，算出五年级和六年级的人数比。再根据"六年级比五年级少12人"，也就是说六年级比五年级少的份数对应的是12人，从中求出每份数，最后求出每个年级各有多少人参加围棋比赛。解答本题的关键是要把分数的概念转化为比的概念，其实这两个概念是想通的。很多分数问题用比的概念解题，会变得很直观。 五年级人数与六年级人数之比： 每份数： 五年级人数：（人） 六年级人数：（人） 答：五年级参加比赛的有32人，六年级参加比赛的有20人。 【例5】大林和小林是兄弟俩，他们同时看中了文具店里的一把精致的转笔刀。这把转笔刀的售价为3元。如果小林买了这把转笔刀，那么小林剩余的钱数和大林的钱数之比是2：5；如果大林买下了这把转笔刀，那么两人的钱数之比变为8：13。请问：小林原来有多少钱？ 【思维点拨】由题目可知，大林的钱数相当于大林的钱数与小林买转笔刀后所剩钱数和的 ，小林的钱数相当于小林的钱数与大林买转笔刀后所剩钱数和的 ，所以小林、大林的钱数比为8：15，而小林买转笔刀后小林、大林的钱数之比为2：5=6：15，所以小林买转笔刀前后的钱数之比为8：6=4：3，所以转笔刀的售价等于小林原来钱数的 ，所以小林的钱数为 （元）。 答：小林原来有 12 元钱。 培优拔尖3 1．一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原来有多少元钱？ 2．一把小刀售价5元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原有多少钱？ 3．五年级和六年级共有310人参加数学竞赛，已知六年级的人数的等于五年级人数的，五年级参加数学竞赛的学生有多少？ 4． 某小学四、五、六年级共有学生430人，已知五年级与四年级人数的比是5：4，六年级人数是五年级的，六年级比四年级多多少人？ 重点例题7、8 【例7】有两块铜锌合金，重量相同，但铜锌之比不同。第一块合金中，铜锌之比为 2：5；第二块合金中，铜锌之比为 1：3。如果把两块合金合成一块，求新的合金中铜锌之比。 【思维点拨】根据"第一块合金中，铜锌之比为 2：5"，可知铜占这块合金的 ；同理，可求出另一块合金中铜占的比值，是 。因为两块合金的重量相等，所以新合金中铜占 ，锌占1- 。 解：第一块合金中铜占总量的 。 第二块合金中铜占总量的 。 新合金中铜占总量的 。 新合金中锌占总量的 。 新合金中的铜锌之比是 。 答：新的合金中铜锌之比是 15 : 41。 【例7】甲、乙、丙三个小朋友，一共有54元钱。甲用了自己钱数的 ，乙用了自己钱数的 ，丙用了自己钱数的 ，各买了一个相同的玩具。问：甲、丙二人剩下的钱数共有多少元？ 【思维点拨】根据甲、乙、丙"各买了一个相同的玩具"，可知三人用去的钱数相同。甲钱数 乙钱数 丙钱数 。由此，可以得出三人原有钱数的连比。又知道三人的总钱数，所以按照比例分配，求出各人原有的钱数，最后就能求出甲、丙剩下的钱数了。 解：由题意可知，甲钱数 乙钱数 丙钱数 。 即，甲钱数 乙钱数 丙钱数 ， 所以，甲钱数：乙钱数：丙钱数=。 甲原有的钱数：（元）。 丙原有的钱数：（元）。 甲、丙共剩下的钱数：（元）。 答：甲、丙两人共剩下14元。 培优拔尖4 1．丁丁和宁宁各有一个盒子，里面都放有棋子，两只盒子里一共有270粒棋子．丁丁从自己盒子里拿出的棋子放入宁宁的盒子里后，这时宁宁盒子里的棋子数恰好比原来增加了．求两人原来各有多少粒棋子？ 2．甲、乙两只盒子里都放黑白两种颜色的棋子．已知甲盒里黑白棋子数的比为4：5，乙盒里黑白棋子数的比为5：4，并且甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9：16．求两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的比． 3．哥哥、弟弟二人，每月的收入比是4：3，但每月支出的钱的比是18：13，一年下来两人都结余3600元。兄弟二人每月的收入分别是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。解 答比和比例的问题，应综合运用比和比例的意义、性质，这类问题比 较复杂，常常同分数应用题、工程问题、行程问题等综合在一起，其 间的数量关系也因此变得复杂起来。 解决比例问题的一般思路是：一、找出与问题有关的两种关联的 量，判断其是否成比例关系；二、找出两种量的对应数值，将未知量 设为 x；三、根据正反比例意义列出比例式；四、解比例，求出相应 的值；五、检验并写出答句。解这类问题的关键，在于判断是否成比 例关系。 比和比例第 5讲 专题概述 【例 1】某体育老师对六年级的 140名学生进行训练，他把这些学 生分成了三组。其中，第一小组和第二小组人数的比是 2：3，第 二小组和第三小组人数的比是 4：5。这三个小组各有多少名学生？ 【思维点拨】解答本题的关键是先求出三个小组的连比，再根据每 个小组所占的不同份额，求出各小组的人数。 一、二小组的人数比：2：3=8：12 二、三小组的人数比：4：5=12：15 一、二、三小组的人数比：8：12：15 总份数：8+12+15=35 第一小组人数：140 × 8 35 = 32（名） 第二小组人数：140 × 12 35 = 48（名） 第三小组人数：140× 15 35 =60（名） 答：这三个小组分别有 32名学生、48名学生、60名学生。 【例 2】有一堆围棋子，分为黑、白两种颜色。小王拿走 5枚白棋 子后，黑子与白子的个数之比是 2：1，再拿走 15枚黑棋子后，黑 子和白子的个数比为 1：2。开始时，黑棋子和白棋子各有多少枚？ 重点例题 1、2 【思维点拨】第二次拿走 15 枚黑棋子后，黑棋子和白棋子的个数 之比由 2：1=4：2 变为 1：2，其中白棋子的数目是不变的，因此 我们就知道白棋子中原来的 4份变成现在的 1份，减少了 3份。原 来的黑棋子=15÷3×4=20（枚），白棋子=15÷3×2+5=15（枚）。 答：开始时，黑棋子有 20枚，白棋子有 15枚。 1．甲、乙的步行速度之比是 2：3，乙、丙的步行速度之比是 4：5， 三人一分钟所走的路程之和是 175米。甲、乙、丙三人一分钟各走了 多少米？ 2．甲、乙、丙三人合买一台电脑，甲付出钱数的 1 2 等于乙付出钱数的 1 3 ，等于丙付出钱数的 3 7 ，已知丙比甲多付 250元，问这台电脑共多少 钱？ 培优拔尖 1 3．甲、乙两人各有钱若干元。已知甲的钱比乙的钱多 3倍，当甲花 去 1 3 后，又花去了余下的 1 3 。若这时甲给乙 7元钱，则甲、乙两人的钱 数恰好相等。甲原有多少元钱？ 【例 3】有一个长方体，它的棱长总和是 120厘米，长、宽、高之 比是 6：5：4。这个长方体的表面积是多少？ 重点例题 3、4 【思维点拨】这是一道关于分配比和长方体表面积的应用题。对于 较为复杂的问题，分配比是要通过计算和转化才能求得，才可以根 据比例分配。 我们知道，长方体的棱长之和是由 4条长、4条宽和 4条高组成的， 由此，就可以算出一条长、一条宽和一条高的长度和。再根据长、 宽、高之比是 6：5：4，将一条长、一条宽和一条高的长度和按比 例分配，就能求出长方体的长、宽、高，从而求出长方体的表面积 是多少了。 一条长、一条宽和一条高的长度和：120 ÷ 4 = 30（厘米） 长: 30 × 6 6 + 5 + 4 = 12（厘米） 宽: 30 × 5 6 + 5 + 4 = 10（厘米） 高: 30 × 4 6 + 5 + 4 = 8（厘米） 长方体的表面积： (12 × 10 + 12 × 8 + 10 × 8) × 2 = (120 + 96 + 80) × 2 = 592 （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 592平方厘米。 【例 4】甲、乙、丙三艘船上的货物总价值 2580万元，已知这三 批货物的质量比是 3：4：6，单位质量的价格比是 5：4：2，问： 这三批货物各值多少万元？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们已经知道了这三 批货物的总价值，只要按照货物价值的比例进行分配，就可以求出 这三批货物各自的价值了。 货物价值=货物的单价×货物的质量，所以甲货物的价值：乙货物 的价值：丙货物的价值=(甲货物的单价×甲货物的质量)；（乙货物 的单价×乙货物的质量）；（丙货物的单价×丙货物的质量），据此， 我们就可求出这三批货物的价值比为5 × 3：4 × 4：2 × 6=15： 16：12，最后按比例分配就可以了。 甲货物的价值： 2580 × 15 15 + 16 + 12 = 2580 × 15 43 = 900（万元） 乙货物的价值： 2580 × 16 15 + 16 + 12 = 2580 × 16 43 = 960（万元） 丙货物的价值： 2580 × 12 15 + 16 + 12 = 2580 × 12 43 = 720（万元） 答：甲、乙、丙的货物分别值 900 万元、960 万元、720 万元。 1．加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人 培优拔尖 2 每小时分别能完成零件 48个、32个、28个，现有 118名工人，要使 每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少名工人？ 2．水果批发站运来苹果、梨和橘子，出售时苹果、梨、橘子每千克 价格比为 4：5：6，已知一周三种水果售出数量比为 3：2：4，又知 苹果共卖得 1440元，问上周批发部出售梨、橘子的收入各是多少元？ 3．一个圆柱和一个圆锥底面周长之比为 4：3，高之比为 5：6，圆锥 体积是圆柱体积的 1 2 少 10立方厘米，圆柱体积是多少立方厘米？ 【例 5】某校组织五年级和六年级开展围棋比赛，已知六年级比五 年级少 12人，五年级人数的 1 4 和六年级人数的 2 5 同样多。求： 这两个年级参加围棋比赛的各有多少人？ 【思维点拨】这是一道按比例分配的应用题。我们首先可以根据" 五年级人数的 1 4 和六年级人数的 2 5 同样多"，算出五年级和六年 重点例题 5、6 级的人数比。再根据"六年级比五年级少 12 人"，也就是说六年级 比五年级少的份数对应的是 12 人，从中求出每份数，最后求出每 个年级各有多少人参加围棋比赛。解答本题的关键是要把分数的概 念转化为比的概念，其实这两个概念是想通的。很多分数问题用比 的概念解题，会变得很直观。 五年级人数与六年级人数之比： 2 5 ÷ 1 4 = 8:5 每份数：12 ÷ (8−5) = 4 五年级人数：4 × 8 = 32（人） 六年级人数：4 × 5 = 20（人） 答：五年级参加比赛的有 32人，六年级参加比赛的有 20人。 【例 5】大林和小林是兄弟俩，他们同时看中了文具店里的一把精 致的转笔刀。这把转笔刀的售价为 3元。如果小林买了这把转笔刀， 那么小林剩余的钱数和大林的钱数之比是 2：5；如果大林买下了 这把转笔刀，那么两人的钱数之比变为 8：13。请问：小林原来有 多少钱？ 【思维点拨】由题目可知，大林的钱数相当于大林的钱数与小林买 转笔刀后所剩钱数和的 5 2 + 5 = 5 7 ，小林的钱数相当于小林的钱数 与大林买转笔刀后所剩钱数和的 8 8 + 13 = 8 21 ，所以小林、大林的 钱数比为8：15，而小林买转笔刀后小林、大林的钱数之比为2：5=6： 15，所以小林买转笔刀前后的钱数之比为 8：6=4：3，所以转笔刀 的售价等于小林原来钱数的 4−3 4 = 1 4 ，所以小林的钱数为 3 ÷ 1 4 = 12（元）。 答：小林原来有 12 元钱。 1．一把小刀售价 3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的 钱数之比是 2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是 8：13．小明原来有多少元钱？ 2．一把小刀售价 5元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的 钱数之比是 2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是 8：13．小明原有多少钱？ 培优拔尖 3 3．五年级和六年级共有 310人参加数学竞赛，已知六年级的人数的 3 8 等于五年级人数的 2 5 ，五年级参加数学竞赛的学生有多少？ 4．某小学四、五、六年级共有学生 430人，已知五年级与四年级人 数的比是5：4，六年级人数是五年级的 16 15 ，六年级比四年级多多少人？ 【例 7】有两块铜锌合金，重量相同，但铜锌之比不同。第一块合 金中，铜锌之比为 2：5；第二块合金中，铜锌之比为 1：3。如果 把两块合金合成一块，求新的合金中铜锌之比。 【思维点拨】根据"第一块合金中，铜锌之比为 2：5"，可知铜占 这块合金的 2 5 + 2 = 2 7 ；同理，可求出另一块合金中铜占的比值， 是 1 4 。因为两块合金的重量相等，所以新合金中铜占 ( 1 4 + 2 7 ) ÷ 2 = 15 56 ，锌占 1- 15 56 = 41 56 。 解：第一块合金中铜占总量的 2 5 + 2 = 2 7 。 第二块合金中铜占总量的 1 1 + 3 = 1 4 。 重点例题 7、8 新合金中铜占总量的 ( 1 4 + 2 7 ) ÷ 2 = 15 56 。 新合金中锌占总量的 1− 15 56 = 41 56 。 新合金中的铜锌之比是 15:41。 答：新的合金中铜锌之比是 15 : 41。 【例 7】甲、乙、丙三个小朋友，一共有 54元钱。甲用了自己钱 数的 3 5 ，乙用了自己钱数的 3 4 ，丙用了自己钱数的 2 3 ，各买了一个 相同的玩具。问：甲、丙二人剩下的钱数共有多少元？ 【思维点拨】根据甲、乙、丙"各买了一个相同的玩具"，可知三人 用去的钱数相同。甲钱数 × 3 5 = 乙钱数 × 3 4 = 丙钱数 × 2 3 。由此，可以得出三人原有钱数的连比。又知道三人的总钱 数，所以按照比例分配，求出各人原有的钱数，最后就能求出甲、 丙剩下的钱数了。 解：由题意可知，甲钱数 × 3 5 = 乙钱数 × 3 4 = 丙钱数 × 2 3 。 即，甲钱数 × 6 10 = 乙钱数 × 6 8 = 丙钱数 × 6 9 ， 所以，甲钱数：乙钱数：丙钱数=10:8:9。 甲原有的钱数：54 × 10 10 + 8 + 9 = 20（元）。 丙原有的钱数：54 × 9 10 + 8 + 9 = 18（元）。 甲、丙共剩下的钱数：20 × (1− 3 5 ) + 18 × (1− 2 3 ) = 14（元）。 答：甲、丙两人共剩下 14元。 1．丁丁和宁宁各有一个盒子，里面都放有棋子，两只盒子里一共有 270 粒棋子．丁丁从自己盒子里拿出 1 4 的棋子放入宁宁的盒子里后，这时 宁宁盒子里的棋子数恰好比原来增加了 1 5 ．求两人原来各有多少粒棋 子？ 2．甲、乙两只盒子里都放黑白两种颜色的棋子．已知甲盒里黑白棋 子数的比为 4：5，乙盒里黑白棋子数的比为 5：4，并且甲盒棋子总 数与乙盒棋子总数的比为 9：16．求两盒棋子中黑色棋子总数和白色 棋子总数的比． 培优拔尖 4 3．哥哥、弟弟二人，每月的收入比是 4：3，但每月支出的钱的比是 18：13，一年下来两人都结余 3600元。兄弟二人每月的收入分别是 多少元？ 第5讲 比和比例 强化训练 1．买甲、乙两种铅笔共210支，甲种铅笔每支价值3分，乙种铅笔每支价值4分，两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了______支． 【分析】根据“单价×数量=总价”并结合“甲种铅笔每支价值3分，乙种铅笔每支价值4分”知：甲、乙两种笔的支数的比为4：3，进而得出甲种笔占210支笔的，这样就可求得甲种铅笔所买的支数了． 【解答】解：甲、乙所买的支数的比为4：3 210×=120（支） 故：此空为120． 2．建筑用的混凝土是由水泥、沙、石子按5：4：3搅拌而成。某公司建住宅楼需混凝土1800吨，需水泥、沙、石子各多少吨？ 【答案】750吨、600吨、450吨。 【分析】根据题意，先求出总份数，然后分别求出水泥、沙子和石子各占总份数的几分之几，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可。 【解答】解：5+4+3=12 水泥：1800×=750（吨） 沙子：1800×=600（吨） 石子：1800×=450（吨） 答：需水泥、沙子、石子分别是750吨、600吨、450吨。 3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的等于乙所付钱数的，等于丙所付钱数的．已知丙比甲多付了120元，那么这台电视机多少钱？ 【分析】首先根据题意，把甲出的钱数看作单位“1”，分别求出乙、丙出的钱数各是多少；然后根据分数除法的意义，用丙比甲多出的钱数除以它占甲出的钱数的分率，求出甲出的钱数是多少；最后根据分数乘法的意义，用甲出的钱数乘以乙、丙出的钱数占甲的分率之和与1的和，求出这台电脑多少钱即可． 【解答】解：把甲出的钱数看作单位“1”， 则乙出的钱数是：1×÷= 则丙出的钱数是：1×÷= 120÷（）×（1） =120× =2640（元） 答：这台电脑2640元． 4．在一次数学综合测试中，甲、乙、丙三个人的成绩平均分是75，其中甲与乙的分数比为4：5，甲和丙的分数比为2：3，请问甲、乙、丙三人分别考了多少分？ 【答案】甲60分，乙75分，丙90分。 【分析】首先根据“甲与乙的分数比为4：5，甲和丙的分数比为2：3”，可得甲、乙、丙分数的比是4：5：6，再根据比的分配求得三人考的分数即可。 【解答】解：因为甲的分数：丙的分数=2：3=4：6 所以甲：乙：丙=4：5：6 三人考试总分：75×3=225（分） 甲的分数：225×=60（分） 乙的分数：225×=75（分） 丙的分数：225×=90（分） 答：甲考了60分，乙考了75分，丙考了90分。 5．六年级3个班男、女生的人数总和之比是3：2，一班、二班、三班的人数比是10：8：7，一班男、女生的人数比是3：1，二班男、女生的人数比是5：3，那么三班男、女生的人数比是多少？ 【答案】5：9。 【分析】根据题意：一、二、三班人数比，求出每班占全年级人数的分率；根据一、二、三班男、女生人数比，从而得出每班男生人数占全年级的分率；根据全年级男、女生人数比，得出男、女生分别占全年级总人数分率；用全年级男生的分率减一班男生的分率减二班男生的分率，即是三班男生的分率，再用三班总的分率减男生占的分率，即是女生的分率，求出男、女生的比，据此解答。 【解答】解：因为一班：二班：三班的人数比是10：8：7，10+8+7=25 所以一班人数占全年级人数的比为，二班人数占全年级人数的比为，三班人数占全年级人数的比为 因为一班男女生人数比是3：1，所以一班男生人数占该班人数的，即占全年级总人数的×= 因为二班男女生人数比是5：3，所以二班男生人数占该班人数的，即占全年级总人数的×= 而全年级男女生人数比是3：2，即全部男生占全年级总人数的，所以，三班男生占全年级总人数的--= 所以三班女生占全年级人数的-= 所以三班男女生人数比就为：=5：9 答：三班男、女生的人数比是5：9。 6．小明家饲养的鸡与猪的只数比为26：5，羊与马的只数比为25：9，猪与马的只数比为10：3．求鸡、猪、马和羊的只数比． 【分析】鸡与猪的只数比为26：5=（同时乘以2）52：10，所以鸡：猪：马=52：10：3=（同时乘以3）156：30：9，又因为羊与马的只数比为25：9，所以，鸡：猪：马：羊=156：30：9：25． 【解答】解：鸡：猪=26：5=52：10，又猪：马=10：3， 所以鸡：猪：马=52：10：3=156：30：9； 又羊：马=25：9， 所以鸡：猪：马：羊=156：30：9：25． 7．甲、乙、丙三人都在银行里都有存款，乙的存款比甲的2倍少100元，丙的存款比甲、乙两人存款数和少300元，甲的存款是丙的，求甲、乙、丙三人各有存款多少元？ 【分析】设甲存款x元，那么乙就存了2x-100元，丙就存了x+2x-100-300=3x-400元，再依据甲的存款数=丙的存款数×可列方程：x=（3x-400）×，依据等式的性质求出甲的存款数即可解答． 【解答】解：设甲存款x元       x=（x+2x-100-300）×       x=（3x-400）×       x=x-160   x+160=x-160+160 x+160-x=x-x  160=x       x=800 2×800-100 =1600-100 =1500（元） 800=2000（元） 答：甲存了800元，乙存了1500元，丙存了2000元． 8．在三环附近相邻的两个楼盘一月份价格比是10：9，受新的经济政策影响，它们现在同时在二月份每平方米涨价1200元，现在的价格比是11：10，那么一月份这两个楼盘的价格分别是多少元每平方米？ 【答案】12000元、10800元。 【分析】在三环附近相邻的两个楼盘一月份价格比是10：9，价格差是第一个楼盘价格的；同理，现在的价格比是11：10，价格差是现在第一个楼盘价格的，那么增长的1200元相当于第一个楼盘价格的（÷-1），然后用除法解答即可。 【解答】解：1200÷（÷-1） =1200÷ =12000（元） 12000×=10800（元） 答：一月份这两个楼盘的价格分别是12000元、10800元每平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $$