30.4 二次函数的应用 第1课时 建立平面直角坐标系解决二次函数问题-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

(2)直线AB就是x轴， y轴建立平面直角坐标系， 折叠即为沿x轴向上折叠， ∴.函数表达式为y=一kx2十6kx-5k(1≤x≤5). (3)A(1,0),B(5,0), 对称轴为x=15=3,代人y=红一6hr十5得 2 y=-4k. △ABP的面积为8， 方法-：AB=DE=1.5m, 4X-4级1×号=8，=1. ,点B与点D关于对称轴对称， k>0,.k=1, ∴.AE=2×1.6=3.2(m). ',图像W向上翻折部分的函数表达式为y■一x2十6x一5 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为(1.6,2.5)， (1≤x5). 设抛物线的表达式为y=a(x一1.6)十2.5， 1≤x≤4，顶点在AB之间的图象上，该段抛物线开口向 将点(0,1.5)代入，得2.56a+2.5=1.5, 下，对称轴为直线x=3, 1 解得a= 当x=3时，y大=4：当x=1时，y的最小值为0. 2.56 .在图像W中，y的取值范围为0≤y≤4. 六抛物线的表达式为y=一2.56x-1.6)+2.5, 15.解：(1)直线y=-x十n与x轴交于点A(3,0), 1 ,.0=一3十n,.n=3, 当y=1.5时，2.56x-1.6》+2,5=1.5 ∴，直线AB的表达式为y=-x十3. 解得x=0(舍)成x=3.2. 当x=0时，y=3,点B(0,3). 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米. 抛物线y=一x2+bx十c经过点A,B, 7.B解析：以，点O为原点，AB所在直线为x轴，OM所在直 +-a- 线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. M↑y 抛物线的表达式为y=一x+2x十3. (2)如图所示，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E,与直线AB 交于点D. 点P的横坐标为m, ∴点P的坐标为(m,一m2+ 2m十3). 点D在直线AB上，点D的 坐标为(m,一n十3)， o ∴，PD=-m2+2m十3-(-m十 0.5 3)=-m2+3m. 根据题意可得M(0,5),B(2,0),C1,0),D(受，0），设抛物 在y=一x2+2x+3中，令y=0, 则-x2+2x+3=0,解得x1=-1, 线的表达式为y=ax2+k。 xg=3, 抛物线过点M和点B, 点C的坐标为（一1,0）， k■5， ÷0=a+,解得 iS=Saum+Saum=x4x3+7X(-m'+3m)x 1 lk=5, 4 六类物线的表达式为y=一5 22+5 15 一当网=号时，5最大，最大值为汽 3 当1时w-只鱼一号时y铝 30.4二次函数的应用 Pl,》.Q(层)在热物度上 第1课时建立平面直角坐标系解决 设坚直摆效m个圆柱形桶时网球可以落入桶内，由题意得 二次函数问题 1.B2.D 路s品m<解得7<m<12宁 353 7 4.a号 m为整数，m的最小整数值为8，.竖直摆放圆柱形桶至 (2)22 少8个时，网球可以落入桶内。 4.解：(1)由题意知点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为 8.A解析：如图①所示，以AB所在的直线为x轴，CD所在的 （一4,2).设抛物线的表达式为y=ar+c,: 直线为y轴，建立平面直角坐标系，原点为E. 2=16a+c, 由图可得∠BOE=∠AOE=60°， 1 解得 a=161 六BE=B0·sin60=3.6×5_95 2 5(cm), c=1, 1 .n().c.. 六抛物线的表达式为y=6x十1 设抛物线的表达式为y=ax2十3， (2)当x=-8时，y=5. .桥柱AD的高为5米 北点B的坐标代入可得a=一 5.A 6.A解析：如图所示，以AE所在直线为x轴，AB所在直线为 y=+ 21 如图②所示，以AB'所在的直线为x轴，CD'所在的直线为 0<18-2x≤10，.4≤x<9,x=6. y轴，建立平面直角坐标系，原点为E (2)设矩形养殖场的面积为y平方米， 由题意，得y=x（18-2x)=-2x2+18x= 3.6 -2<0,4≤x<9, 3.24 当：=号时y最大，最大值为婴 ID 2 答：当工为号米时，矩形养殖场的面积最大，最大值是婴平 由图可得∠B'O'E'=∠A'O'E'=60°， 方米. B'E=B'0'·si如60=3.24×5-815 3.22 2 50 (cm),O'E'= 4.解：1)依题意，得y=200+50×400-工 0g-162mB'(.o小 10, 化简，得y=一5z十2200. ,”两条抛物线的开口大小相同， :≥02o2450. 设第三条抛物线的表达式为y=一行'十c. 解得300≤x≤350， 把，点B'的坐标代入可得c=2.43, 月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数表达式为 ∴.CE'=2.43cm, y=一5.x+2200,自变量x的取值范围是300≤x≤350. .C'D'=2.43+1.62+3.24=7.29(cm) (2)由(1)得W=(-5x+2200)(x一200)=-5(x-320)2+十 72000. 9.5210.5<m<4+√7 ,x=320在300≤x≤350内， 11.解：(1)建立的平面直角坐标系如图所示. .当x=320时，W有最大值，且W题大=72000元. 由题意可得点E的坐标为(0,8)，点D的坐标为（一8,6），设 .当售价定为320元/台时，获得的利润W最大，最大利润为 抛物线的表达式为y=ax2+8. 72000元. ,点D在该抛物线上，.6=a×(一8)2十8， 1 解得a■一32} 5解：(1)根据题意，得y=50×30-4红·30-(50-2z)_ 2 -4x2+40x+1500. 心该抛物线的表达式为y=一2+8 ,4个出口宽度相同，其宽度不小于14m,不大于26m, ,.14≤50-2x≤26， (2)这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞。 .12≤x≤18， 理由：将x=87+0.3=4代入y=一2+8，得y y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18). (2)y=-4x”+40x+1500=-4(x-5)2+1600 32×4+8=7.5. a=一4<0，抛物线的开口向下， .当12≤x≤18时，y随x的增大而减小， 7.5>6.6+0.6, .当x=12时，y有最大值，且y大=1404. ,这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞 答：活动区的最大而积为1404m2 (3)设投资费用为U元， 由题意，得w=50(一4x2+40x十1500)十40×4x(x-10)= -40(x-5)3+76000, .当w=72000时，解得x1=一5（不符合题意，舍去）， xg=15. .a=-40<0, 12.解：(1)以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立 .当x≥15时，w≤72000 平面直角坐标系.设抛物线的表达式为y=ax2十c,由题意， 又，12≤x≤18，.15≤x≤18， 得点B(50,0),C(0,25). ∴.当x=18时，投资费用最少，此时出口宽度为50一2x= 25-0十c,解得 1 50-2×18=14(m). a=-100 l0=502a+c 答：投资费用最少时活动区的出口宽度为14m. =25. 6.A7.158.5 1 ÷该抛物线的表达式为y=一100+25. 9.解：(1)(21-12)÷3=3(m), .I、Ⅱ两块矩形的面积为12×3=36(m2), (2)当水位比AB所在直线高出1.96m时，将y=1.96代 设水池的长为am,则水池的面积为a×1=a(m2), 入抛物线表达式，得一0+25=1.96，解得z=士48 36-a=32, 解得a=4, 48×2=96(m),故位于水面上的拱肋的跨径是96m. .DG=4 m, 根据题意，游船的最高点到桥面的距离为(25一17) .CG=CD-DG=12-4=8(m), (1.96+4.6)=1.44(m),.游船能够颗利通过该大桥. 即CG的长为8m,DG的长为4m. 第2课时二次函数的最值问题 (2)设BC长为xm,则CD长度为21-3x: 1.8 .总种植面积为(21-3x)·x=一3(x2-7x)= 2.解：(1)由题意，得x(18一2x)=36, 整理，得x2一9x十18=0， 解得x1=3,xg=6, 由021-3x≤12，得3≤x<7. 2230.4 二次函数的应用 第1课时 建立平面直角坐标系解决二次函数问题(答案P21) #通基础 .m m:B(4.3.4) A(0.1.8) 短建立平面直角坐标系解决二次函数 0 Dm 问题 第2题图 第3题图 1. 学科融合地理学上把两翼指向上风方向,迎 3.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从 风坡平缓前进,背风坡陆呈孤线凸出,平面呈 点A向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状 抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”.如图①所 相同,如图所示,以水平方向为x轴,点O为原点 示是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的拢 建立平面直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的 物线型沙丘,以抛物线型沙丘最顶端为O点 点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线(第一 建立如图②所示的平面直角坐标系,若点A的 坐标为(-15,-100),点B(a,-144)是图① 。 (1)雕塑OA的高是 中沙丘左侧两个端点,则a的值为( ) m. (2)落水点C,D之间的距离是 m. 4. 教材P43习题A组T2变式;某桥的部分横截面 如图所示,上方可看成是一个经过A,C,B三 ① ② 点的抛物线,以桥面所在的水平线为x轴,经 A.15 B.18 过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为 C.24 D.36 轴,建立平面直角坐标系,已知此桥垂直于桥面 2.(2024·成阳永寿模拟)运动员某次训练时,推 的相邻两桥柱之间距离为2米(图中用线段AD 出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是 CO.BE等表示桥柱),CO=1米,FG=2米. 抛物线的一部分(如图所示).铅球在空中飞行 (1)求经过A,B,C三点的抛物线的表达式 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位 (2)求桥柱AD的高 m)近似的满足函数关系y=ax{}+bx十c(a ### b,c为常数,a关0),该函数的图象与v轴交于 点A(0,1.8),顶点为B(4,3.4),下列说法错 误的是( ) A.a--0.1 B.该铅球飞行到最高点时,铅球离y轴的水 平距离是4m C.铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 3.4m D.此次训练,该铅球落地点离y轴的距离小 于9m 不会建立合适的平面直角坐标系解决 8.小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆 二次函数问题 来刻画,于是他画了两只鸡蛋的示意图(如图 5. 新情境 )一次足球训练中,小明从球门正前方 所示,单位;cm),其中AB和AB'上方为两条 开口大小相同的抛物线,下方为两个圆的一部 将球射向球门,球射向球门的路线为抛物线 当球飞行的水平距离为6m时,球达到最高 分,若第一个鸡蛋的高度CD为8.4cm,则第二 个鸡蛋的高度CD为( ) 点,此时球离地面3m.已知球门高是2.44m. 若足球能射入球门,则小明与球门的距离可能 是( ) #A60-B C.6m D.5m B.8m A.10m ##-36 通能力 A.7.29cm B. 7.34 cm 6. 一题多解(2024·张家口一模)如图所示是一 C.7.39cm D.7.44cm 款抛物线形落地灯简示意图,防滑蝶母C为抛 9.(2024·晋中平遥二模)省城太原金桥公园是 物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.5米,最 一座综合性城市公园,该公园最大的亮点是中 高点C距灯柱的水平距离为1.6米,灯柱 心湖配备的功能强大的音乐喷泉,喷泉喷出水 AB一1.5米,若茶几摆放在灯罩的正下方,则 流呈抛物线形,如图所示是两个连续喷泉,建 茶几到灯柱的距离AE为( ) 立平面直角坐标系后,它们关于y轴对称,; A.3.2米 B.0.32米 一 轴左侧喷泉可用y-一 1212 表 C.2.5米 D.1.6米 示,则两个喷泉最高点之间的距离是 m 2.5m 1.5m OCD 0.5 10.甲、乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分 第6题图 第7题图 关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距 7.如图所示,在水平地面点A处有一网球发射器 离s(米)与其距地面高度h(米)之间的关系 向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物 2 线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C (靠点B一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆 网AB距离原点5米,乙(用线段CD表示) 柱形桶,试图让网球落入桶内,已知AB 扣球的最大高度为2.25米,设乙的起跳点C 4米,AC一3米,网球飞行最大高度OM 的横坐标为n,若乙原地起跳,因球的高度高 5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米 于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则” (网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).当 的取值范围是 /米 竖直摆放圆杜形桶至少( )个时,网球可以落 入桶内. A.7 C.9 B.8 D.10 11. 模型观念如图①所示是气势如虹、古典凝 通养 重的安远门,有安定远方之寓意,其主门洞的 12.某河上大桥桥体造型新颖,气势恢宏,两条拱 截面如图②所示,上部分可看作是抛物线形 下部分可看作是矩形,边AB为16米,BC为 助如长虹卧波,极具时代气息,如图①所示, 6米,最高处点E到地而AB的距离为8米。 大桥为中承式悬索拱桥,如图②所示,大桥的 (1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系, 主拱助ACB是抛物线的一部分,跨径AB为 并求出抛物线的表达式 100m.拱高OC为25m.抛物线项点C到桥 (2)该主门洞内设双向行驶车道,正中间有 面的距离为17m. (1)请建立适当的平面直角坐标系,并求该抛 0.6米宽的双黄线,车辆必须在双黄线两则行 驶,不能压双黄线,并保持车辆最高点与门洞 物线的表达式 有不少于0.6米的空隙(安全距离).试判断 (2)七月份沮期来临,河水水位上涨,假设水 一辆大型货运汽车装载某大型设备后,宽 位比AB所在直线高出1.96m,这时位于水 3.7米,高6.6米,能否安全通过该主门洞 面上的拱助的跨径是多少?在不计桥面厚度 并说明理由 的情况下,一条高出水面4.6m的游船是否 能够顺利通过该大桥 f17m ① ① ②