精品解析：河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级下学期一模考试数学试题

2025年初中学业水平考试 数学试卷（模拟一） 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列互为倒数是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； B、，∴和互为倒数，符合题意； C、和，∴和不互为倒数，不符合题意； D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 2. 若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.确定a的值以及n的值是解题的关键． 先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：， 原数中“0”的个数为8， 故选：B． 3. 如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，下列说法正确的是（ ） A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置以及数轴上的数右边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，，； 故①②正确，③错误； 故选A． 4. 如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（ ） A. 路线 B. 路线 C. 路线 D. 路线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，这两地之间的最短距离为，其他线路都应大于，但是线路的长度为，所以线路所标的数据错误． 【详解】解：这两地之间的最短距离为， 其他线路都应大于， 线路的长度为， 故线路所标的数据错误． 故选：B ． 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 6. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：D 7. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案. 【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即， 由图①可得：， ∴；故甲作图痕迹正确； 根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键. 8. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， 故A选项不符合题意； ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则， 故选：D 9. a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得出和的值，把变形为，再代入即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 故选：A． 10. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：     ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 11. 如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 12. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 14. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 15. 如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把A点的坐标代入，即可求得，由C为的中点，求得，然后根据中点坐标的求法，即可求得a的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点A，， ∴， ∴． ∴； ∵C为的中点， ∴点C的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∴， ∵C为的中点，，， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数2356换算成十进制数是_______． 【答案】1262 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子，找到规律列式计算即可． 【详解】解：， 所以八进制数2356换算成十进制数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算的结果为P． （1）若，求P的值； （2）若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 【答案】（1） （2）2（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）把代入中求出结果即可得P的值； （2）由P的值为正数，得，解不等式求出x的取值范围，在取值范围内任意取一个整数值即可． 本题主要考查了已知字母的值求代数式的值，以及求一元一次不等式的整数解．准确的计算是解题的关键． 【小问1详解】 若，P的值为 ． 【小问2详解】 由题意，． 解得． x的整数值可以取2．（答案不唯一） 18. 已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． A． ；B． （1）若抽中的卡片是A． ①求整式C； ②当时，求整式C的值． （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 【答案】（1）①4x2+8x+4；②0 （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A． 【解析】 【分析】（1）①整式C为：-A+B，计算可得结论； ②将x=-1代入，即可得整式C的值； （2）分抽中的卡片是B或A两种情况计算整式C的值，并进行配方，可得结论． 【小问1详解】 解：①∵-A+B=-x2+9x+1+5x2-x+3 =4x2+8x+4， ∴整式C为：4x2+8x+4； ②当x=-1时， 4x2+8x+4=4×（-1）2+8（-1）+4 =4-8+4 =0； 【小问2详解】 解：若抽中的卡片是A时，由（1）知： 整式C为：4x2+8x+4=4（x+1）2， ∵4＞0，（x+1）2≥0， ∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数； 若抽中的卡片是B时， ∵-B+A=-5x2+x-3+x2-9x-1 =-4x2-8x-4， 整式C为：-4x2-8x-4=-4（x+1）2， ∵-4＜0，（x+1）2≥0， ∴无论x取何值，此时-4x2-8x-4是非正数； ∴若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A． 【点睛】此题考查的是整式的加减，配方法的运用，理解如何计算整式C是本题的关键． 19. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75 （2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义． （1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值； （2）根据中位数和平均数的意义即可求解； （3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； 【小问2详解】 解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； 【小问3详解】 解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】（1）24，120，10； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； 【小问2详解】 解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 22. 小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． （1）在图中，求弦的长； （2）在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） （3）在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）如图，连接，，与交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （）如图，连接，，延长交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为，再根据弧长公式即可求解； （）如图，连接，由切线长定理可得，设，则，由（）得，则，在中由勾股定理得，解得，得到，再根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， ∴， 解得， ∴所对的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：如图，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据顶点式写出坐标即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴顶点为B的坐标为． 故答案为： 【小问2详解】 由题意得：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为 即为； 【小问3详解】 ①由（1）知，， 由中点坐标公式得点， 当时，， ∴点E的坐标为， 则； ②由（2）知，， ∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O， 当时，， 则（不合题意的值已舍去）， 即点； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据点C平移的规律可得到 24. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试 数学试卷（模拟一） 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列互为倒数是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 3. 如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，下列说法正确的是（ ） A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对 4. 如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（ ） A. 路线 B. 路线 C. 路线 D. 路线 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 7. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 8. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 9. a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7 10. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 计算：_______． 14. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 15. 如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则________． 16. 国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数2356换算成十进制数是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算的结果为P． （1）若，求P的值； （2）若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 18. 已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． A． ；B． （1）若抽中的卡片是A． ①求整式C； ②当时，求整式C的值． （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 19. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 22. 小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． （1）在图中，求弦的长； （2）在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） （3）在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的值． 23. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 24. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $