精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

格致中学二〇二四学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 2. 椭圆的焦距是_________. 【答案】2 【解析】 【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距 详解：∵椭圆 ∴. 即答案为2． 点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题 3. 设事件是互斥事件，且，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解. 【详解】事件是互斥事件，且，所以. 故答案为： 4. 若直线与互相垂直，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值. 【详解】由，即， 又直线与直线互相垂直， 故， 解得， 故答案为：. 5. 抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线定义即可得到结果. 【详解】根据题意可得：． 故答案为4 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合的思想，属于基础题. 6. 已知，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】先令求，再令即可得答案. 【详解】令得， 令得， 所以. 故答案为：. 7. 抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为所以所以双曲线的渐近线方程为，其夹角为. 考点：双曲线的渐近线 考点： 8. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 9. 某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有_____人. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据茎叶图求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人人， 故答案为：2. 10. 设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______． 【答案】329 【解析】 【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 11. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解. 【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且， 所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为， 又由切线垂直角的角平分线，所以， 即. 故答案为：. 12. 已知实数，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论可作曲线，再根据双曲线的渐近线，结合目标函数的几何意义及曲线的几何性质可得解. 【详解】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组， 可得， 当直线与椭圆相切时，则有， 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为， 即的取值范围是． 故答案为： 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点位置确定抛物线方程为，根据准线可求得，从而得到结果. 【详解】抛物线焦点在轴负半轴，可设抛物线方程为， 则，解得：，抛物线方程为：. 故选：D. 14. 已知圆截直线所得弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【详解】由，即， 故圆心，半径， 所以点到直线的距离， 故，即， 解得：； 所以，； 又，圆心，， 所以， 且， 即圆与圆相交， 故选：B 15. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（ ） A. 8， 8.5 B. 8， 8 C. 9， 8 D. 8， 9 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，根据众数的概念可得结果.把样本数据从小到大排序，根据取第16个数和第17个数的平均数即是第40百分位数. 【详解】党员人数一共有， 学习党史时间为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8， 因为，所以第40百分位数是第16和17个数的平均数， 把学习党史时间从小到大进行排序，根据所给数据可知第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是 故选：A. 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动 点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为 A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆和，为上动点，为上动点， 可设，， 则， 当时，取得最大值， 则在上，在上，且中的元素有无穷对，故选D. 三、解答题：（本题共有5大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知直线． （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值； （2）直线与直线平行，求与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线在两坐标轴上截距的定义直接可得； （2）由两直线平行可得，再根据平行线间距离公式可得解. 【小问1详解】 直线，令，解得， 所以； 【小问2详解】 直线与直线平行可知，解得， 所以，即，满足条件， 所以直线与直线间距离. 18. 在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A､B､C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个） 纪念品A 纪念品B 纪念品C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个. （1）从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x､y､10､11､9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值； （2）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于、的等量关系，然后将用前面的等式进行表示即可求出值； （2）设这一天生产的纪念品为，根据分层抽样的原理建立方程，求出，再设所抽样本中有个精品型纪念品，则，求出，然后利用古典概型的方法求出至少有1个精品型纪念品的概率即可． 【小问1详解】 解：由题得，则， 由于，得， 从而，， 即； 【小问2详解】 解：设这一天生产的纪念品为， 由题意得，，， 所以， 设所抽样本中有个精品型纪念品，则，， 故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品， 所以，至少有1个精品型纪念品的概率为. 19. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值. 【答案】（1）或；（2）或；（3）不存在. 【解析】 【分析】（1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为Q（a,b），由题可得，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由的斜率，，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. 【详解】（1）由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆C的圆心为，半径， 由 ， 解得或. 所以直线方程为或， 即 直线的方程为或. （2）设MN的中点为Q（a,b），则， 又PQ⊥CQ，所以， ∴， ∴或， ∴以为直径的圆的方程为或. （3）由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离， 设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上． 所以的斜率，而，所以 由于不满足， 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 格致中学二〇二四学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 椭圆的焦距是_________. 3. 设事件是互斥事件，且，则__________. 4. 若直线与互相垂直，则实数___________． 5. 抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______. 6. 已知，则=________． 7. 抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为_____. 8. 三角形三边长为，则以边长为6两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 9. 某校高二年级为选拔参加数学竞赛学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有_____人. 10. 设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______． 11. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 12. 已知实数，满足，则的取值范围是______. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知圆截直线所得弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 15. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（ ） A. 8， 8.5 B. 8， 8 C. 9， 8 D. 8， 9 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动 点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为 A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 三、解答题：（本题共有5大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知直线． （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值； （2）直线与直线平行，求与之间的距离． 18. 在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A､B､C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个） 纪念品A 纪念品B 纪念品C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个. （1）从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x､y､10､11､9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值； （2）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率. 19. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值. 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$