30.5 二次函数与一元二次方程的关系-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

-3<0, 3.P=-0.22+1.51-1.93.75分钟4.能5.3.4 当=号时，总种植面积有最大值为兴m 6.解：(1)①y=400(x-5)-600=400x-2600. ②依题意得400x-2600≥800，解得x≥8.5. 故要使围成的两块矩形总种植面积最大，5C应设计为号m, ,5<x≤10，且每份套餐的售价x(元)取整数 ,每份套餐的售价应不低于9元. 此时最大面积为4， 42. (2)当5<x≤10时，销售量为400份，当x=10时，日纯收人最大 为y=400×10一2600=1400（元）. 10解：1-号 25P=4.x+16 当r>10时，y=(x一5)·[400-(x-10)×40J-600=一40(x 12.5)2+1650. (20当1<<20时，w=(之+8-18)(+16)- ,x只能为整数，.当x=12或13时，日销售利润最大，但为了 吸引顾客，提高销量，取x=12,此时的日利润为一40×(12 -2x2+72x+320=-2(x-18)2十968. 12.5)3+1650=1640(元). .当x=18时，利润W最大，最大利润为968元 答：每份套餐的售价定为12元时，此时日纯收人较高，为 ②@当20≤x≤30时，W=(25-18)(4x十16)=28x十112. 1640元. ”28>0,∴.W随x的增大而增大， 7.解：(1)y=r(36-2x)=-2x2+36r(9≤x<18). .当x=30时，利润W最大，最大利润为28×30+ (2)由题意，得一2x2+36.r=160, 112=952(元). 解得x■10或x一8. 综上可知，第18天的利润W最大，最大利润为968元. ,9≤x<18, (3)当1≤x<20时，令一2x+72x+320=870,解得x1=25. .x=8不符合题意，x的值为10. x:=11. (3),y=-2x2+36x=-2(x-9)+162. “抛物线W=一2x+72x+320的开口向下， ∴当x=9时，y有最大值，且y一162. .当11≤x≤25时，w≥870， 设购买了乙种绿色植物：棵，购买了丙种绿色植物b棵，由 ∴.11x<20 题意，得 :x为正整数..有9天利润不低于870元. 14(400-a-b)+16a+28h=8600, 当20≤x30时，令28x十112≥870， .a+7b=1500, 1 解得x≥27127≤r≤30. ∴b的最大值为214，此时a=2, 需要种植的面积=0.4×(400一214一2)+1×2+0,4×214 x为正整数.有3天利润不低于870元. 161.2<162, 综上所述，当天利润不低于870元的共有12天. ∴，丙种绿色植物最多可以购买214棵，此时，这批绿色植物可 1山，解：根据题意，得等腰直角三角形的直角边长为2rm,因为 以全部栽种到这块空地上， 矩形的一边长为2xm,所以其相邻边长为20-4+2W2x 30.5二次函数与一元二次方程的关系 2 1.B2.1=2,x:=43.B+.m>9 [10-(2+2)x]m所以该金属框围成的面积S=2x·[10一 5.(1)-1-0.51.52(2)1.6 (2+2)x]+2 1 ×2x·2x=-(3+22)x2+20x.因为 (3)-0.6(4)x1=-0.6,x4=1.6 6.C7.C8.D9.D10.B11.B 10-(2+2).x>0.所以x<10-52.所以0<x< 12.(-2,0) 10-5V2. 13.解：(1)：C-(2m-2)]-4(m一2m)=1m-8m+4 当x= 10 4m2十8m=4>0, 2a3+22 =(30一20√2)m时，金属根围成的面 不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点 积最大，此时矩形的一边长2x=(60一40√2)m,相邻边长为 (2)抛物线的对称轴为直线x=m一1， 10-(2+2)×10×(3-22)=(102-10)m. 点(2m,y1)与对称轴的距离为2m一m+11=m+11, 点(2m+1,y:)与对称轴的距离为2m+1一m+1= Sme=(60-402)×(10V2-10)=(1000W2-1400)m. m+2. 第3课时用二次函数解决 实际生活中的问题 当m+1≥m+2引，即m<-时，≥y 1.B y1-y:≥0. 2.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD, ∴.∠DAB=180°-∠ADC=60. 当m+1<m+2引，即m>一时y,<, 过点B作BH⊥AD于点H. y1-y:<0 AB-米，所以BH=·n60-复米，风=(0 综上所述，当m≤一号时以一≥0：当m>一号时9， 3 y<0, )米.S=BH·BC= 2x(40-x）= 号+208,14期：05y=r-1+8=r-ar+3=(-》广 √3 S与x之间的雨数表达式为S= 2 x2+20W5r. 4a+3, (2)由题意，得1503二一气2+203x。 :该雅物线的对称轴为直线？=多，顶点坐标 解得x1=10,x:=30. 当x=10时.BC=30米： 为合，+8 当x=30时，BC=10米， (2)令y=ax-ax+3=0,则方程ax2一ax+3=0有两个 ,,平行四边形的边长分别为10米，30米， 实数根， 23 ∴.a2-12a>0,.a>12或a<0. 4.C 当a>12时， =西，-+12 5.解：(1)二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点 2a 2a A,与反比例函数：-兰（>0)的图像相交于点B3,》: x1-x1=2, ∴3+3m+1=1,3=1, “+0-120-012a=2 解得m=一3，k=3, 2a .二次函数的表达式为y1=x一3x+1,反比例函数的表达 解得：=一4（舍去）或u=0(舍去)： 当a<0时， 式为y=3>0. x,=8+Va-12a x,=a-a212a (2):二次函数的表达式为y=x2-3x+1, 2a 2a x1-x1=2, ∴对称轴为直线=三 4-a12aa+v012a=2. 由图像知，当y,随x的增大而增大且y,<y:时，的取值范 2a 2a 解得a=一4或a=0(舍去). 周为2<r<3 综上，a的值为一4. (3)由题意作图如图所示，连接AC,AE,BE,BD. 1 ）-u+3a<0, 1 六该抛物线的对称轴为直线r=2,开口向下， ∴当x<时y随r的增大而增大，当x>之时y随x的 增大而减小。 当<2时，曲=-1y>y…得x<- ,当x=0时，y1=1, 当x,>2时，由抛物线的对称性可得正=2和工=一1的 .A(0,1) B(3.1). 函数值相同，又y>y:,得x>2, ∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等. 综上，x,的取值范周为T,<一1或x,>2 ,△ACE与△BDE的面积相等， 专题五与二次函数有关的综合题型 ..CE=DE. 1.D 即点E是二次函数图像的对称轴与反比例函数图像的交点， 2.解：(1)将点A的坐标(1,4)代人y=一2x十m,得4=一2十 m,解得m=6. 当=号时，=2 (2)由(1)可得直线的函数表达式为y=一2x十6，令y=0,则 x=3,故点B(3,0). ∴点E的坐标为（受2）， 设抛物线的表达式为y=a(x一1)产十4， 将点B的坐标(3.0)代入上式，得0=a(3一1)2+4，解得 6解：1把点A的坐标1,18代人y-兰，得18=兰 a=-1, .k=18. 故抛物线的表达式为y=一(x-1)2+4=一x十2r十3. 设h=at2,把1=1，h=5代入，得a=5 (3)点P的坐标为(1,0)或（一7,0）. .h=512. 3.解：(1)二次函数的图像与x轴交于A(一3,0)和B(1,0)两点， (2)“,=5,AB=1米，∴.x=51+1.,h=52,O=18米， 对称销是直线：=一中 =-1. .y=-5t2十18，由，x=5t十1， 又点C(0,3),点C,D是二次函数图像上的一对对称点， 得1=5（x-10,六y=-5+18=-写a-10+18- .D(-2,3). (2)设二次函数的表达式为y=a.x2十bx十c(a≠0，a,b,c是 32+号+9当y=18时13=-号（x-10+18 1 .89 常数)， 解得x=6或C=一4. /9a-3b十c=0, 根据题意，得a十b十c=0, 巴x12=6把r=6代入y=,得y=3 c=3, ,.运动员与正下方滑道的竖直距离是13一3=10（米）. a=-1, 解得(b=一2， 8)花=18代入y=-动+18，得r-器解得1=18 c=3, 或一1.8（负值舍去）， 所以二次函数的表达式为y=-x一2x十3. .x=10, 设直线BD的函数表达式为y=mr十， .甲的坐标为(10,1.8)，此时，乙的坐标为(1十1,80z1.8). 则巴. 由题意可得1十1,8xz一10>4.5， z>7.5.t=l.8,vz>7.5 部得低 /a十b十c=0, /a=2, 7.解：(1)由题意得9a+3h+c=0,解得b=一8，故抛物线的 ,一次函数的表达式为y=一x十1. c=6, g=6. (3)根据题图可得二次函数值大于一次函数值的x的取值范 表达式为y=2x一8xr十6. 围是-2<r<1. 由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2，一2)，故当一1≤x≤4 2430.5二次函数与一元二次方程的关系（答案P23) 通基础 (4)方程x2一x一1=0的近似解（精确到0.1） 为 知识点1二次函数图像与x轴交点的横坐标 1.将抛物线y=x2一1向下平移8个单位长度后 与x轴的两个交点之间的距离为( A.4 B.6 C.8 D.10 易错固对题目中的某些关键性词语理解不清 2.如图所示，若关于x的二次 导致丢解等错误的发生 函数y=ax2十bx十c的图像 6.(2024·沧州献县摸拟)对于题目：“如果函数 与x轴交于两点，则方程ax y=2ax2+(a+2)x+1的图象与x轴有唯一 +bx+c=0的解 公共点，求a的值.”甲的解法如下：“函数的图 是 象与x轴有唯一公共点，可以令y=0,则方程 知识点2二次函数图像与x轴的交点个数 2ax2+(a+2)x十1=0有两个相等的实数根， 3.抛物线y=2x2-22x+1与x轴的交点个数 ∴.(a十2)2-8a=0,解得a=2,∴.a的值为 是( ) 2.”而乙说：“甲考虑的不完整，应该还有一种 A.0个 B.1个 情况.”下列判断正确的是() C.2个 D.3个 A.乙说得不对，a的值为2 4.若抛物线y=x2一6x十m与x轴没有交点，则 B.甲求得结果不对，a的值为一2 m的取值范围是 C.乙说得对，a还有一个值为0 知识点3利用二次函数图像求一元二次方程 D.两个人都不对，a应有3个不同的值 的近似解 通能力◆ 5.用图像法求方程x2一x一1=0的近似解（精确 到0.1).画出了如图所示的图像，观察图像回 7.(2024·河北二模)已知二次函数y=-x2+ 答问题： bx十c,该二次函数的图象的对称轴为直线 (1)方程x2一x-1=0有两个根，一个在 和 x=1,函数图象与x轴其中一个交点的坐标为 之间，另一个在 和 之间 (3,0).若一元二次方程一x2十bx十c十k=0 (2)在1.5和2之间，如果取x=1.6,得y= 在0≤x≤4范围内只有一个解，则k的取值范 一0.04，取x=1.7,得y=0.19,这时取x= 围是() 作为近似根更合适. A.k≤5 (3)在-1和-0.5之间，取x=-0.6,得y= B.-3≤k≤5 一0.04，取x=一0.7，得y=0.19,这时取x= C.-3<k≤5或k=-4 作为近似根更合适. D.-4≤k≤5 60 优学案课时道 8.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交13.已知抛物线y=x2一(2m一2)x十m2一2m 点，且图像过A(x1,m),B(x1十n,m)两点，则 (其中m为常数) m,n的关系为( (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一 1 A.m=2” B.m=4” 定有两个公共点 (2)若(2m,y1),(2m+1,y2)两点在抛物线 C.mn D.m 上，试比较y1一y2与0的大小 9.已知二次函数y=a(x+h)2+k的图像与 x轴有两个交点，分别是P(-2,0),Q(4,0), 二次函数y=a(x十h十b)2十k的图像与x轴 的一个交点是(5,0)，则b的值是() A.7 B.-1 C.7或1 D.-7或-1 10.经过A(2-3b,m),B(4b十c-1,m)两点的 抛物线y=一+br-6+2c(c为自变 通素养 14.推理能力)已知抛物线y=ax(x一1)十 量)与x轴有交点，则线段AB的长为( B.12 3(a≠0). A.10 (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字 C.13 D.15 母a的式子表示). 11.已知y=ax2十bx十c(a≠0)的图像如图所 示，对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二 (2)若该抛物线与x轴交于点A(x1,0), B(x2,0)(点B在点A的右侧)，且x2一x1= 次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根，且 2,求a的值. x1<x2,一1<x1<0,则下列说法正确的 (3)当a<0时，该抛物线上的任意两点 是() P(x8ya),Q(x4,y4),若满足xa=-1,ya> A.x1十x2<0 B.4<x2<5 y4,求x:的取值范围。 C.b2-4ac<0 D.ab>0 145 第11题图 第12题图 12.如图所示，抛物线y=ax2十bx十c与x轴相 交于点A,B(m+2,0),与y轴相交于点C, 点D在该抛物线上，坐标为(m,c),则点A 的坐标是 一列年级卡伊数学面 61