第1章 5 三角函数的应用-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

5 三角函数的应用（答案P6) 0通基>9999999994999999” 知识点2仰角、俯角问题 3.如图所示，某地修建高速公路，要从A地向B 知识点1方向角问题 地修一条隧道（点A,B在同一水平面上）.为 1.教材P21习题1.6T4变式净如图所示，港口A 了测量A,B两地之间的距离，一架直升机从 在观测站O的正东方向，OA=4km.某船从 A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处 港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离 观察B地的俯角为α，则A,B两地之间的距离 后到达B处，此时从观测站O处测得该船位 为( 于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即 A.800sina米 B.800tana米 AB的长)为( c. 800 米 800 D. 米 sin a tan a 160 30P 人60° B A A.4 km B.2√3km 4m+0D 第3题图 第4题图 C.2/2 km D.(5+1)km 4.模型观念如图所示是某商场营业大厅自动扶 2.应用意识某地修建了一座以“讲好袁老故事， 梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自 厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形 动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角 纪念园.如图所示，纪念园中心点A位于C村 为60°，A,C之间的距离为4m.则自动扶梯的 西南方向和B村南偏东60°方向上.C村在B 垂直高度BD约为( )(保留一位小数) 村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计 A.3.9mB.3.7mC.3.5mD.3.3m 划在B,C两村之间修一条笔直的公路来连接 知识点3坡度问题 两村，问该公路是否穿过纪念园？试通过计算 5.(2024·铜仁期末)小明看完“上刀山”表演后， 加以说明.（参考数据：3≈1.73,2≈1.41) 被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在 如图所示大刀的AB段表演时最精彩，他想利 用所学知识测量一下B点的高度.已知点P, A,B在一条直线上，点P,C,D也在一条直线 上，AC⊥PD,BD⊥PD,AC=CD=2m,大刀 的坡度（即∠APC的坡度）：=？，则BD 为( A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 【22 优种学秦说的道 6.如图所示，某商场门前的台阶高出地面9.如图所示，某一时刻太阳光从窗户射入房间 0.9m,即CB=0.9m,现计划将此台阶改造 内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高 成坡角为10°的斜坡.求斜坡AC的长.（结果 度AF=2m,窗台的高度CF=1m,窗外水平 精确到0.1m.参考数据：sin10°≈0.17， 遮阳篷的宽AD=O.8m,则CP的长度 cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 为 .(结果精确到0.1m) 多稀区没有掌握坡度（坡比）的概念 10.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示 的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为 矩形，DE=10m,其坡度为i1=1:3,将步 梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i=1:4, 则斜坡AF的长度是 米.（结果精 确到0.01m,参考数据：3≈1.732，√17≈ 4.123) 知识点4其他方面的实际问题 7.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角 通能月●999929992279 形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°，BC 11.一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得 44cm,则高AD约为( )(参考数据：sin27°≈ 海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航 0.45,cos27°≈0.89，tan27°≈0.51) 行30海里到达C点时，测得海岛B在C点 的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最 近距离是( )(结果保留小数点后两位.参 A.9.90cm B.11.22cm 考数据：3≈1.732,2≈1.414) C.19.58cm D.22.44cm A.4.64海里 B.5.49海里 8.如图所示，起重机臂AC长60m,露在水面上 C.6.12海里 D.6.21海里 12.(2024·湛江康江模拟)如图所示，从甲楼底 的钢缆BC长30√2m,起重机司机想看看被 部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从 打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂 AC逆时针转动15到AC'的位置，此时露在水 甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45°.已知甲楼的高AB是60m,则乙楼的高 面上的钢缆B'C‘的长度是 CD是 m.(结果保留根号) 459 ◇ 甲 ◇ 第8题图 第9题图 30时 一九年级下能数学，玉 23 13.数学文化◆绵山是中国清明节（寒食节）的发源 通素养 地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚 在山上，绵山入口处有一座雄伟高大的介子 14.时代购物广场要修建一个地下停车场，停车 推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学 场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的 们想要测出这座铜像有多高.他们先制订了 倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直 测量方案，随后又进行了实地测量.如图所 高度CD=2.8m,一楼到地平线的距离 示，铜像MN建在坡比为1：2.4的楼梯BM BC=1 m. (1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上 顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角 距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果 为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B 精确到0.1m) 处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为 (2)如果给该购物广场送货的货车高度为 63.4°，其中点A,B,C,D,M,N均在同一平 2.5m,那么按这样的设计能否保证货车顺利 面内.请根据以上数据求出铜像MN的高度. 进人地下停车场？并说明理由，（参考数据： (结果精确到0.1m,参考数据：3≈1.73， sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈ 2.00) 一楼 2A地半线 地下停车场 D 24 优学廉课阴温一45.∴△ACD是等腰直角三角形，AD=DC,.tnB= 品子设AD=,则DC=,BD=.:BD+C 楼 入I A地平线 BC=8,.3x+x=8,解得x=2,.AD的长为2. (2)如图所示，作EF⊥AB于F.由(1)知EC=4,DC=2 地下停个场 .ED=EC-DC=4-2=2.:.AE=/ADDE= 则∠ECD=∠BAD=18.在Rt△CED中，CE=CD· EF 1 V2+2=2反.在R△BEF中，“nB=BF=京可 c0s18°2.8×0.95=2.66(m),2.66>2.5,.按这样的 设计能保证货车顺利进入地下停车场。 设EF=y,则BF=3y.:EFe+BF=BE,.y2+ (3y)=4,解得y-2西 5 EF-2/10 6利用三角函数测高 ,∴.sim∠BAE 第1课时测量底部可以到达的 2√10 物体的高度 EF 5 5 1.40°2.4.63.A4.A5.D 6.解：由题意可得∠ACE=30°，CE=DB=15m,DC=BE= 1.3m,an30-F花.则AE=BC·an3015×分 53(m).故AB=AE+BE=53+1.310.0(m). 答：旗杆AB的高度约为10.0m. 5三角函数的应用 7.B 1.C 8.21,7解析：作BM⊥ED交ED的廷长线于点M,作CN⊥ 2.解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D. DM于点N,如图所示 北 D 609 i=10.75 4 M N D 由题意知，∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°，.BD= 1 3AD.CD=AD.BC=2.4 km=2 400 m...3AD+ 在R△CDN中.：、=O万3，设CN=来，DN] 4 4D=2400m,解得AD=1200(W5-1)m≈876m>800m, 3k米，CD=10米，.(3k)1+(4k)3=100,.k=2. 故该公路不穿过纪念园： ,.CN=8米，DN=6米.四边形BMNC是矩形，.BM= 3.D4.C5.B CN=8米，BC=MN=20米，EM=MN十DN+DE 6解：在R△MC中血A-CAC=C 0.9 sin A sin 10 66来，在R△AEM中，tn2°=AM EM0.45=8+AB 66 0.75.3(m.答：斜坡AC的长约为5.3m 0.9 .AB=21.7米 9.(7+√3) 7.B8.305m9.4.4m10.20.6211.B 10.解：如图所示，延长DF交BA于点H,则DH⊥AB, 12.20√3 .四边形DEAH为矩形， 13.解：如图所示，过点M作ME⊥AC于点E,由题意得AB= ∴.AH=DE=0.5m 在Rt△CHD中，∠CDH=30, 2m,∠A=30∠NBE=63,,在R1△BEM中，：E 则CD=2CH. 2.-2,设ME-5rm,BE-12rm,在R△BNE中， 15 在R△CHF中，∠CFH=53°. “acFH-器 :∠NBE=63.4∴tan63.4"= E≈2.NE=24xm EN CH .CF= 24x 在R△ANE中，“∠A=30an30-E-227 sn∠CFH*CH. 由题意得2CH一 CH=4.5, 5 停-2中MN=NE-AE-8t-.m 11 11 解得CH=6, 答：铜像MN的高度约为7.7m .AB=CH+AH-BC=6+0.5-1.5=5(m). 答：AB的高度约为5m. 03 14.解：(1)由题意可知∠BAD=18°，在Rt△ABD中，AB= 即一2品5.6m答，度在地断上距点B约5.6m 1L.解：过点A作AM⊥EH于点M,过点C作CN⊥EH于 点N,如图所示，由题意知，AM=BH,CN=DH,AB= 远的A处开始斜坡的施工， MH,在Rt△AME中，∠EAM=26.6,∴.tan∠EAM= (2)能.理由如下：如图所示，过点C作CE⊥AD于点E, EM EMEH-MH45-39=12(米)， AMAM=am∠EAM-an26.G 0.5 .BH=AM=12米，，BD=20米，.DH=BD-BH 6