精品解析：2025年山东省临沂市兰陵县中考一模数学试题

2024-2025学年度下学期阶段质量调研 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为__________． 13. 若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为______． 14. 如图，中，，，点分别在边和边的延长线上，，，延长交于点F，若F是的中点，则的长为__________． 15. 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要__________个基本图形． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图：在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点P，连接，若的周长为12，长为2，求的周长． （2）以点B为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点Q，连接，若，求的度数． 18. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 19. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 20. 兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案： 方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为； 方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为； 请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）． 21. 图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）求证：． （2）小李测出车轮的直径为1米，为米，求的长度． 22. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． （2）若，当时，随的增大而增大，求的取值范围． （3）若，两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 23. 在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． （1）如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． （2）如图2，若为的中点，求的值． （3）如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期阶段质量调研 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键．根据实数大小比较原则计算即可． 【详解】解：∵， ∴这四个数中，最小的数是． 故选：A． 2. 截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：C． 3. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：． 5. 不等式组，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解出两个不等式，进而得到不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 解集在数轴上表示为： 故选：B． 6. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率；画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人都给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，两人都给“好评”的结果数为， 所以两人都给“好评”的概率为． 故选：C． 8. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和与正多边形的性质是解题的关键．根据多边形的内角和与正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：正六边形中， ，， 正方形中，， ， ， ． 故选A． 9. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 10. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3， ∴，， 即， 则原式， 故答案为：12． 13. 若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．当抛物线与直线只有一个公共点，联立方程，根据，解出，即可． 【详解】解：抛物线与直线只有一个公共点， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，中，，，点分别在边和边的延长线上，，，延长交于点F，若F是的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，，过点作于，由直角三角形的性质得出，再由勾股定理得，，取的中点，连接，根据中位线定理可得，，从而证明，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， 取的中点，连接， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 15. 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要__________个基本图形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，再进一步求解即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， ∴第2025个图案中需要个基本图形． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算零次幂，化简绝对值，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 17. 如图：在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点P，连接，若的周长为12，长为2，求的周长． （2）以点B为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点Q，连接，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解，，结合的周长为12，可得，再进一步求解即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，设，由题意得到等式，利用三角形内角和定理求解即可得到答案 【小问1详解】 解：∵线段的垂直平分线与边交于点P，长为2， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， 解得，即. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质． 18. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3） 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 19. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】（1） 根据表格描点如图所示， ， 一次； （2） （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据表描点，结合描点即可得到图像； （2）设与之间的函数关系式为，从表格找点代入求解即可得到答案； （3）将代入解析式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 20. 兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案： 方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为； 方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为； 请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）． 【答案】兰陵阁的高度约为米； 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用； 选择方案一：设，可得，结合，再建立方程求解即可； 选择方案二：如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，，设，求解，结合，再建立方程并进一步求解即可. 【详解】解：选择方案一： 由题意可得：，，，， 在中，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴兰陵阁的高度约为米； 选择方案二： 如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，， 在中，， ∴设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∴兰陵阁的高度约为米； 21. 图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）求证：． （2）小李测出车轮的直径为1米，为米，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 与相切于点D， ，即， 为的直径， ， 即， ， ， ； （2）的长度为2米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明，求出AC的长，从而求出的长． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，即根据圆周角定理得到，即根据等腰三角形的性质得到，求得； （2）由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 又， ， 的直径，，， ， 解得，舍去 答：的长度为2米． 22. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． （2）若，当时，随的增大而增大，求的取值范围． （3）若，两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，， 理由： 抛物线的对称轴为直线， ， ∵，， ∴点A，点B在对称轴的右侧， ①当时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ， ． ②当时，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ． 综上，当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先把点代入二次函数求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴即可； （2）根据当时，随的增大而增大，得出抛物线在对称轴右侧随的增大而增大，根据，列出关于a的不等式，解不等式即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，根据，，得出点A，点B在对称轴的右侧，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数， 得， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：，当时，随的增大而增大， 抛物线在对称轴右侧随的增大而增大， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， ∴ 【小问3详解】 略 23. 在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． （1）如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． （2）如图2，若为的中点，求的值． （3）如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）由正方形和翻折的性质可得是等边三角形，得，进而求得，，再利用平行线和三角形外角的性质得出和，最后根据等角对等边即可得出结论； （2）由正方形和翻折的性质可得，，延长交延长线于点，可证得，得到，进而可知垂直平分，得，可知，在利用余弦的定义得出，即可求解； （3）延长交于点，连接交于点，利用正方形和翻折的性质证出，得到，得出是的垂直平分线，证出，得到，设，表示出，设，在中利用勾股定理列出方程，解得，再通过证明得到，求出的长，再在中利用勾股定理解出的值，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，， ∴， 又∵， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 延长交延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，连接交于点， ∵正方形， ∴，， 由翻折的性质可得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $