5.7 二次函数的应用 第1课时 二次函数与图形面积的最值问题-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（青岛版）

5.7二次函数的应用 第1课时二次函数与图形面积的最值问题（答案P14) 通基》9292929292929929>2 6.教材51桃战自我变式为了节省材料，某水产 养殖户利用水岸的岸堤（岸堤足够长）为一边， 知识点，二次函数与几何图形面积的最值问题 用总长为40m的渔网在水库中围成了如图所 1.已知一个直角三角形的两直角边长度之和是 示的两个矩形区域.设BC的长度为x(m),矩 20cm,则这个直角三角形面积的最大 形区域ABCD的面积为y(m). 值是() (1)求y与x之间的函数表达式。 A.25cmB.50cm2C.75cm2D.不确定 (2)当x为何值时，y有最大值？最大值 2.用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积 是多少？ S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩 形的面积最大，L的长度应为( 区城 A.63mB.15m C.20m D.103m X城② 3.用长为6m的铝合金做一个形状 如图所示的矩形窗框，要使做成的 窗框的透光面积最大，则该窗的 长、宽应分别做成( A.1.5m,1m B.1m,0.5m C.2 m,1 m D.2m,0.5m 4.利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成 一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于 6m,则这个苗圃园面积的最大值和最小值分 别为( A.168m2,102m2 B.200m2,102m 通能力 C.200m2,168m D.160m2,102m 7.几何直观，如图所示，利用一个直角墙角修建 5.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB 一个DC∥AB的四边形储料场ABCD,其中 8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB向 ∠C=120°，若新建墙BC与CD总长为12m, 点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始 则该储料场ABCD的最大面积是( 沿BC向点C以1cm/s的速度移动，如果点 P,Q分别从A,B同时出发，当△PBQ的面 120 积最大时，运动时间1为 A.18m B.18√3m C.243m D 40 优学嫌说的温一 8.在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=2,沿对角 11.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风 线AC剪开（如图①所示）：固定△ADC,把 筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 △ABC沿AD方向平移（如图②所示）.当两 60cm,菱形的面积S(cm2)随其中一条对角 个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离 线的长x(cm)的变化而变化. AA'等于( (1)请直接写出S与x之间的函数表达式. A.1 B.1.5 (2)当x是多少时，菱形的面积S最大？最大 C.2 D.0.8或1.2 面积是多少？ (3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况. D 第8题图 第9题图 9.如图所示，在边长为6cm的正方形ABCD中， 点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发， 均以1cms的速度向点B,C,D,A匀速运 动.当点E到达点B时，四个点同时停止运 12.如图所示，西游乐园景区内有一块矩形油菜 动，在运动过程中，运动时间t为 秒 花田地（单位：m),现在其中修建一条观花道 (阴影所示)，供游人赏花，设改造后观花道的 时，四边形EFGH的面积最小 10.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如 面积为ym2. (1)求y与x之间的函数表达式 图所示的直角墙角DA和DC(两边足够长)， (2)若改造后观花道的面积为13m2,求x 再用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD 的值 (篱笆只围AB,BC两边)，在P处有一棵树 与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,现 (3)若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花田地 所占面积的最大值. 要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树 的粗细)，设AB=xm,矩形花园的面积为 S.求S与x之间的函数表达式及花园面积 的最大值： 一九年级下册数学00 41 通素养 14.(2024·永州冷水滩区模拟)如图所示，一农 户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的 13.(2024·襄阳襄州区模拟)如图所示，某农户 一边利用长为a米的墙，另外三边用长为 计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为 31米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙 充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙 的一边留下一个宽1米的门.设AB=x米 的长度为18m),另外三面用筒笆围成，中间 时，鸡舍面积为S平方米， 再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别 (1)求S关于x的函数表达式及x的取值 养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为 范围 32m,设矩形场地的长为xm,宽为ym,面积 (2)在(1)的条件下，当AB为多少时，鸡舍的 为Sm. 面积为96平方米？ (1)分别求出y与x,S与x的函数表达式 (3)若墙足够长，求鸡舍面积能否达到130平 (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？ 方米. 最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加8m,矩形场地的 最大总面积能否达到100m2?若能，请求出 x的值；若不能，请说明理由. 18m x m 42 优学棒课时温一5.C解析：抛物线开口向上，则a>0. ∴.方程ax2十bx十c=0的根为x1=-1,x2=3, ∴.对于方程a(x十1)2十b(x十1)十c=0有x十 :抛物线的对称轴为直线x三一2。=一少 1=-1或x+1=3, ∴.b=2a>0,则2a-b=0.故②正确； 即方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的解为x1= ,抛物线与y轴的交点在x轴下方， -2,x2=2, ∴c<0,abc<0.故①正确； :抛物线y=a(x十1)2十b(x十1)十c的开口向上， ,x=2时，y>0, ∴.当-2<x<2时，y<0, .4a+2b+c>0.故③错误； 即不等式a(x+1)2+b(x+1)+c<0的解集是 根据抛物线的对称性知，当x=1时，y=0, 一2<x<2,故④正确. .a十b十c=0, 5.7二次函数的应用 ∴a+2a+c-0,即3a+c-0. 第1课时二次函数与图形面积的最值问题 故④正确. 1.B2.B3.A4.A5.2 综上所述，正确的结论是①②④。 6.C解析：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对 6.解：1：BC的长度为zm,则AB=（40-x)m. 称轴在y轴右侧， 0 矩形区域ABCD的面积y=号(40-z) a<0,c>0,2a ∴.b>0,.abc<0,故①正确： 3x. ②对称轴是直线x=1,与x轴交点在(3,0)左 1 (2)y=- Γ3x-20)2+400 边，∴.二次函数图象与x轴的另一个交点在（一1,0） 与(0,0)之间，a一b+c<0,故②正确； 1当x=20时y有最大值，最大值是9 ③对称轴是直线x=1,图象开口向下，∴x=1 7.C8.A9.3 时，函数最大值是a十b十c,∴.m为任意实数，则 10.解：，AB=xm,则BC=(28-x)m, a十b+c≥am2+bm+c,∴.a+b≥am+bm,故③ 依题意，得S=x(28-x)=一(x-14)2+196, 错误： 由题意，得x≥6,28-x≥15， ④5-22=1，∴b=-2a 即6≤x≤13. .当x=13时，S有最大值，S=一(13一14)2+ 由②得a-b十c<0,∴.3a十c<0,故④正确： 196=195, 5axi+bz=axi+bx:,axi+bx-ax- .花园面积的最大值为195m. bx2=0,a(x1十xg)(x1-x:)十b(x1-x2)=0, 11.解：(1)根据题意，得一条对角线的长为xcm,则另 .(x1-xz)[a(x1十xg)十b]=0.x1≠x2, 一条对角线的长为(60一x)cm, 六a(x十x)+b=0.“x1+x4=-, 2,b=-2a, 则S=1x(60一x)三一2x2+30x. .x1十x2=2,故⑤错误. 故正确的有3个. (②)由1)，得S=-号x+30= 1 7.①③④解析：：抛物线与工轴的交点坐标为 30)2+450, (-1,0),(3,0), .当x=30时，菱形的面积S最大，最大面积是 ,,抛物线的对称轴为直线x=1, 450cm2. (3)当0<x<30时，S随x的增大而增大； 当30<x<60时，S随x的增大而减小. ,2a十b=0,故①正确： 1 x=1时，y<0, 12.解：(1)y=6×8-2×2×(6-x)(8-x)= ∴a+b+c<0,故②错误； -x2+14x(0<x<6). ,抛物线开口向上，∴a>0, (2)当y=13时，-x2+14x=13, .抛物线y=ax2十bx十c与直线y=a有两个公 解得x=1或x=13, 共点， ,0<x<6,x=1. 即方程ax2十bx十c=a有两个不相等的实根，故③ (3)设油菜花田地占地面积为w,则w=48一y= 正确： x2-14x+48=(x-7)2-1, 抛物线与x轴的交点坐标为（一1,0），(3,0)， .当x<7时，随x的增大而减小. 14 又0.6≤x≤1， .当6≤x≤10时，w=(x-5)(-100x十 .当x=0.6时，w取得最大值，最大值为39.96. 3000)=-100x2+3500.x-15000, 答：改造后油菜花田地所占面积的最大值为 当10<x≤20时，w=(x-6)(-100x+ 39.96m 3000)=-100.x2+3600x-18000, 13.解：(1)由题意，得x+4y=32, 综上所述：日获利和与销售单价x之间的函数表 y=- 4x十8. 达式为 -100x2+3500x-15000(6≤x≤10)， =xy=z(-}+8)即s=-2+8 -100x2+3600x-18000(10<x≤20). (2)当6≤x≤10时，w=-100x2+3500x- (2)由(1)，得S=- 4x2+8x. 1∠0 15000=-100(x-17.5)2+15625, 4 8 ,a=-100<0,对称轴为直线x=17.5, .S有最大值.当x= 16时， ∴.当6≤x≤10时，0随x的增大而增大， ∴.当x=10时，有最大值，最大值为10000. S大值=一 1×162+8×16=64. 当10<x≤20时，w=-100x2+3600x- 18000=-100(x-18)2+14400. 答：当x=16时，矩形场地的总面积最大，最大面积 ,a=一100<0，对称轴为直线x=18,.当x=18 为64m2. 时，w有最大值为14400. (3)不能.理由：由题意，得x十4y=32+8, :14400>10000, ∴.y=- 4x+10. ∴.当销售单价定为18元/kg时，销售这种脐橙日 获利最大，最大利润为14400元. =xy=x(-x+10=-x2+10x 1 1 15.解：(1)由题意，得C(0,5),D(2,9), 设人水前抛物线的表达式为y=a(x一2)产+9，将 令-7+10x=10. 点C的坐标代入， 得4a+9=5, 解得x1=x2=20, 解得a=-1, 18<20, ∴y=-x2+4x+5,令y=0,则一x2+4x+5=0, ,矩形场地的最大总面积不能达到100m2. 得x1=5,x2=一1（舍去）， 14.解：(1)设AB=x米，则BC=(31+1-2x)米， ..0E=5. 已知鸡舍面积为S平方米， 根据题意，得S=(31+1-2x)x=-2x2+ ,点E右侧的抛物线与人水前的抛物线关于点E 成中心对称， 32x=-2(x-8)2+128. :31+1-2x>0,x-1≥0， ..NE=PE=3,DN=PF=9, .x<16,x≥1， ∴F(8,-9), .x的取值范围为1≤x<16. ∴，点E右侧抛物线的表达式为y=(x一8)2一9， (2)根据题意，得-2x2+32x-96, ∴.入水后抛物线的表达式为y=x2-16x十55. 解得x1=4,x2=12. (2)不会发生危险.理由：，坡度i=1:1,OA= :x的取值范围为1≤x<16, 2米， .x=12. ∴.设AB=BM=m,则A(0,-2),M(m,一m一2)， 答：当AB为12米时，鸡舍的面积为96平方米. 设直线AM的表达式为y1=kx十b, (3)根据题意，得-2x2+32x=130, 把(0，-2)，(m,一m-2)代入，得 整理，得x2-16x十65=0， b=-2, 使=一1， 解得 △=(-16)2-4×65<0， mk十b=一m-2, b=-2, .方程没有实根， ∴.直线AM的表达式为y1=一x一2. .鸡舍面积不能达到130平方米， y-y1=(x-8)3-9-(-x-2)=(x-7.5)2+ 第2课时建立二次函数模型解决实际问题 0.75,.y-y1的最小值为0.75， 1.B2.D3.C4.B5.C6467.38.B9.C 0.75>0.7,∴.不会发生危险 10.D11.B12.B13.4.5m 专题四二次函数与几何综合 14.解：(1)当y≥2000时，即-100x+3000≥2000， 1.解：(1)令y=0,得 解得x≤10， -√5x2+25x=0, 15