第1章 6 利用三角函数测高 第2课时 测量底部不可以到达的物体的高度-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

8米，∴CN=8米.在Rt△ENC中，∠ECN=76°，BD的距离约是70米. CNEN=CN·tam∠BCN≈8X4.1= an∠ECN=E 7.解：如图所示，延长PD交AC于点F,延长DP交BE于 点G. 32.08(米)，.CD=NH=EH-EN=12.92米≈13米，即 古槐的高度约为13米 26.67i6 Ar-in C F 由题意，得PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53米，AF=BG, 设AF=BG=x米，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD= H D 12.解：(1)如图所示，AB表示古松树的高，CD,EF分别表示小 16米，DF=CD=8米，在R△PAF中，∠PAF=45, 红和小阳的眼睛到地而的距离. .PF=AF·tan45=x米，在Rt△BPG中，∠GBP=18, ∴.GP■BG·tan18°≈0.325x(米)，，.FG=PF+PG■x十 0.325x=1.325x(米)，1.325x=53,解得x=40,.PF= 40米，.PD=PF-DF=40-8=32(米)，.该风力发电机 30 459 塔杆PD的高度约为32米. 8.解：(1)如图所示，过点B作BF⊥CD,垂足为F, D B E (2)由题意，得四边形CDEF是矩形，.CD=BG=EF :乙山BD的按比为1：0,5，脚器-元-青六设BF- 1.6米，CF=DE=135米.设AG=x米，∠ACG=30°， 4x米，则DF=3x米，在Rt△BDF中，BD= ∠AFG=45,∠AGC=∠AGF=90°，.GF=AG=x米， √BF+DF=√/(4x)2+(3x)7=5x(米)，BD=800米， AC=2AG=2x米，∴CG=√AC-AG=5x米， '.5.x=800,'.x=160,.BF=4x=640米，DF=3x .DE=CF=CG+GF=√3x+x=135米，，.x49.45, 480米，'，乙山B处到河边CD的垂直距离为640米. .AB=AG+GB51.1米<60米，.小阳的说法正确. (2)如图所示，过点A作AE⊥CD,垂足为E,过点A作 第2课时测量底部不可以到达 AH⊥BF,垂足为H. 的物体的高度 1.742.D3.A4.3.8 5.解：如图所示，分别过点C,B作CE⊥DG,BF⊥DG,垂足分 别为E,F,延长CB交AG于点H, 19°30F EC D 由题意，得AH=EF,AE=HF=240米.·BF=640米， 地面 ,.HB=BF-HF=640一240=400（米）.在Rt△AHB A H 中，∠BAH=30°，.AH= BH_400=4005(米)， 由题意可知，∠DCE=1930',CD=180m,BC=EF=30m. tan 30 3 在R△ABH中，”∠a=30,AB=50m,BH=号AB= 3 ∴.EF=AH=4003米.在Rt△AEC中，AC=250米， 25m=FG.在Rt△DCE中，：∠DCE=19°30'，CD=180m, ∴.CE=√JAC2-AE=√250-240=70（米）. ∴DE=CD·sin∠DCE≈180X0.33=59.4(m)..DG= DF=480米， DE+EF+FG=59.4+30+25=114.4114(m). 答：山顶D的高度约为114m. ,'.CD=EF-E℃-DF=400w3-70-480≈143（米）， 6.解：如图所示，过点E作EN⊥BC于点N,交HG于点M,则 河CD的宽度约为143米. AB-AH-EM+EN 9.解：(1)过点A作AE⊥1，垂足为E,如图所示，设CE=x米， CD=60米，.DE=CE+CD=(x+60)米.∠ACB= 15,∠BCD=120°，∴.∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45, .在Rt△AEC中，AE=CE·tn45°=x米.'在Rt△ADE .401259 中，∠ADE-0,m90-铝-千0-得 36 30√3+30，经检验，x=30√3+30是原方程的根，，，AE= C D 根据题意可知，∠AHF=∠EMF=∠EMG=90°，EN= (30√3+30)米..河的宽度为(30√3+30)米， 40米.：HG∥BC,∴∠EGM=∠ECB=36°，在Rt△AHF (2)过点B作BF⊥1，垂足为F,如图所示.则CE=AE= 中，∠AFH=40°，AF=50米，.AH=AF·sin∠AFH≈ BF=(30W3+30)米，AB=EF.:∠BCD=120°， 50×0.64=32(米).在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG= .∠BCF=180°-∠BCD=60°.：在Rt△BCF中，CF= m米，则FM=(7一m)米，.EM=MG·tan∠EGM=G· BF30W3+30 tan36°=0.73m,EM=FM·tan∠EFM=FM·tnn25°= tan60° =(30十10V3)米，.AB-EF-CE-CF 3 0.47×(7一m),.0.73m=0.47(7一m),解得m2.7米， ,,EM=0.47(7-m)≈2.021（米），.AB=AH一EM十 30√5+30一(30+10√5)=20√5（米），，.古树A,B之间的距 EN%32一2.021十40%70（米）.即此大跳台最高点A距地面 离为205米. 5.解：(1)如图①所示，过点D作DF⊥BC于点F. :∠FCD=60°，∠CFD=90°， FC-CDX cos 60-50X-25(cm), 1152 、12030 .FA=AB+BC-CF=84+54-25= 113(cm). E D 专题三构造三角函数基本 答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm. (2)如图②所示，过点C作CG垂直地而于点 图形解决实际问题 G,过点B作BN⊥CG于点N,过点D作 ① 1.解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交地面于 DM⊥CG于点M. 点E BC=54cm,∴.CN=BC X cos20°≈54X :m∠ABD-A0:AD=AB 0.94=50.76(cm), ,'.MN=CN+MG-CG=50.76+90-50.76- sin70°≈92X0.94=86.48(cm) 84=6(cm), :DE=6cm,.AE=AD十DEe ∴.CM=CN-MN=44.76cm, 92.5cm.答：把手A离地面的高度约为 B ∴CD=CM=44.76 92.5cm. c0s40=0.77 58(cm). 2.18+6v3 答：CD的长约为58cm 6.解：(1)在△ABC中，∠ACB=180°-∠B一 ② 5 3.解：如图所示，过点B作BG⊥EF,垂足为G,过点C作 ∠BAC=180°-37°-53°=90. CH⊥BG,交GB的延长线于点H,过点A作AD⊥BG,垂足 ”在R△ABC中，sinB=AC AB' 为D. AC=AB·血3T=25X名-15（海里. 答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里. (2)过点C作CM⊥AB于点M,由题意易知，点D,C,M在 同一条直线上 在R△AMC中，CM=AC·血∠CAM≈15×号-12（海里）， 3 由题意得AO=DG=3.02米，∠CHB=90°， AM=AC·os∠CAM≈15X号=9（海里）. AO⊥EF, ∴.AO∥BG, :在R△AMD中，ian∠DAM= AM ∴∠ABG=180°-∠OAB=43° .DM=AM·tan76≈9X4=36(海里)， :∠ABC=100°， :AD=√AM+DM=√+36=97（海里），CD= .∠CBH=180°-∠ABC-∠ABG=37° DM-CM=36一12=24（海里）. ∴∠C=90°-∠CBH=53 在Rt△CBH中，BC=2米， 设辑私是的速度为上海里/时，则有酷9 ,解得x= x .BH=BC·sin53°s2×0.8=1.6(米). 6√17，经检验，x■6√17是原方程的解.答：当组私艇的速 在Rt△ABD中，AB■3米， .BD=AB·c0s43°≈3×0.73=2.19（米）， 度为6√17海里/时时，恰好在D处成功拦截走私船. .HG=BH+BD+DG=1.6+2.19+3.02≈6.8（米）， 7.解：(1)如图所示，过点E作EF⊥CD,垂足为点F. ∴.此时点C到工作台EF的距离约为6.8米 EF1 4 4.解：(1)如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. :斜坡DE的坡度1=110.75心D那=0,75=3…设 EF=4x米，则DF=3x米.在Rt△DEF中，DE= DF2+EF=√(3x)2+(4x)7=5x米，：DE=35米， ∴.5x=35,解得x=7,∴.EF=28米，DF=21米，，小敏从D B D 到E的过程中上升的竖直高度为28米 设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38 (2)如图所示，过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点A'作 :m-品AD-08品-x米 A'H⊥EG,交EG的延长线于点H 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28. :mx-品 CD BD= tan28*0.5=2x米. :AD+BD=AB=234米， F DC 1x+2z=234, 由题意得A'H=BG,AB=A'B=GH,CG=EF=28米. :BC=98米，∴AH=BG=BC-CG=98-28=70(米)，在 解得x=72. 答：斜拉索顶端C到AB的距离为72米。 △AEH中，∠AEH=5,EH-温=70（米）设 (2)还需要补充的项目可为测量工具，计算过程，人员分工，指 AB=A'B=GH=x米，.EG=EH一GH=(70一x)米， 导教师，活动感受等.（答案不唯一） AG=AB十BG=(70十x)米，在R1△AEG中，∠AEG=68°，第2课时 测量底部不可以到达的物体的高度（答案P7) 通基曲 3.某建筑物的顶部有一块标识牌CD,如图所示， 小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角 知识点测量底部不可以到达的物体高度 为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌 1.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知 底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为 识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧 30°，AB=AE=10米.则标识牌CD的高度是 的瞭望台上放飞一架无人机.如图所示，无人 机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望 ( )米 台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端 A.15-53 C处的俯角为63.6”.已知瞭望台BC高12米 B.20-105 (图中点A,B,C,P在同一平面内)，那么大汶 C.10-53 河此河段的宽AB为 米.（参考数据： D口o口口口 D.5/3-5 ≥人60° sin40°≈ sim63.6° 3 6 0,tan50°≈ 4.如图所示，建筑物BC上有一旗杆AB.从与 BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角 tan63.6°≈2》 为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，旗杆的 50%63.6 高度为 m.(结果保留小数点后一位， sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈ 1.192) 通能力》99999999329239229999939 2.新情境》重庆是著名的山城，“8D魔幻建筑”在 45 中心城区十分常见.如图所示，在坡度为i=1: 方0m 2.4的斜坡AB上有一楼房BC,D为斜坡上一 5.应用意识◆如图所示，游客从旅游景区山脚下的 点，在楼顶C望坡脚A测得俯角为45°，望点 地面A处出发，沿坡角α=30°的斜坡AB步行 D测得俯角为53°，若AD=13m(楼房BC与 50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C 斜坡截面，点D,E在同一平面上，楼房BC与 处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶 水平直线AE垂直)，则楼房BC的高度约为 D处，此时观测C处的俯角为1930'，索道CD ()(参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈ 看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到 0.60,c0s37°≈0.80) 1m,参考数据：sin1930'≈0.33，c0s19°30'≈ 0.94,tan1930'≈0.35) 19°30 A.33.2m B.28.6m 地面 C.23.5m D.19.3m 28 优砂学棒说的道 6.几何直观某地模仿北京首钢大跳台建了一个 7.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展 滑雪大跳台，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆 方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为 坡、终点区四部分组成.其示意图如图所示，已 30的坡地新安装了一架风力发电机，如图①所 知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度 示.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力 FG=7米，顶端E到BD的距离为40米， 发电机的塔杆高度进行了测量，图②所示为测 HG∥BC,∠AFH=40°，∠EFG=25°， 量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A ∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面 处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为 BD的距离是多少米.（结果保留整数）（参考数 45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B 据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈ 处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔 0.84,sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈ 杆PD的高度.（参考数据：sin18°≈0.309， 0.47,sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈ cos18°≈0.951，tan18°≈0.325) 0.73) B---- .407 1252. 362 C D 一小年级下能数学站 29 8.巴中市位于四川盆地东北部，典型的盆周山 通素养> 区，大小河流共1100多条，多峡谷.如图所示， 在河流两边有甲、乙两座山，甲山A处是学校， 9.应用意识如图所示，九(1)班数学兴趣小组为 乙山B处是某景区观光台，已知甲山上A点 了测量河对岸的古树A,B之间的距离，他们 到河边C的距离AC=250米，点A到CD的垂 在河边与AB平行的直线L上取相距60米的 C,D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°， 直高度为240米：乙山BD的坡比为1：0.75，乙 山上B点到河边D的距离BD=8O0米，从B ∠ADC=30°. 处看A处的俯角为30°. (1)求河的宽度. (1)求乙山B处到河边CD的垂直距离. (2)求古树A,B之间的距离.（结果保留根号） (2)求河CD的宽度.（参考数据：√2≈1.414， 3≈1.732.结果保留整数) 152 、120°3 30 优学棒说时