第1章 6 利用三角函数测高 第1课时 测量底部可以到达的物体的高度-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

45.∴△ACD是等腰直角三角形，AD=DC,.tnB= 品子设AD=,则DC=,BD=.:BD+C 楼 入I A地平线 BC=8,.3x+x=8,解得x=2,.AD的长为2. (2)如图所示，作EF⊥AB于F.由(1)知EC=4,DC=2 地下停个场 .ED=EC-DC=4-2=2.:.AE=/ADDE= 则∠ECD=∠BAD=18.在Rt△CED中，CE=CD· EF 1 V2+2=2反.在R△BEF中，“nB=BF=京可 c0s18°2.8×0.95=2.66(m),2.66>2.5,.按这样的 设计能保证货车顺利进入地下停车场。 设EF=y,则BF=3y.:EFe+BF=BE,.y2+ (3y)=4,解得y-2西 5 EF-2/10 6利用三角函数测高 ,∴.sim∠BAE 第1课时测量底部可以到达的 2√10 物体的高度 EF 5 5 1.40°2.4.63.A4.A5.D 6.解：由题意可得∠ACE=30°，CE=DB=15m,DC=BE= 1.3m,an30-F花.则AE=BC·an3015×分 53(m).故AB=AE+BE=53+1.310.0(m). 答：旗杆AB的高度约为10.0m. 5三角函数的应用 7.B 1.C 8.21,7解析：作BM⊥ED交ED的廷长线于点M,作CN⊥ 2.解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D. DM于点N,如图所示 北 D 609 i=10.75 4 M N D 由题意知，∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°，.BD= 1 3AD.CD=AD.BC=2.4 km=2 400 m...3AD+ 在R△CDN中.：、=O万3，设CN=来，DN] 4 4D=2400m,解得AD=1200(W5-1)m≈876m>800m, 3k米，CD=10米，.(3k)1+(4k)3=100,.k=2. 故该公路不穿过纪念园： ,.CN=8米，DN=6米.四边形BMNC是矩形，.BM= 3.D4.C5.B CN=8米，BC=MN=20米，EM=MN十DN+DE 6解：在R△MC中血A-CAC=C 0.9 sin A sin 10 66来，在R△AEM中，tn2°=AM EM0.45=8+AB 66 0.75.3(m.答：斜坡AC的长约为5.3m 0.9 .AB=21.7米 9.(7+√3) 7.B8.305m9.4.4m10.20.6211.B 10.解：如图所示，延长DF交BA于点H,则DH⊥AB, 12.20√3 .四边形DEAH为矩形， 13.解：如图所示，过点M作ME⊥AC于点E,由题意得AB= ∴.AH=DE=0.5m 在Rt△CHD中，∠CDH=30, 2m,∠A=30∠NBE=63,,在R1△BEM中，：E 则CD=2CH. 2.-2,设ME-5rm,BE-12rm,在R△BNE中， 15 在R△CHF中，∠CFH=53°. “acFH-器 :∠NBE=63.4∴tan63.4"= E≈2.NE=24xm EN CH .CF= 24x 在R△ANE中，“∠A=30an30-E-227 sn∠CFH*CH. 由题意得2CH一 CH=4.5, 5 停-2中MN=NE-AE-8t-.m 11 11 解得CH=6, 答：铜像MN的高度约为7.7m .AB=CH+AH-BC=6+0.5-1.5=5(m). 答：AB的高度约为5m. 03 14.解：(1)由题意可知∠BAD=18°，在Rt△ABD中，AB= 即一2品5.6m答，度在地断上距点B约5.6m 1L.解：过点A作AM⊥EH于点M,过点C作CN⊥EH于 点N,如图所示，由题意知，AM=BH,CN=DH,AB= 远的A处开始斜坡的施工， MH,在Rt△AME中，∠EAM=26.6,∴.tan∠EAM= (2)能.理由如下：如图所示，过点C作CE⊥AD于点E, EM EMEH-MH45-39=12(米)， AMAM=am∠EAM-an26.G 0.5 .BH=AM=12米，，BD=20米，.DH=BD-BH 6 8米，∴CN=8米.在Rt△ENC中，∠ECN=76",BD的距离约是70米. CNEN=CN·am∠ECN≈8X点.O1= an∠ECV=EY 7.解：如图所示，延长PD交AC于点F,延长DP交BE于 点G. 32.08(米)，.CD=NH=EH-EN=12.92米%13米，即 古槐的高度约为13米. 26.61 76 D C F 由题意，得PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53米，AF=BG, 设AF=BG=x米，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD B 12.解：(1)如图所示，AB表示古松树的高，CD,EF分别表示小 16米DF=CD=8米，在R△PAF中，∠PAF=45, 红和小阳的眼睛到地面的距离. ∴.PF=AF·tan45-x米，在Rt△BPG中，∠GBP=I8, ,.GP=BG·tan18°0.325.x(米)，.FG=PF+PG=x+ 0.325x=1.325x(米)，.1.325.x=53,解得x=40,.PF= 40米，.PD=PF一DF=40一8=32（米），.该风力发电机 530m G 45 塔杆PD的高度约为32米. 8.解：(1)如图所示，过点B作BF⊥CD,垂足为F D (2):由题意，得四边形CDEF是矩形，CD=BG=EF= :乙BD的按比为10.5，即部-后青设F 1.6米，CF=DE■135米.设AG=x米，：∠AG=30, 4x米，则DF=3x米，在R1△BDF中，BD= ∠AFG=45,∠AGC=∠AGF=90°，.GF=AG=x米， √/BF+DF=/(4r)+(3x)F=5.x(米)，：BD=800米， AC=2AG=2x米，.CG=√JAC-AG=3x米， .5r=800,x=160,.BF=4x=640米，DF=3x .DE=CF=G十GF=3x十x=135米，.x49.45, 480米，∴，乙山B处到河边CD的垂直距离为640米. .AB=AG十GB≈51.1米<60米，小阳的说法正确. (2)如图所示，过点A作AE⊥CD,垂足为E,过点A作 第2课时测量底部不可以到达 AH⊥BF,垂足为H. 的物体的高度 1.742.D3.A4.3.8 5.解：如图所示，分别过点C,B作CELDG,BF⊥DG,垂足分 别为E,F,延长CB交AG于点H, 1930 EC 由题意，得AH=EF,AE=HF=240米.BF=640米， 地面 ,∴.HB=BF-HF=640-240=400(米).，在R1△AHB BH400 r 中，∠BAH=30°.∴.AH= =4003(米)， 由题意可知，∠DCE=1930',CD=180m,BC=EF=30m an30√3 3 在R△ABH中，：∠a=30,AB=50mBH=AB .EF=AH=400W3米.在Rt△AEC中，AC=250米， 25m=FG.在R1△DCE中，：∠DCE=1930',CD=180m, ∴CE=√/AC-AE=√250-240=70（米）. ,DE=CD·sin∠DCE≈180×0.33=59.4(m).,∴.DG DF=480米. DE+EF+FG=59.4+30十25=114.4≈114(m). 答：山顶D的高度约为114m. .CD=EF-C-DF=400W5-70-480143(米)， 6.解：如图所示，过点E作EN⊥BC于点V,交HG于点M,则 .河CD的宽度约为143米 AB-AH-EM+EN 9,解：（们）过点A作AE⊥1，垂足为E,如图所示，设CE=x米， ,CD=60米，.DE=CE十CD=(x十60)米.，∠ACB= 15°，∠BCD=120',,,∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45, ∴在R△AEC中，AE=CE·an45”=x米.在R△ADE H 40125 中，∠ADE=30,im0-品-千0-停ir 36 B 303+30,经检验，x=305+30是原方程的根，∴AE= C D 根据题意可知，∠AHF=∠EMF=∠EMG=90°，EN= (30,5+30)米.∴.河的宽度为(30√5十30)米. 40米，，HG∥BC,,.∠EGM=∠ECB=36°，在Rt△AHF (2)过点B作BF⊥I,垂足为F,如图所示.则CE=AE 中，∠AFH=40°，AF=50米.AH=AF·in∠AFH BF=(303+30)米，AB=EF,:∠BCD=120° 50X0.GA=32(米).在R1△FEM和R:△EMG中，设MG ,.∠BCF=180°一∠BCD=60°.，在Rt△BCF中，CF m米，则FM=(7-m)米，.EM=G·tan∠EGM=MC· tan36=0.73m,EM=FM·tan∠EFM=FM·tan25°= o-+ =(30+103)米，.AB=EF=CE-CF= 0.47×(7-m),0,73m=0.47(7一m),解得m≈2.7米， 3 .EM=0.47(7-m)2.021(米)，.AB=AH-EM+ 303+30-(30+103)=203(米)，.古树A.B之间的距 EN=32一2.021+40=70（米）.即此大跳台最高点A距地面 离为203米. 16利用三角函数测高 第1课时 测量底部可以到达的物体的高度（答案P6) 通基础 ∠ABD=a,则此时云梯顶端A离地面的高度 AE的长是() 知识点1测量倾斜角 10 A.10tan a+2 B. 十2 1.如图所示，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制 tan a 作了一个简易测倾仪.量角器的0刻度线AB 10 C. +2 D.10sin a+2 cos a 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时 观察楼顶的仰角度数是 D A145 60 铅锤 第3题图 第4题图 2.(2024·江门蓬江区模拟)小丽设计了一种测 4.如图所示，某数学兴趣小组测量一棵树CD的 量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半 高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在 圆形量角器的圆心B处，在细线的另一端C 点B处测得树顶C的仰角为60°，且A,B,D 处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪 三点在同一直线上.若AB=16m,则这棵树 (如图①所示)：将此测角仪放在眼前，使视线 CD的高度是( 沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如 图②，图③所示)；小丽眼睛（即点A)离地 A.8(3-3)m B.8(3+√5)m 1.5米，现测得∠ABC=58°，小丽与树的水平 C.6(3-√3)m D.6(3+√3)m 距离是5米，则树高是 米.（结果保留 5.模型观念)如图①所示，安装了软件“Smart- 一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈ Measure'”的智能手机可以测量物高.其数学原 0.53,tan58°≈1.60) 理是通过测量手机离地面的高度、物体底端的 俯角和顶端的仰角即可知道物体的高度.如 图②所示，小明测得大树底端C点的俯角为 a,顶端D点的仰角为B,点A离地面的高度 AB=a米.则大树CD的高为( 知识点2测量底部可以到达的物体的高度 3.(2024·聊城临清模拟)为了提升全民防灾减 灾意识，某消防大队进行了消防演习，如图所 示，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕 ① 点B转动，其底部B离地面的距离BC为 A.a(tana十tanB)米B.a(sina+sinB)米 2m,当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上 C.al 时，底部B到EF的距离BD为10m,若 an4+1)米 D.a(an+米 tan 8 \tan a 一九件级卡研数学的 25 多辑固忽略侧倾仪的高度 6.如图所示，有一个同学用一个含有30°角的直 角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他 C-10.75249 D B 将30°的直角边水平放在1.3m高的支架CD 第8题图 第9题图 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线 9.如图所示，小明想测量电线杆AB的高度，发 上，他又量得D,B的距离为15m,求旗杆AB 现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和 的高度.（精确到0.1m) 地面BC上，量得CD=4m,BC=10m,CD 与地面成30°角，且此时测得1m长的标杆的 影子长为2m,则电线杆的高度约为 m. 10.(2024·榆林榆阳区模拟)小亮在给自建房的 楼上安装栏杆时，利用定滑轮设计了如图① 所示的方案帮家人将所需材料运送至该楼 通能力 层.运送中，小亮突发奇想，想利用这个装置 测量一下自己所在楼层距离地面的高度AB. 7.几何直观如图所示，学校环保社成员想测量斜 如图②所示，将定滑轮固定在该楼层上方支 坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在坡底C 架点C处（点A,B,C在同一直线上），并利 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处 用定滑轮的工作原理拉动水平地面上的箱 测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长 子，在起始位置点D时，测量出绳子和水平面 度为20m,DE的长为10m,则树AB的高度 的夹角为30°，拉动一段距离后箱子到达点 是() F,测量出绳子和水平面的夹角为53°.已知定 滑轮距离该楼层地面的高度BC=1.5m,箱 子的高度DE=0.5m,移动过程中绳子收回 609 的长度为4.5m,DE,FM,AC均垂直于地面 AE,求AB的高度.（参考数据：sin53°≈ A.205m B.30m 0.80,cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) C.303m D.40m 8.几何直观如图所示，AB是一垂直于水平面的 建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水 平方向向右行走20米到达点C,再经过一段 坡度（或坡比）为i=1:0.75、坡长为10米的 斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行 走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平 面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为 24°，则建筑物AB的高度约为 米.（参考 数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈ 0.45) 26 优学案课时通一 11.应用意识某市某辖区内的兴国寺里有一座宋 代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古 槐，称为“宋塔唐槐”.数学兴趣小组利用无人 12.新情境◆清明节假期，小红和小阳随爸爸妈妈 机测量古槐的高度，如图所示，当无人机从位 去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊 于塔基B点与古槐底D点之间的地面H 讶地说：“呀！这棵树真高！有60多米.”小 点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得 阳却不以为然：“60多米？我看没有.”两人争 塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角 论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一 分别为26.6和76°（点B,H,D三点在同一直 副三角板，用你们学过的知识量一量，算一 线上).已知塔高为39米，塔基B与树底D 算，看谁说得对吧！”小红和小阳进行了以下 的水平距离为20米，求古槐的高度.（结果精 测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西 确到1米) 两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保 (参考数据：sin26.6°≈0.45，c0s26.6°≈ 持三角板的一条直角边与地平面平行，然后 0.89,tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97， 前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜 cos76°≈0.24，tan76≈4.01) 边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小 阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面 26.676 的距离都是1.6米. (1)请画出小红和小阳测量古松树高的示 意图 (2)通过计算说明小红和小阳谁的说法正确. (结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41， √3≈1.73,5≈2.24) 30 1.6米 1.6米 一九详级卡伊数学 27