30.2 二次函数的图像和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

第2课时二次函数y=a(x一h)2和y=a(x一h)2+k的图像和性质（答案P15) 基础 知识点2二次函数y=a(x一h)2的图像和 性质 知识点1二次函数y=ax2+k的图像和性质 7.抛物线y=一2(x一3)2的顶点坐标是( 1.如图所示，二次函数y=x2+1的图像大致 A.(2,-3) B.(3,0) 是() C.(-2,-3) D.(-3,0) 8,在平面直角坐标系中，二次函数y=-2 的图像可能是( 2.下列函数的图像与y=5x2的图像形状相同的 是( ) A A.y=2x2 B.y=-5x2+2 C.y=x2+5.x+1 D.y=5x-1 9.下列二次函数的图像，对称轴为直线x=一5的 3.抛物线y=一4x2+3的开口方向和顶点坐标 是( 分别是() A.y=(x+5) B.y=3x-5 A.向上，(-4,3) B.向下，(-4,3) C.y=-3x2-5 D.y=3(x-5)2 C.向下，(0,3) D.向上，(0,3) 10.若抛物线y=m(x十1)2过点(1，一4)，则 4.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点， m的值为 那么a的取值范围是 11.结论开放)请写出一个函数的表达式，使其 5.(2024·南昌一模)对于抛物线y=3x2+1,当 图像是以直线x=一2为对称轴，开口向上的 x>0时，y随x的增大而 .(填“增 抛物线： 大”或“减小”) 12.已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时，y 6能否通过上下平移二次函数y=号2的图像， 有最大值，图像过点(1，一3)，求二次函数的 表达式，并指出当x为何值时，y随x的增大 使得到的新函数的图像过点(3，一3)？若能， 而诚小 求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。 一九件级卡研数学山 35 知识点3二次函数y=a(x一h)2十k的图像 易播区不理解二次函数图像平移的方法 和性质 18.教材P35习题B组T门变式>将二次函数y 13.关于二次函数y=(x一2)2十3，下列说法正 2x2的图像向左平移5个单位长度，再向上 确的是( 平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表 A.函数图像的开口向下 达式为() B.函数图像的顶点坐标是（一2,3） A.y=2(x+5)2-3 B.y=2(x+5)2+3 C.当x>2时，y随x的增大而减小 C.y=2(x-5)2-3 D.y=2(x-5)2+3 D.该函数图像与y轴的交点坐标是(0,7) 通能力 14.(2024·廊坊霸州期末)根据如图所示的二次 函数y=(x一2)2+3的图象，可以判断平面 19.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax十 直角坐标系的原点可能是( 2与二次函数y=x2十a的图像可能 是( 兴来斯 A.点A B.点B 20.若直线y=一3x十m经过第一、二、四象限， C.点C D.点D 则抛物线y=(x十n)2+1顶点必在( 15.已知点A(4,y1),B(√2，y2),C(-2,y3)都在 A.第一象限 B.第二象限 二次函数y=(x一2)2一1的图像上，将y1, C.第三象限 D.第四象限 y2y3用“>”连接为 21.(2024·泰安岱岳区二模)已知二次函数y= 16.已知二次函数y=2(x一h)2的图像，当x>3 -(x一h)2十5(h为常数)，在自变量x的值 时，y随x的增大而增大，则h的取值范围 满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值 是 y的最大值为一4，则h的值为( ) 17.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函 A.-2或4 B.0或6 C.1或3 D.-2或6 数y=x+102-1的图像 22.(2023·中山期末)已知点A(m,2)与点B(一3， (1)指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标 n)关于原点对称，则抛物线y=2(x十m)2十 (2)根据图像写出y随x的变化而变化的 n的顶点坐标为 情况. 23.如图所示，直线y=n与二次函数y=2(x 2)2一1的图像交于点B、点C,二次函数图像 的顶点为A,当△ABC是等腰直角三角形 时，则n= 36 忧十学课时通 24.家克拓展已知二次函数y=-红-2m)2十 通素养 3一4m(m是实数) 26.如图所示，已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在 (1)小明说：当m的值变化时，二次函数图像 抛物线C:y=a(x-2)2-1(a>0)上，且 的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的 x2一x1=3. 说法对吗？为什么？ (1)若抛物线C经过点(3,1). (2)已知点P(a-5,c),Q(4m十3+a,c)都在 ①写出抛物线C的对称轴，并求α的值及抛 该二次函数的图像上，求证：c≤15. 物线C与y轴的交点坐标. ②若y1=y2,求顶点到MN的距离. (2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最 小值的差为1，点M,N在对称轴的异侧，直 接写出a的取值范围. 25.已知抛物线y=号（红-5）的顶点为A,抛物 线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线 交抛物线于另外一点C (1)求A,B,C三点的坐标. (2)求△ABC的面积， (3)试判断△ABC的形状并说明理由. 一九详级卡伊数学 37Saam-5a0e-5a0w-×-41X2-号×-1×2-3， ÷对称轴为直线xa一5十4m十3十e-2m, 2 假设抛物线上存在一点D,使S△aD=S△a,可设D(, ..2a-2=0. -t3), .a=1, Saw=号×2X-1=, ∴点P(-4,c), c=- ∴-3，t=√3或t=-3, （-4-2m)+3-4m=-(m+4)+15, 4 抛物线上存在符合题意的点D,其坐标为(3，一3)或 .c≤15. 25.解：如图所示。 (-√5，-3). 第2课时二次函数y=a(x一h)2和 y=a(x一h)2+k的图像和性质 1.C2.B3.C4.a>05.增大 6解：能设平移后的函数表达式为y一了2+b, 由新的函数图像过点(3，一3)， 得号×3+6=-3：解得6=-6， （1抛物线y=号(x-5的顶点为A(6,0. 由x=0,则y=5,则抛物线与y轴的交点B的坐标为(0， 二次函数y=3的图像向下平移6个单位长度，得到新函 5),:对称轴为直线x=5,点C的坐标为(10,5). 数的图像过点(3，一3). 7.B8.D9.A10.-1 (2)Sm-2×10X5=25. 11.y=(x+2)(答案不唯一) (3)△ABC是等腰直角三角形 12.解：：当x=2时，y有最大值，h=2. 理由：易得AB=AC=52,BC=10, 又，此二次函数的图像过点(1，一3)， AB+AC=BC .一3=a(1-2),解得a=-3. .△ABC是等腰直角三角形. 此二次函数的表达式为y=一3(x一2)2. 26.解：(1)①抛物线C的对称轴为直线x■2.：二次函数y一 当x>2时，y随x的增大而减小， a(x-2)°-1(a>0)的图像经过点(3,1)， 13.D14.A ∴.1=a-1, 15.y3>y1>y:16.h≤3 a=2, 17.解：图像略 .二次函数的表达式为y=2(x一2)2一1 (1)开口方向向上，对称轴为直线x=一1，顶点坐标是（一1， 当x=0时，y=2×(0-2)3-1=7, -1). ∴抛物线C与y轴的交点坐标为(0,7). (2)当x<一1时，y随x的增大而减小：当x>一1时，y随 ②：y1=y, x的增大而增大. .M,N关于抛物线的对称轴对称. 18.B19.D20.B21.D22.(-3,-2) :对称轴是直线x=2,且x1一x1=3, 23.1解析：作抛物线的对称轴，交BC于点D,如图所示. 7 1 六x1=2x=2' :直线y=n与二次函数y=2（红一2)-1的国像交于点 B、点C, 当x-时-2x(日-2)-1-名， .BC∥x轴 ,△ABC是等腰直角三角形， 六当时，顶点到MN的距离=子+1-号 .∠CAB=90°，AC=AB. (2)若M,N在对称轴的异侧，y1≥y, ,直线AD是抛物线的对称轴 x1+3>2,x1>一1. ·AD⊥BC,∠CAD=∠BAD .1 .1 =45°， x1-x1=3x1≤2.-1<x1≤2 △ADB是等腰直角三角形， 函数的最大值为y1=a(x1一2)2-1，最小值为一1， ..AD=BD. 1 抛物线的顶点坐标为(2，一1)， y1-(-10=1a=x,-2 AD=n十1，B(n十3，n): 1 ∴是<-2<9<a≤ 把点B的坐标代入y=2（x 若M,N在对称轴的异侧，y1≤y2,x1<2, 2-1,得n=7a+8-2-1 ≥∴<<2 解得n=1或一1（负值舍去）. “函数的最大值为y:=a(x2一2)2-1，最小值为-1， 24.解：(1)小明的说法对.理由如下： 1 y2-(-1)=1,a= “y=-红-2mP+3-mm是实数， (x1十1) 3 顶点坐标为(2m,3-4m), a<+1, ∴.二次函数图像的顶点始终在直线y=一2x十3上运动，故 小明的说法对. ∴<+1<0， (2)证明：，'点P(a一5，c),Q(4m十3十a,c)都在该二次函 4 数的图像上， 15 综上所述口的取值范图是)<a<吉 .A(2,0), ∴点A的横坐标为一2.y轴如图所示 第3课时 二次函数y=ax2+b.x+c 的图像和性质 1.D2.y=2(x-2)2+13.D4.C5.C 6.解：(1)由函数y=(k一2)x-+十2x是关于x的二次函 数，得 1k2-4k+5=2, 1k-2≠0， AB DCE F 解得k=1或k=3. (2)由(1)可知抛物线与x轴的另一个交点为(6,0)， (2)当k=1时，抛物线有最高点. A(-2,0),AB=BD=DC=2, .C(4,0), y=-x3+2x=-(x-1)+1, ·点P不会落在点C处， 最高点的坐标为(1,1). 补全抛物线如图所示. 当x<1时，y随x的增大而增大 (3),y=-(x十2)(x-6)=-(x-2)2+16, 7.D8.②③9.D10.C11.A12.D13.A 14.D解析：连接AP,A'P',过点A作AD⊥PP于点D,如图 抛物线的顶点坐标为(2,16)，对称轴为直线x=2. 所示. (4)当y=1时，1=-(x+2)(z-6),解得x=2-√15或 由题意，捋出AP∥A'P‘,AP=AP', x=2+√/15， .四边形APP'A'是平行四边形. ∴抛物线经过(2十√/15,1). 抛物线的顶点为P(一2,2)，与y轴交于点A(0,3),平移 在Rt△EFG中，∠EFG=90°，EF=2,FG=1, 该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'(2,一2)， “当点E与(6,0)重合时，点G的横坐标的值最大，最大值 .P0=√4+4=22，P'0=4+4=22,∠A0P=45 为8， 又AD⊥OP, 当点G与(2+√15,1)重合时，点G的横坐标的值最小，最 ,△ADO是等腰直角三角形， 小值为2+√/15， PP'=22X2=4√2， ∴点G横坐标的最大值为8，最小值为2十√ X33e AD=D0=血45OA=2× 21.解：(1)点B(1,2)在二次函数y=一x2+2mx的图像上， 2 .把点B的坐标(1,2)代人y=一x2十2mx, ,',抛物线上PA段扫过的区城（阴影部分）的面积为4√2X 得2=-1+2m. 3-12. 新得名 二次函数的表达式为y=一x2+3x. (2)CP⊥CA.理由： :二次函数的表达式为y=一x2+3x, 点A(3,0),C(2,2). 又：点P的坐标为1，号)，点M的坐标是1,0)由勾 定现，得PA十（侵厂=同理PC= AC=5, 15716.517.a>号 18.(-2,-3) 一2≤n'≤3 ∴PA2=PC2+AC2, ∴.∠PCA=90°， 19.解：(1)：点（一2,9）在二次函数y=mx2-4m'x一3的图 ,CP⊥CA. 像上， (3)存在.假设在坐标轴上存在点E,使得以A,C,P,E为 ∴9=4m十8m2-3, 顶点的四边形为直角梯形，连接BC .2m*+m一3=0， :∠PCA=90°， 解得m-1或m一一2 3 则①当点E1在x轴上时，PE1∥CA, ∴.△CBP△PME1, :m>0, m=1, 鼎腮 即m的值为1. (2)当m=1时， ME,-E,(冬o 二次函数的表达式为y=x2-4红一3=(x一2)2-7， ②当点E,在y轴上时，PC∥AE,, 抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一7)， ∴.△CBPn△AOEa, 当y=18时，(x-2)2-7=18, 器照0= 3 .(x-2)2=25, 解得x=7或x=一3. 当0≤x≤a时，y的最大值为18， Eo,》 'a=7, ∴在坐标轴上存在点E,使得以A,C,P,E为顶点的四边 即a的值为7. 20.解：(1)抛物线y=一(x十2)(x一6)， 形为直角梯形，点E的坐标为（任，0）或(0，-之） 令y=0,则-(x+2)(x-6)=0, 专题三二次函数的图像信息 解得x=一2或x=6, 1.B2.B3.①②④ 16