29.5 正多边形与圆-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

.∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90 ∠PAD+∠APD=90°，∠PAD+∠OAD=90°， OE=OF.OB=OB .∠APO=∠BAC ,Rt△OEB≌Rt△(OFB(HL). 又∠PAO=∠ABC=90° 1 .△PAO∽△ABC, 六∠EBO=∠FB0=2∠ABC. OF=OG.OC=0C. 200=O4 BC =5. .R1△OFC≌R△OGC(HL). 13.解：(1)12(2)3 ·∠cCO=∠FCO= 2∠BCD. (3)①连接OC,DE,过点O作ON⊥CE交CE于点N,如图 ①所示， AB//CD, ∴.∠ABC+∠BCD=180. ∴∠OBF+∠PC0=专∠ABC+号∠BCD=90, .∠BOC=180°-（∠OBF+∠FCO)=90. :B0=2,C0=23,.BC=OB+OC 由题可知DE⊥BM,∠DCM=60°，CD=4√5 /2+(23)2=4. :△0C的面积-号以C.0F-号0B,0C, .CE-CD-25. 在R△CED中，DE=√CD-CE= .BC·OF=OB·OC,.4OF=2X23.∴.OF=3 √/43)'-(23)=6. .⊙0的半径为3. ,OC=OE,,.∠OCN=∠OEN (2)在R△0FC中，os∠FOC_0F=3=L 又ON⊥CE,.∠ONC=∠ONE=90 0C232 又，ON=ON,,△OCN≌△OEN, .∠FOC=60°，.CF=3OF=3. NE= .Rt△OFC≌R△OGC,.∠GC=∠FOC=60, CE=3, 1 .∠F0=120°， 1 sin∠NOE-NE-Vg OE 3' 六Sm量-256eSm6m=2×交OF·CF ∴∠NOE=35,.∠DEF=∠NOE=35. 120xX(5)=35- 在平移过程中：ME=MC-CE=4V3-2V3=23, 360 S#s=ME×EF=23×6=123, 即阴影部分的面积为33一元 在旋转过程中：∠DEF=35 12.解：(1)证明：连接OB.:AC为⊙)的直径， Sw-×XEp-子元 35 ∴.∠ABC=90 'AB⊥PO..POBC, ②过点Q作QK⊥CE交CE于点K,如图②所示. ∴.∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC OB=OC. .∠OBC=∠C,.∠AOP=∠POB. 在△AOP和△BOP中， OA=OB. ∠AOP=∠POB,∴.△AOP≌△BOP, PO-PO. 由①可得∠DEF=35,∠DCE=60°， .∠OBP=∠OAP.PA为⊙O的切线， ∴∠KQE=35,∠CQK=30°， .∠0AP=90°，.∠OBP=90. :OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线， QK=KE tan 35-KE.QK=CK tan30=√3CK. (2)证明：连接AE.:PA为⊙O的切线， :CK十KE=CE=25, .∠PAE+∠OAE=90 即2KE-原×(23-KE). AD⊥ED, 解得KE=65-6√2. .∠EAD+∠AED=90. ,(OE=(0A,∴.∠0AE=∠AED, .CK=62-45,CQ=2CK=122-85. .∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD 29.5正多边形与圆 ,PA,PB为⊙O的切线 1.B2.B3.C .PD平分∠APB, 4.63 .E为△PAB的内心 5.4-22 解析：设正方形四个顶，点分别为A,B,C,D,连接 (3).∠PAB+∠BAC=90,∠C+∠BAC=90°， O4并延长，文⊙O于点E,过点O作OF⊥AB,如图所示， ∠PAB=∠C, 制EA的长度为圆上任意一点到正方 cosC=cos∠PAB=yIo 形边上任意一点距离的最小值， 10 由题意可得OE=AB=4,AF=OF 在R△ADC中，sC-C-=1=西 ACAC 10 名A=2 AC-10.A010 由勾段定理可得OA=√OF+AFT= 2 22. 7 ∴AE=4-22. 6.解：(1)证明：如图所示，连接AE,AD,AC '六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴EF=ED=CD=BC, ∴.EF=ED=CD=BC ∴·∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB, ,在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等 分∠BAF. (2)如图所示，过点O作(OG⊥DE于点G,连接OE,设⊙O 由(1)知∠NOP=60 的半径为. 又，ON=OP=10..△NOP是等边三角形， '∠D0E=360 6=60.0D=OE=r. .NP=ON=OP-10. :小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平 ∴，△ODE是等边三角形， 线1， ∴DE=OD=r,∠OED=60°， ∴.MN=PQ=1.MN∥PQ. .∠EOG=30°， ∴.四边形MNPQ是平行四边形， - .MQ=VP=10,.MQ的长为定值.故在旋转过程中，MQ 的长为定值，是10， 0G-OET-EGT3 14.解：(1)如图所示，连接FO , 正六边形ABCDEF的面积=6××rX号，-3， ⊙0的面积为r, 51ar' 25π 9 :正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形， 5∠A0F=60,i∠ADF=7∠A0F=30 (2):PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径， .∠ADP=90 ,正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形， .∠PAD=60, 在R△PAD中，AD=12, 7.解：△BCD即圆的内接正三角形，如图①所示， ∴.PD=AD·tan60'=12×3=12w3. 八边形AECHBFDG即圆的内接正八边形，如图②所示. (3)SAAFM+SACOM=SAAM+SAAM-SAA 在Rt△AFD中， AF=AD·cos∠FAD=12×cos60'=6. DF=AD·sin∠FAD=12Xsin60°=6V3, 1 六Sam=2X6X6v5=18V3, SAAFM+SACDM=18/3. 15.解：(1)：五边形ABCDE是正五边形， ② ·∠ABC=5-2)X180 =108 5 8.C 即∠ABC=108°. 9.B解析：'在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC= (2)△AMN是正三角形 30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC,∴.∠BAC=∠BCA=30 理由：连接ON,NF,如图所示 .∠ACD=90°. 由题意可得FN=ON=OF, *CD=3..AD=2CD=6. ∴图中阴影部分的面积=Sa#M啊十Snwr一SaAIFF, ∴.△FON是等边三角形， :将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F处， .∠NFA=60°，.∠NMA=60°， 同理可得∠ANM=60° S即mE=S脚嘘都A·一图中阴影部分的西积= .∠MAN=∠ANM=∠NMA=60, 30π×6 360 =3π. .△AAMN是正三角形. (3)连接OD,如图所示 10.1011.(1)25(2)√13+1 ∠AMN=60°..∠AON=120, 12.(1)4(2)54+5 13.解：(1)60 “∠A0D=360 ×2=144, (2)①25 .∠NOD=∠AOD-∠A0N=144°-120°=24 ②3√T 360°÷24°=15， ③证明：如图所示，连接NP,MQ. .n的值是15. .∠BDF=∠DBF..DF=BF=29 .DE=DF-EF=29-3. 7.解：(1)如图①所示，⊙0为所作 如图②所示，⊙1为所作 专题一三角形的内切圆与外接圆 1.A2.D3.B H 4.A解析：如图所示，过点D作DG⊥AC于点G,并延长交 AB于点F. 2 (2)W5 2 8.证明：(1)，点I是△ABC的内心，∴，A1平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. :CD=CD,∴.∠CBD=∠CAD,·∠BAD=∠CBD. D (2)如图所示，连接BL, '在△ACD中，AD=AC=DC=2√3. :点I是△ABC的内心， △ACD是等边三角形，∴点G为AC的中点 ∴.AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, 过点A作AE平分∠DAC,交DG于点E,则点E为△ACD ∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI. 的内，∠EAC=30°. 由(1)知∠CBD=∠BAD. 在△ABC中，∠BAC：∠B1∠ACB=1:2:3, ,∠BID=∠ABI+∠BAD ∴.∠BAC=30°，∠B=60,∠ACB=90°， ∠DBI=∠CBI+∠CBD, ∴.BCEF.∠EAF=∠EAC+∠BAC=60', .∠BID=∠IBD,.ID=BD .∠AFE=∠B=60 ,△AEF是等边三角形。 AG=CG. ,点F为AB的中点，即点F为△ABC的外心. 在R△ABC中，：AC=23, 太AB=AC=23=, c0s30 N 2 (3)如图所示，连接CI,DC ∴EF=AF=7AB=2 :∠BAD=∠CAD,∴BD=CD .ID=BD.∴.BD=CD=ID ∴△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2. ∴点D是△B1C的外心. 5.140 9.解：(1)证明：连接OA,OB,OC,OE,OF,如图所示.，点O 6.29-3解析：如图所示，连接BD,BF 是△ABC的内心， .∠OBA=∠FBO. 在△ABO和△FBO中， BA=BF. ∠ABO=∠FBO: BO-BO. ∴.△ABOQ△FBO(SAS). ∴OA=OF,同理OA=OE,.OA=OE=OF,.点0是 ,∠C=∠F,∠BEF=∠AEC, △AEF的外心 ∴△BEF∽△AEC, (2)点O是△AEF的外心， 院-e…是证AE=婴 ,∠EOF=2∠EAF,在等腰三角形BAF中，AB=BF, ∠ABO=∠FBO. 点D为△ABC的内心， .BO⊥AF, ∴AF,BD分别为∠BAC,∠ABC的平分线， .∠BAF=∠CAF,∠ABD=∠CBD. ∠ABr, 六∠AFE=90°-1 '∠FBC=∠FAC,.∠FBC=∠BAF ∠F=∠F.∴△FBE△FAB, 同理∠AEF=90°- 2∠ACE. 器 ∴.∠EOF=2∠EAF =2(180°-∠AEF-∠AFE) BF=EF·AF=3X(+9）=29 =2[18o-(o-∠ACE）-(o-∠aBF)】 .BF=29. ,∠BDF=∠BAF+∠ABD, =2(号∠ABF+号∠ACE) ∠DBF=∠CBD+∠FBC, =∠ABF+∠ACE=70, 929.5 正多边形与圆(答案P7) #通基础 则1正多边形与圆的有关概念及计算 1.(2024·滁州天长模拟)下列命题:①各角相等 第4题图 第5题图 的多边形是正多边形;②任何正多边形都有一 个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心 5. 几何直观如图所示,O的圆心O与正方形 圆;③正六边形的外接圆半径与边长相等; 的中心重合,已知⊙O的半径和正方形的边长 ④在正多边形中,中心角与正多边形的每个外 都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一 点距离的最小值为 ) 角相等,其中,真命题的个数是( . A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图所示,六边形ABCDEF是⊙O的内接正 六边形. 2.(2024·包头昆都仑区三模)如图所示,多边形 (1)求证:在六边形ABCDEF中,过顶点A的 ABCDE为圆内接正五边形,PA与圆相切于 三条对角线四等分BAF. 点A,则PAB的大小为( ) (2)设。O的面积为S,六边形ABCDEF的 A.18* B.36f C.54* D.72 E ,。 C 0. 第2题图 第3题图 3.(2024·河北一模)如图所示,A,B,C,D均为 圆周上十二等分点:若用直尺测量弦CD长 时,发现C点、D点分别与刻度1和4对齐,则 知回2正多边形的画法 A,B两点的距离是( ) 7. 教材P17例1变式 用尺规在下列圆中分别画 A.2/2 C.3/3 D.6 B.2/3 出正三角形、正八边形,(不写作法,保留作图 痕迹) 4.(2024·济南钢城区期末)大自然中有许多小 动物都是“小数学家”,蜜蜂的蜂巢结构非常精 巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研 究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形 一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,如 图所示,若边心距OM三③mm,则这个正六 边形的面积是 mm2. 通能力 8. 新情境》《墨子·天志》记 载:“执规矩,以度天下之方 圆,”度方知圆,感悟数学之 第11题图 第12题图 美,如图所示,正方形AB CD的面积为4,以它的对 12.(2023·保定雄县模拟)如图所示,在正六边 角线的交点为位似中心,作它的位似图形 形ABCDEF中,AB=4,O为AD的中点,以 A'B'C'D',若AB:A'B'=1:2,则四边形 O为圆心,3为半径作⊙O,M为。O上一动 A'B'CD'的外接圆的半径为( 点,设点M到正六边形上的点的距离为d. 二&_ A.2 B.2 C.2/2 D.4 (1)OA= (2)当△BCM面积最小时,点M到BC的距 9. 如图所示,在边长为3的正六边形 离为 ,d的最大值为 ABCDEF中,将四边形ADEF绕顶点A顺 13.(2023·鄣山区模拟)摩天轮是游乐场中 时针旋转到四边形ADE'F'处,此时边AD 受欢迎的游乐设施之一,它可以看作由一个 与对角线AC重叠,则图中阴影部分的面积 大圆和六个全等的小圆组成(如图所示),大 是( ) 圆绕着圆心O匀速旋转,小圆通过顶部挂点 B.3π (如点P,N)均匀分布在大圆圆周上,由于重 力作用,挂点和小圆圆心连线(如PQ)始终垂 C.2n十2 D.2/3+2n 直于水平线/. (1)/NOP= (2)若0A=16,。0的半径为10,小圆的半 径都为1. ①在旋转一周的过程中,圆心M与/的最大 距离为 第9题图 第10题图 ②当圆心H到/的距离等于OA时,OH的 长为 10.如图所示,用若于个全等的正五边形排成圆 ③求证:在旋转过程中,MQ的长为定值,并 环状,图中所示的是其中3个正五边形的位 求出这个定值 置,要完成这一圆环排列,共需要正五边形的 个数是 11.(2024·廊坊安次区二模)如图所示,已知四 个正六边形摆放在图中,顶点A,B,C,D,E F在圆上,其中上下两个大一点的正六边形 边长均为a,左右两个正六边形边长均为b. (1)tan乙ADE-; (2)若6-3,则a- 14.(2024·石家庄一模)如图所示,正六边形 通素养 ABCDEF为⊙O的内接正六边形,过点D 作O的切线,交AF的延长线于点P,连接 15.如图①所示,正五边形ABCDE内接于⊙O. FD,AD,O的半径为6. 阅读以下作图过程,并回答下列问题 (1)求ADF的度数 作法:如图②所示. (2)求线段PD的长. ①作直径AF; (3)若点M为FD上一点(不与点F,D重 ②以F为圆心,FO为半径作圆狐,与⊙O交 合),连接AM,CM,直接写出△AFM与 于点M,N; △CDM的面积之和. ③连接AM,MN,NA. (1)求ABC的度数. (2)△AMN是正三角形吗?请说明理由 (3)从点A开始,以DN长为半径,在⊙O上 依次截取点,再依次连接这些分点,得到正; 边形,求n的值 ① 2