30.5 二次函数与一元二次方程的关系（题型专练）数学冀教版九年级下册

30.5 二次函数与一元二次方程的关系 题型1 求抛物线与坐标轴交点 1．二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 2．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 3．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 4．某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 题型2 已知二次函数的函数值求自变量的值 1．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 4．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型3 根据二次函数的图像确定方程的根的情况 1．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 2．二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 4．抛物线的对称轴为，若关于x的方程在范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第4页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 题型4 图像法求解一元二次不等式 1．已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 4．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 5．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 6．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)直接写出______，______，______． (2)当时，函数的最大值是______，最小值是______． (3)利用图象直接写出的解集． 7．已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ． 题型5 二次函数综合问题 1．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 2．已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 6．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于E、F两点，长方形的顶点C、D在轴上，，． (1)如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点F的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点A的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标； (3)若抛物线与图2中恰有两个交点，则的取值范围是 ． 2．已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； (3)在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 题型1 求抛物线与坐标轴交点 1． 二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 . 【详解】解：∵， 当时，，解得： 当时，， ∴二次函数与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 故答案为：，． 2．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 3．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 4．某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为， 将代入，得， ∴点B不在抛物线上； （2）解：①平移后点B的坐标为， 当抛物线经过点B时，有， 解得； ② 平移后点C的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 直线为， 当点C落在直线上时，， 解得：，此时有2个公共点； 当顶点落在直线上时，， 解得：，此时有1个公共点． ∴抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点时，t的取值范围为． 题型2 已知二次函数的函数值求自变量的值 1．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 3．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 【详解】（1）解：自变量增加1时，函数值依次增加了2,4,6,8，可知是二次函数； 故答案为：二次； （2）解：设函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：根据题意，得， 当时，， ∴． 故答案为：． 4．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值. 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：，∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得：， 解得：. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 题型3 根据二次函数的图像确定方程的根的情况 1．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A． ， B．，0 C．，0 D．3，0 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 2．二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为（   ） A．3或 B．或5 C．或6 D．2或 【详解】解：观察表格，对于二次函数， ∵时，；时，， 即方程一元二次方程的两根为， 把一元二次方程看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得． 故选：C． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，设另一个交点为， 则根据轴对称的性质可得：， 解得：， ∴关于x的一元二次方程的解为：，， 故答案为：，． 4． 抛物线的对称轴为，若关于x的方程在范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴得：， ∴， ∴当时，y的取值范围是， 当时，，即， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根， ∴ ∴t的取值范围是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 题型4 图像法求解一元二次不等式 1．已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 2．如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 4．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 5．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 6．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)直接写出______，______，______． (2)当时，函数的最大值是______，最小值是______． (3)利用图象直接写出的解集． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与x轴交于点，， ∴，解得：， 故答案为：，，； （2）解：由（）得：， ∴二次函数解析式为， ∴， ∴对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， ∵， ∴当时的值小于当时的值， ∴当时，， ∴当时，， ∴函数的最大值是，最小值是， 故答案为：，； （3）解：当时，，解得，， 根据图象可知的解集为或． 7．已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．   (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入到中得， ∴， ∴二次函数表达式为，即， ∴顶点坐标 为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴由函数图象可知，当时，的取值范围为． 题型5 二次函数综合问题 1．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 2．已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：代入， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴t的值为2； （3）解：存在点P，使，理由如下： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴P点坐标为）或． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 5．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 6．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由. 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第20页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于E、F两点，长方形的顶点C、D在轴上，，． (1)如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点F的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点A的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标； (3)若抛物线与图2中恰有两个交点，则的取值范围是 ． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点C、D在轴上，，． ∴，， ∵抛物线过点A， ∴将代入中，得， ∴抛物线的函数表达式为； 令，由得，， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵，，由平移所得， ∴点Q向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点P坐标，即， ∵点P在直线上， ∴将P坐标代入中，得， 解得，（与点A重合，舍去）， ∴Q点的横坐标为； （3）解：由得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，将代入中，得，此时抛物线与恰有一个交点B； 当抛物线经过点A时，由（1）知，此时抛物线与恰有三个交点， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点； 当抛物线的顶点在线段上时，则，解得，此时抛物线与恰有三个交点， 当抛物线与线段只有一个交点时， 由得， 由得， 当抛物线经过点C时，将代入中，得，此时抛物线与线段有两个交点， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点， 综上，当或时，该抛物线与图2中恰有两个交点， 故答案为：或． 2．已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； (3)在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的顶点为，即， ∵该顶点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值． （3）解：由（1）得，， ∵， 当时，， 当时，， ∴函数的图象在点和之间（包含这两个端点）， 设直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点二次函数图象的顶点时， ∵直线l过点， ∴直线轴， ∴； 综上所述，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围为或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值. 【详解】（1）将代入， 得 解得， 该函数表达式为 （2）∵， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，则． ∴，在对称轴上取点，则， ∴A，又， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得． 则， ∵，则， 在中，有， ∴解得， ∴，由对称性可知还存在点． 综上所述，存在点N，且坐标为或． （3）如图，过点C作，作于点Q， 则， ∴， 则当三点共线时值最小， 过点B作， 即当分别位于时值最小且最小值为图中的长度， ， ， 在中， ， 则， ， 的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$