30.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

9.解：，EF⊥AC, 7.y:>y>y ∴.∠ABC=∠AFE=90°. 又，∠A=∠A, 8.解：(1)将(-3，一6)代人y=ax',解得a=- 3 .△AFE∽△ABC 器怨 二次面数的表达式为y一一号 (2)画图如图所示，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点 EF=y.AC=2,AE=BC= 坐标是(0,0). 1 小y关于x的函数表达式为y=2 点E在AB上，AE≤AB. -70L 又'BC=AE,∴.BC≤AB. 当BC=AB时，△ABC是等腰直角三角形，此时BC=√2. ∴.x的取值范田是0<x≤2. 10.D11.B 12.②④13.0 14.解：y=(kx-1)(x-3)=kx-3kx-x+3=kx2 (3k+1)x+3, (3)把x=一5代人y一号，得y-2≠2故点B不在此地 ,当k=0时，y是x的一次函数， 物线上 当k≠0时，y是x的二次函数 15.解：(1)y=102-x2=100-x2. （0令y=-8,即-号2=-8，解得x=26或z=-25。 它是一个二次函数 故纵坐标为一8的点的坐标是(2√/3，一8)和（一2√3，一8）. (2)当x=2时，y=100-22=96: 9.A10.D11.B12.a1>a2>aa>a4 当x=4时，y=100-4°=84： 当x=6时，y-100-62-64. 1以.解：)把点A的坐标（分，-日）代入函数表达式，得 即当x取2,4,6时， 1 1 1 相应的y值分别是96,84,64， a=-8,解得a=- 2· 16.解：(1)由题意得y=x(32-2x)=一2x2十32x. @②：82-2>d<号 把点B的坐标(3，m)代人函数表达式，得m=一2× 又，门宽是2m,x≥2， 92 2x< 2点c(3,-号） 17.解：在点P,Q运动的过程中，当0≤x≤4时，y=S△m (3)当x>0时，y随x的增大而减小. 5w=×4X4-7=-号2+8：当4Kx<8时y (4)当x=0时，y有最大值为0. 14.解：，矩形ABCD的两个顶点A,B分别在抛物线y=4x2, S6am-Saw-7×4X4-78-x)8-x）= 1十 y一x2上，并且A,B两点的横坐标都为1，∴点A的纵坐标 2 为4，点B的纵坐标为1，.A,B两点的坐标分别为A(1,4), 8x-24. B(1,1).:抛物线y=x过点D,点D在第一象限，点D 2r+8(0≤r≤4)， 的纵坐标为4，则4=x,解得x=2(负值舍去)，即点 ..y= D(2,4), 1 x2+8x-24(4<x≤8). ·点C的坐标为(2,1). :点C在抛物线y=ax2上， 30.2二次函数的图像和性质 第1课时二次函数y=ax2 1=4,解得a= 的图像和性质 15.解：(1)将点B的坐标(1，一1)代人y=ax,得 1,解：两出函数图像如图所示， -1=a×1, 1=2r2 ∴.a=-1, .抛物线对应的函数表达式为y=一x 5引 (2)存在.设直线AB的函数表达式为y=kx十b ,直线AB过点A(2,0),B(1,一1)， /2k+6-0, k+6=-1, 解得化2. ·直线AB的函数表达式为y=x一2. 3 :直线AB与抛物线交于B,C两点， ÷联立y=x一2解得=1，或=一2， 5 y=-x2, y=-1,y2=-4, 6 1-32 .C(-2,-4). 2.A3.B4.B5.C6.a=1(答案不唯一) 由图形，知 14 Saam-5a0e-5a0w-×-41X2-号×-1×2-3， ÷对称轴为直线xa一5十4m十3十e-2m, 2 假设抛物线上存在一点D,使S△aD=S△a,可设D(, ..2a-2=0. -t3), .a=1, Saw=号×2X-1=, ∴点P(-4,c), c=- ∴-3，t=√3或t=-3, （-4-2m)+3-4m=-(m+4)+15, 4 抛物线上存在符合题意的点D,其坐标为(3，一3)或 .c≤15. 25.解：如图所示。 (-√5，-3). 第2课时二次函数y=a(x一h)2和 y=a(x一h)2+k的图像和性质 1.C2.B3.C4.a>05.增大 6解：能设平移后的函数表达式为y一了2+b, 由新的函数图像过点(3，一3)， 得号×3+6=-3：解得6=-6， （1抛物线y=号(x-5的顶点为A(6,0. 由x=0,则y=5,则抛物线与y轴的交点B的坐标为(0， 二次函数y=3的图像向下平移6个单位长度，得到新函 5),:对称轴为直线x=5,点C的坐标为(10,5). 数的图像过点(3，一3). 7.B8.D9.A10.-1 (2)Sm-2×10X5=25. 11.y=(x+2)(答案不唯一) (3)△ABC是等腰直角三角形 12.解：：当x=2时，y有最大值，h=2. 理由：易得AB=AC=52,BC=10, 又，此二次函数的图像过点(1，一3)， AB+AC=BC .一3=a(1-2),解得a=-3. .△ABC是等腰直角三角形. 此二次函数的表达式为y=一3(x一2)2. 26.解：(1)①抛物线C的对称轴为直线x■2.：二次函数y一 当x>2时，y随x的增大而减小， a(x-2)°-1(a>0)的图像经过点(3,1)， 13.D14.A ∴.1=a-1, 15.y3>y1>y:16.h≤3 a=2, 17.解：图像略 .二次函数的表达式为y=2(x一2)2一1 (1)开口方向向上，对称轴为直线x=一1，顶点坐标是（一1， 当x=0时，y=2×(0-2)3-1=7, -1). ∴抛物线C与y轴的交点坐标为(0,7). (2)当x<一1时，y随x的增大而减小：当x>一1时，y随 ②：y1=y, x的增大而增大. .M,N关于抛物线的对称轴对称. 18.B19.D20.B21.D22.(-3,-2) :对称轴是直线x=2,且x1一x1=3, 23.1解析：作抛物线的对称轴，交BC于点D,如图所示. 7 1 六x1=2x=2' :直线y=n与二次函数y=2（红一2)-1的国像交于点 B、点C, 当x-时-2x(日-2)-1-名， .BC∥x轴 ,△ABC是等腰直角三角形， 六当时，顶点到MN的距离=子+1-号 .∠CAB=90°，AC=AB. (2)若M,N在对称轴的异侧，y1≥y, ,直线AD是抛物线的对称轴 x1+3>2,x1>一1. ·AD⊥BC,∠CAD=∠BAD .1 .1 =45°， x1-x1=3x1≤2.-1<x1≤2 △ADB是等腰直角三角形， 函数的最大值为y1=a(x1一2)2-1，最小值为一1， ..AD=BD. 1 抛物线的顶点坐标为(2，一1)， y1-(-10=1a=x,-2 AD=n十1，B(n十3，n): 1 ∴是<-2<9<a≤ 把点B的坐标代入y=2（x 若M,N在对称轴的异侧，y1≤y2,x1<2, 2-1,得n=7a+8-2-1 ≥∴<<2 解得n=1或一1（负值舍去）. “函数的最大值为y:=a(x2一2)2-1，最小值为-1， 24.解：(1)小明的说法对.理由如下： 1 y2-(-1)=1,a= “y=-红-2mP+3-mm是实数， (x1十1) 3 顶点坐标为(2m,3-4m), a<+1, ∴.二次函数图像的顶点始终在直线y=一2x十3上运动，故 小明的说法对. ∴<+1<0， (2)证明：，'点P(a一5，c),Q(4m十3十a,c)都在该二次函 4 数的图像上， 1530.2二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质（答案P14) 通基 6.结论开放已知二次函数y=ax2的图像开口向 上，请写出一个符合条件的a的值： 知识1二次函数y=ax2的图像的画法 7.已知点(-2，y1),(-2.5,y2).(-1.5,y3)在 1.教材P31习题A组T2变式，在如图所示的平面 函数y=x2的图像上，将y1y2,y用“>”连 直角坐标系中，画出二次函数y=一3x2,y= 接为 2x2的图像。 8.已知二次函数y=a.x2(a≠0)的图像经过点 (-3.-6. (1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个 函数的图像，并指出抛物线的开口方向、对称 -54-32-101123 轴、顶点坐标。 (3)判断点B(-3,2)是否在此抛物线上. (4)求出此抛物线上纵坐标为一8的点的坐标. 知识2二次函数y=ar2的图像和性质 2.抛物线y=2x2的顶点坐标是( A.(0,0) B.(1,2)C.(0,1)D.(2,1) 3.对于抛物线y=一8.x,下列说法不正确的 上 时t文子 是() A.图象开口向下 易粉固不理解函数图像的意义，因而在用描点 B.y随x的增大而减小 法画函数图像时出现错误 C.顶点坐标为(0.0) 9.甲、乙、丙、丁四位同学用描点法画二次函数 D.对称轴为y轴 2x的图像，画出图像如图所示，其中正 4.抽象能力抛物线y=5x2,y=-5x2,y= 确的有( 共有的性质是() A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.都关于x轴对称 5.在二次函数①y=3.x2,②y= x,③y 2 3 4 中，图像在同一平面直角坐标系中的开口大小 顺序，用序号表示应该为( A.①>②>③ B.①>③>② C.②>③>① D.②>①>③ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 一小年级下猫数学 33 通能力 14.矩形ABCD的两个顶点A,B分别在抛物线 y=4x”,y=x2上，并且A,B两点的横坐标 10.几何直观当ab>0时，y=a.x2与y=ax十b 都为1，抛物线y=x2过点D,点D在第一象 的图像大致是( 限，点C在抛物线y=ax2上，求a的值. 业头不米 11.(2024·石家庄模拟)如图所示，⊙O的半径为 2,C,是函数y=x2的图象，C2是函数y=一x 的图象，则阴影部分的面积是( A.元 B.2π C.4π D.都不对 y=dt 通素养 15.探究拓展◆如图所示，已知直线AB过x轴 上一点A(2,0)且与抛物线y=a.x2相交于 第11题图 第12题图 B(1,-1),C两点. 12.已知四个二次函数的图像如图所示，那么a1, (1)求抛物线对应的函数表达式. aga3a,的大小关系是 ,(请用 (2)问抛物线上是否存在一点D,使S△aD= “>”连接) S△oc?若存在，请求出点D的坐标；若不存 13.(2024·商丘夏邑月考)已知二次函数y 在，请说明理由. ur的图象经过点A分，一专），B(3,m (1)求a与m的值. (2)写出该图象上点B的对称点C的坐标. (3)当x取何值时，y随x的增大而减小. (4)当x取何值时，y有最大值（或最小值）. 34 优学条说的温一