精品解析：江苏省阜宁中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024－2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试题 命题：李新军 审核：王守勤 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用数字组成的无重复数字的五位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 364 B. 362 C. 121 D. 120 4. 已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ） A. 最大值为2 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为2 6. 将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A. 20 B. 36 C. 54 D. 108 7. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且，若其导函数为，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 10. 一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率 C. 表示第三次抽到次品的概率 D. 11. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. 被7除的余数为5 C. 的个位数为4 D. 存在实数，使得数列是等比数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则______． 13. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______． 14. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______． 四、解答题本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和； 16. 已知椭圆经过点和点 （1）求椭圆的方程与焦距． （2）直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 17. 函数. （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值； （2）若，对任意且，不等式成立，求的最小值. 18. 设． （1）求； （2）若, ①求取最大时的值； ②求. 19. 如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）若，求动点的轨迹形状和长度； （3）若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试题 命题：李新军 审核：王守勤 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用数字组成的无重复数字的五位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先确定个位，再考虑其他数位，利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】分两步完成，第一步，确定个位数字，有2种方法， 第二步将余下的四个数字在除个位外的四个数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，这样的五位偶数有个. 故选：C. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以二项式展开式中的常数项为， 故选：D． 3. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 364 B. 362 C. 121 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：A. 4. 已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线为， 因为直线与双曲线有公共点，故有，即， 所以，所以.所以， 所以的离心率的范围为. 故选：D. 5. 已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ） A. 最大值为2 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 6. 将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A. 20 B. 36 C. 54 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”. 【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论: 1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法; 2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法; 3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法; 4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法; 所以满足条件的不同排列方法的总数之和为. 故选：C. 7. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 确定事件AB，利用古典概型的概率公式计算出P(AB)和P(A)，再利用条件概型的概率公式可计算出P(B|A)的值. 【详解】事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”. , 所以 故选：A 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题． 8. 已知定义域为的函数满足，且，若其导函数为，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的导数、函数的周期性等知识进行分析，从而求得正确答案. 【详解】由，两边同时求导，得，即． 又因为，两边同时求导，得， 所以，即． 所以．两式相减，得， 所以为周期函数，4为最小正周期．在中， 令，得，所以． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据可得判断B；运用反证法思想说明不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D. 【详解】对于A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，由，可得，因，则，故B错误； 对于C，假设共面，则存在，， 因向量组是空间的一个基底，故不存在使得成立， 故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对于D，因，且，故四点共面，即D正确. 故选：ACD. 10. 一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率 C. 表示第三次抽到次品的概率 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的含义和概率分布公式，逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，根据的含义和概率分布可知，表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率，故B正确； 对于C，根据的含义和概率分布可知，表示前两次抽到正品，第三次抽到次品的概率，故C错误； 对于D，因，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. 被7除的余数为5 C. 的个位数为4 D. 存在实数，使得数列是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列递推式，构造等比数列，利用累加法求得，从而可判断A项，利用二项式展开式被7除的余数情况可判断B项，利用数列的个位数字构成数列满足，易判断C项，取，可证明成等比数列判断D项. 【详解】由可得， 因，则数列为等比数列，首项为12，公比为4， 故， 于是 ，时，均满足. 对于A，，故A正确； 对于B，， 因 ， 故被7除余数为4，继而被7除的余数为1，故B错误； 对于C，因，数列的个位数字构成数列， 则以此类推可知，， 故的个位数为，故C错误； 对于D，当时，，由，可得为等比数列，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得. 【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离， 因，代入，解得， 故. 故答案为：2. 13. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以函数是上的增函数， 因为，所以， 则不等式等价于， 即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，消去，推得，再根据等差数列的定义即可求得通项； （2）利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 当时，由，解得， 由，得， 两式相减，得，即， 即． 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 因此，． 【小问2详解】 由（1）得， 则 ， 两式相减得 故. 16. 已知椭圆经过点和点 （1）求椭圆的方程与焦距． （2）直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 【答案】（1），焦距为4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程与焦距； （2）设点，，联立直线与椭圆N的方程得，根据韦达定理求得与，由，，化简代入韦达定理式，解得t的值，从而求出定点即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得，，， 故椭圆方程为，焦距为. 【小问2详解】 设点， 联立得． 所以， 因为 所以即： 化简得： ， 方程左边通分后对分子提取公因式可得： ， 进而化简得， 因为，所以得： 所以直线过定点. 17. 函数. （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值； （2）若，对任意且，不等式成立，求的最小值. 【答案】（1）， （2）12 【解析】 【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解； （2）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为曲线在处的切线的方程为， 所以， 解得， 【小问2详解】 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，不妨设，则 因为， 所以， 即恒成立， 设， 若，则是上的常函数，显然不成立， 若，则是上的减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）． 综上，，即的最小值为. 18. 设． （1）求； （2）若, ①求取最大时的值； ②求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）对二项展开式中的分别赋值，即可求解； （2）①根据二项式的通项，利用不等式法求解取整即得；② 通过对二项展开式两边求导再赋值即可求得. 【小问1详解】 由， 令，可得； 令，可得； 所以． 【小问2详解】 ① 由题意知的展开式的通项为，， 所以，． ，解得：， 所以. ② 由 两边求导得： 令得：， 即. 19. 如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）若，求动点的轨迹形状和长度； （3）若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 【答案】（1） （2）圆； （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可. （2）设出动点，利用空间向量垂直的坐标表示求解轨迹方程，进而得到形状是圆，再结合圆的弧长公式求解轨迹长度即可. （3）利用三角形面积公式分析出面积最大时点到直线的距离最大，再利用点到直线的距离公式将表示为一元函数，再结合二次函数的性质求解的坐标即可. 【小问1详解】 由题意得，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为圆柱的底面半径和母线长均为4，， 所以，，，则，， 设平面的法向量为，得到， ，令，解得，， 故平面的法向量为，易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则. 【小问2详解】 设，则，， 因为，所以，则， 化简得，即， 即动点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，轨迹长度为. 【小问3详解】 由已知得，， 由模长公式得， 由题意得圆的方程为，故设， 设到的距离为，而， 故当最大时，只需要保证最大即可，而， 则 ， ，， 故， 由点到直线的距离公式得， ， ， ， 令，则， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，则值最大，的面积最大，此时， 由同角三角函数的基本关系得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $