山东省青岛第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

青岛二中20242025学年第二学期期中考试一高二数学试题参考答案 16【详解】(1)由散点图判断，y=e:d"适直作为授放量x与年使用人次的回日方程类型， 账号 9 10 由y=ed”,两边同到取常用对数得gy=g(c~d=名c+xlgd, 答类 B BCD BCD ACD 投gy=v,则v=lge+xgd 12-0 图为x=4,下=154，∑天-40.】 0.12 13.k>1. 所以gd- ∑x-7m 027-025 140-7x44 15.【解】(1)因为体有活动时同位于60,80)和[80,100的颜率分别为0.2和016. 把(4,15)代入下=lgc+gd,得ge=054, 所以轴取的9名学生中位于[6@0)的有9×265怎 所以0=0.54*0,25g,所以lgj=0.54+025x, 位于[80,100的有9-5=4人 则=104=3.47×10出， 所以随机变量X所有可能取值为Q1,2,3,且X量从超儿何分布， 故y关于x的回归方程为=3.47×0 做x--是高京答器 (2)议零服设H,:是否报废与是否保养无关 Pu小答0”rgy各品 由愿意，报废电动车中保养过得共20x30%=6台。未保养的电动车共20-6一14台。补充2×2列联 C842 表如下， 所以X的分布列为： 保养 米保养 合计 1 3 报慶 6 14 20 5 10 P 5 2 未报废 54 26 80 所以E(X)=0 10 +2% +3 2142*23423 合计 60 40 100 (2)白频率分有直方图可知，每天的运动时闻不纸子40分钟的频率为： 附x= n(ad-bep 100×(6×26-14x47 =9375>6.635, 20×(0.014+0010+0.008+0003)-0.7. a+b)(c+d)(a+e(b+d) 20×40×60×80 则y-B(0,0.7), 根据小照率植：=0.0的粒立性检验，我们推断H。不成立，即认为是吾报废与保养有美 17.)当as0时，fx)在R上单调递增：当a0时，f()在(-，血a)上单调遥减，在（血a,+∞）上单 E(Y=9=7.D(Y)=p1-P)=21 竭速赠 (2)ae-2 弟1更共3更 【详解】(1)首先求f)的导数，可料()=-a, 因为≤号一太一包成之，所以0≤8-2，即a的取镇宿围为a5e-2. 然后分情况讨论 当as0,因为e0恒成立，所以气x)=e°-a0恒成立所以f(x)在R上单调增 18.【详解】()用事件A,B,C分别表示每局此赛“甲获胜乙获胜"或平局”，则 当a0时，令f(-0,晖e'-a-0,解得x=lna P利-a克P片PG-君 当x<na时，e<a,所以广=e2-a0.此时f)单调递诚 记-进行4局比赛后甲学员赢得此赛为事件N,则事件N包括事件ABAA,BAAA,ACCA,CACA, CCAA共5种， 当xlna时，e'a,所以f)=e'-a>0.此时f)单调递嫩. 所以N门=IABA0+P(BAAA)+ACCA)+RCACA)+P(CCAA) 筹上。当a≤0时，八)在R上单调递增： =2P(BP(4P(A)P(4)+3PC)P(CP(4)P(4)-5 当a>0时，f八》在(-鱼a)上单翼遥减，在（血a,+)上单调递增。 8 《2)因为7=0。所以每局比券结果仪有甲获胜"和乙获胜"，即口+B=1, (2)当x0时，fx)2x成立，即e-四-1≥x2,移项可得a四5e-2-1. 由墨意得X的所有可能取植为2,4,5，则 风为0，两动同时降以，得到a号细度立 PX=2=a3+, 令-三-￥-上0.对制)求导，可得 t P(X=4)=(aB+Ba)a'+(af+Ba)Bi=2am+) =+子--D-1二1g-少 P(X=5)=(a8+Ba)-(0B+Ba)-1=4. 令到)=e--1之0)，对倒x)求导，可得气利=-1因为0，所以>列，即对=e-1>0.可知 所以X的分布列为 )=。-x-1在(0上单翼递增. 4 都么列xp(0)=e”-0-1=0,博x=e”-r-b0在0，©上恒成文 +B 20B(a+B) Aa'Bi 令-0，即任-XC--卫-0，因为e-x-10.>0,所以)-0的解为x-l。 所以X的期里民X)-2++8e线a2+的+20a22 当p0时，即任-Xe一t-》>0,因为e-x-p0,工0，所以x-0.解得，即)在1.+ -21-2e0+8a1-2a0+20ap-4a8-+4o8+2. 上单调速地， 当e0时.即区-C-x-》<0.因为e--p0.>0,所以-10，解得0x1,即母在0D 因为a+B=22网，所以9≤行当且仅当a=月一时，等号成立， 上单速减。 所以()在x-1处取得最小值，M=40-号-1e-2 所以0=ato+2=0ad++1s2x+1-号. 的是大值为华 第2更共3更 19,(1]1(2(3)证明见详解 所以0)=1-c+1≤(0)=0 【W解1D当a-0时，f-x>0.所以r-兰（红>0， 所以，当a=1时，证期：(x)≤0： 当0<x<l时，广(x)>0,f(小单调感增。 当x>1时，了()<0，f八x)单测递减， ，可得疗一对 (3)由e%=空 场以(x)“)-1,即f()1: 两边取以为盛的对数并整理得，名(a写+)-名他马+。串_， (2)法一 因为两*与，不妨设羊<： 铁证f倒-nx-e+》s0.只需Enr+1-e+1-x50 海，当a-0时，函数刊-血气0叭在(Q)上单调递绵，在+e上外调述减 8国-hx41-e+1xg国=e-1-国-0- fx.=f0=1. e e 所以)-乌)， 令x)=e-默.(x)=e-g 面得-0，县当x>1时，0恒成立，将到1名， 当x(0,)时(x)<0,)在01)单调速诚 当xe山，+切)时x)>0。(x)在山.+∞)单调通增1 所以。(x)a■D=0,博xe(0,+,(x)之0.所以当x∈(0，)时g(x)>0,8x)在(01)单调递 增：所以当xe山，+如时g(x)<0.s()在自.+)单到通减：所以，g()m=g=0,即 2--功，x x∈(0，+e）,gx)s0.证革 法 w倒-fe2-s-fefR--g2- x2-x月 就证f树)=a中-e…-+)s0.只需证nx+1-和+1-x50 gg-.-fo 只需证lnx-x+1-ehr+1≤0， 令1=nx-x+1,t∈人o0.只需证t-g+Is0, 所以函数8()在很上单调遍增， 令州)=t-e+1,0=1-e 所以()<g)-0,▣f（(cf八2-)，于是f()=八g)sf(2-), 当1e(,0]时，)≥0.)在(.0上单调递增 又了（在电+∞）上单调速减，所以名>2-三， 所+>+2-=2-4x+4=2(无-)+2>2斜证. 第3更共3更 青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试—高二数学试题 时间: 120分钟 满分: 150分 命题人： 审核人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ²), 且P(X>2)=0.7, 则P(3<X<4)=( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y (颗)的关系，某小组采集了9组数据，绘制散点图如右图，并对x，y进行线性回归分析.若在图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是( ) A. x，y不具有线性相关性 B.决定系数R²变大 C.相关系数r变小 D.残差平方和变小 3.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有( ) A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 4.已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某小组收集了一组x，y的样本数据如右表所示，根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.6 1 1.4 1.5 A. y=0.21x+0.53 B. y=0.25x+0.21 C. y=0.28x+0.16 D. y=0.31x+0.11 5.某篮球运动员每次投篮投中的概率是 ，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设 则( ) A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. b<a<c 7.某校高二年级有5名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游.已知5名同学中有2名男生，3名女生.每个景点至少有1名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这5名同学游玩行程的方法数为( ) A. 30 B. 36 C. 42 D. 54 8. 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x), 不等式( 恒成立，且 则不等式 的解集为( ) A. (0,3) B. (-3,3) C. (-3,6) D. (3,6) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若 则下列结论中正确的是( ) A.展开式中二项式系数最大项为第3项 B. 当x=-8时, 除以8的余数是1 10. 有个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子; …;以此类推, 记“从i号盒子取出的球是白球”为事件A₁(i=1, 2, 3, ……,n),则( ) 11.已知函数 在x=2处取得极值，且在 上单调，则下列结论中正确的是 ( ) A. a的取值范围是(-2,+∞) B. f(x)不可能有两个零点 C. 当a=2时, 过点 作曲线y=f(x)的切线有且仅有两条 D. 当a=2时, f(x)的图象与 图象交点的纵坐标之和为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 展开式中x³的系数为 . 13.已知函数 若f(x)有两个零点，则实数k的取值范围 . 14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，…，12，从盒中任取3个球，记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的期望为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如右图的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于[60,80)和[80,100)的两组学生中抽取9名学生,再从这9名学生中随机抽取3人，用X表示这3人中属于[60，80)的人数，求X的分布列和数学期望： (2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”。以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数Y的均值和方差。 16.(15分)某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x (单位：千辆)与年使用人次y(单位：千次)的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型 或指数函数模型 对两个变量的关系进行拟合。请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?并求出y关于x的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%.请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关? \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据： 参考公式：对于一组数据(x₁,y₁), (x₂,y₂), …(xₙ,yₙ), 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 其中 P(x²≥k) 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. (15分) 已知函数. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x>0时, 恒成立，求实数a的取值范围. 18.(17分)甲、乙两名象棋学员进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为 且每局比赛结果相互独立. (1)若 求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； (2)当 时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值. 19. (17分)已知函数 (1)当 时，求f(x)的最大值； (2)当 时，证明： (3)若 且 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$