精品解析：上海市通河中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市通河中学 2024 学年第二学期期中考试 高一年级数（学科）试卷 考试说明:1、满分:100 分；考试时间:90 分钟 2、试题答案全部做在答题纸上. 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 42 分，第 1~6 题每题 3 分，第 7~12 题每题 4 分） 1. 集合，则__________. 2. 已知角的终边经过点，则 _____ 3. 复数，则______． 4. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 5. 设，，用a，b表示的结果为__________. 6. 已知，，若与共线，则实数的值为________________． 7. 向量满足与的夹角为，则______． 8. 已知，则向量在向量的方向上的投影向量为______ 9. 已知a,b是正实数,且,则的最小值为______. 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 11. 函数有零点，则实数范围是_____ 12. 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. 二.选择题（本大题共 4 小题， 每题 3 分， 共 12 分） 13. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 14. 在中，“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 函数是由（ ）得到的 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向右平移 D. 向左平移 16. 对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 46 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知 ， （1）求 和 ； （2）已知 ，且 ，求实数的值. 18. 已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c； （1）若，，，求的面积； （2）若，求角A的值. 19. （1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 20. 已知函数表达式为. （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； （2）若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 21. 如图所示，设是平面内相交成 角两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，求的模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）设，若对恒成立，求 的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市通河中学 2024 学年第二学期期中考试 高一年级数（学科）试卷 考试说明:1、满分:100 分；考试时间:90 分钟 2、试题答案全部做在答题纸上. 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 42 分，第 1~6 题每题 3 分，第 7~12 题每题 4 分） 1. 集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 2. 已知角的终边经过点，则 _____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 故答案为：. 3. 复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为： 4. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 5. 设，，用a，b表示的结果为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 6. 已知，，若与共线，则实数的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得结果. 【详解】因为与共线，则，因此，. 故答案为：. 7. 向量满足与的夹角为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求，即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：2. 8. 已知，则向量在向量的方向上的投影向量为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合数量积和模的坐标运算，根据投影向量的公式求解即可. 【详解】由向量， 则向量在向量的方向上的投影向量为. 故答案为： 9. 已知a,b是正实数,且,则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 ，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】 ， ， 当 ，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的变形，属于基础题型. 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： 11. 函数有零点，则实数的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦的倍角公式得到，令，得到，令，，根据条件可知与有交点，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 令，则，令，得到，所以， 令，，当时，， 又因为函数有零点， 所以与有交点，则， 故答案为：. 12. 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由，可得： 再由，可得：，则，最后由可得解. 【详解】设 的面积为， 为中点， 又C、P、Q三点共线，，即 则 当且仅当时取得最小值. 【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题. 二.选择题（本大题共 4 小题， 每题 3 分， 共 12 分） 13. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：B 14. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件结合正弦定理分析判断即可. 【详解】当时，，则由正弦定理得， 当时，由正弦定理得，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C 15. 函数是由（ ）得到的 A 向右平移 B. 向右平移 C. 向右平移 D. 向左平移 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 16. 对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 46 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. 已知 ， （1）求 和 ； （2）已知 ，且 ，求实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算； （2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值. 【小问1详解】 根据向量模的计算公式，. 已知，，所以. 再根据向量模的计算公式求出. 然后根据向量的夹角公式可得. 因为两向量夹角的范围是，所以. 【小问2详解】 已知，，，则. 因为，根据向量垂直的性质，所以. 即，解得. 18. 已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c； （1）若，，，求的面积； （2）若，求角A的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，结合三角形内角和定理可得，利用三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理，可得，又， 所以，则， . 【小问2详解】 由，可得， 由余弦定理得，又， 所以. 19. （1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 20. 已知函数的表达式为. （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； （2）若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【小问1详解】 因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； 【小问2详解】 由，知， 当时，，所以， 所以. 21. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，求的模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）设，若对恒成立，求 的最大值. 【答案】（1） （2）不正确，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 因为，则，又， 则. 【小问2详解】 不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. 【小问3详解】 因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$