第1章 3 三角函数的计算-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

3三角函数的计算（答案P3) 通基础 (2)tanA-0.1890. 知识点1用计算器求任意锐角的三角函数值 1.(2024·烟台牟平区期末)利用科学计算器计 算，©os35,下列按键顺序正确的是() A.回B司2cos3⑤▣ 知识点3利用三角函数解决实际问题 B.②吕回cos3固 6.如图所示，小山岗的斜坡AC的坡角a=45°， c.包日2cos3⑤目 在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A D.吕回2cos3固目 的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为() 2.(2024·东营期中)用科学计算器求sin9°7'的 值，按键顺序正确的是( A. 2ndF sin 26.69 B. sin DMS DMS 200米 2ndF DMS A.164m B.178m D.DMS C.200m 2ndF D.1618m sin 7.(2024·淄博张店区模拟)如图所示，某厂房屋 3.用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们 顶人字架的跨度BC=16m,上弦AB=AC 的大小关系是() ∠BAC=130°.小明想用科学计算器求上弦 A.tan26°<cos27°<sin28 AB的长，若小明按键的顺序为 B.tan26°<sin28°<cos27 C.sin28°<tan26°<cos27 8☐65日，则由左到右第三个空 D.cos27°<sin28°<tan26 白方格中应填按键的符号是 .(请从 知识点2已知三角函数值，用计算器求锐角的 “tan”“sin”“cos”中选择填写) 度数 4.数材P14随堂练习T2变式》已知sinA= 0.2345,则锐角∠A的度数约为( 通能力9229x2399209>9392>3 A.13.56 B.1356 C.3116 D.31.56 8.若使式子/sina-0.4有意义，则∠a可以取以 5.运算能力◆已知∠A为锐角，求满足下列条件 下数值中的( 的∠A的度数.（精确到1） A.17 B.19 (1)sinA=0.352: C.21 D.24 9.已知：tana=1.237,cos3=0.9205,siny 0.6436(∠a,∠3，∠Y均为锐角)，则∠a,∠3， ∠Y的大小关系为 12 优学嫌说的温 10.如图所示，一根竖直的木杆在离地面3.1m 12.应用意识如图所示，某超市计划将门前的部 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成 分楼梯改造成无障碍通道，已知楼梯共有五 38°角，则木杆折断之前高度约为 m. 级均匀分布的台阶，高AB=0.75m,斜坡 (精确到0.1m.参考数据：sin38°≈0.62， AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有 cos38°≈0.79，tan38°≈0.78) 一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离 ED=2.55m. 11.新情境》冬天越来越多的游客选择到滑雪场 CD 来放松一下自己，体验一下蓝蓝的天空，皑皑 参考数据表： 白雪的浪漫，重温一下儿时的激情和与大自 计算结果（已 计算器按键顺序 精确到0.001】 然抗争的成就感，更能领略一下冬天滑雪的 SHIFT tan☑包白同)巨 11.310 魅力，如图①，②所示分别是一名滑雪爱好者 am☑回图同)目 0.003 在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图， SHIFT tan☑固白回回)巨 14.744 此时运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大 an☑固向回回)▣ 0.005 腿EF与斜坡AB平行，G为头部，且G,E, D三点共线.若滑雪杖EM长为1m,EF= (1)求CD的长， 0.4m,∠EMD=30°，∠GFE=62°，求此时 (2)为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角 滑雪爱好者头部G到斜坡AB的距离.（精确 不得小于多少度？（结果精确到1”.温馨提示： 到0.1m.参考数据：sin62°≈0.88，c0s62°≈ 运算中，如有需要，可以直接使用“参考数据 表”中的数据)》 0.47,tan62°≈1.88) 一九年级下能数学玉 13》 13.如图所示，一勘测人员从B点出发，沿坡角为 单位为m). 15的坡面以5kmh的速度行至D处，用了 素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢 12min,然后沿坡角为20°的坡面以3km/h 最底层窗台到地面高度均为1.2m.其中有南 的速度到达山顶A处，用了10min,求山高 北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每 (即AC的长度)及A,B两点间的水平距离（即 层高为2.8m,小明根据冬至日正午的太阳高 BC的长度).（精确到O.01km.参考数据： 度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m. sin15°≈0.2588，c0s15≈0.9659，tan15°≈ 素材3：小明住在一期某幢大厦，因该小区进 0.2679:sin20°≈0.3420，c0s20°≈0.9397， 行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她 tan20°≈0.3640) 在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦 顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯 D20° 角为30°（如图所示）. B15 (参考数据：tan15.75°≈0.282,3≈1.73) 【任务探究】 任务1：若该小区冬至日正午时的太阳高度角 为a,求tana的值 任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多 少米？（结果精确到0.1m) 【成果与反思】 二期新建的大厦共有17层，每层高都相等。 按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于 1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期 建房是否存在违规？如有违规，请提出至少 需要拆除几层才能符合国家规范设计」 通素养 ,33333》23723y33y3》3)>>>>3>3>2>2 14.阅读理解◆根据收集的素材，探索完成任务，展 示成果与反思 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影 啊，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房 屋外墙之间的水平距离，按国家规范设计必 须保证北向房屋在冬至日，房子最底层窗户 获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小 间隔距离，为最小楼间距，最小楼间距d h一(h,表示南面房屋顶部至地面高度， tan a h:表示北面房屋最底层窗台至地面高度，α 表示某地冬至日正午时的太阳高度角，h1,h: 优学嫌说的温31 3三角函数的计算 22 3+2√2 3+22 =1.A2.B3.C4.A 3-223-2√2(3-2√2)(3+22)3-(2√2) 5.解：(1)simA=0.352,∠A≈21. 3+2W2 9-8 =3+2√2. (2),tanA=0.1890,.∠A11° 6.C 7.sin 8.D (2)2cos45·sin45°-2sin30°·tan45+√6·tan60 9.∠B<∠Y<∠a =2x号×号-2xx1+5× 1 10.8.1 11.解：如图所示，连接GE.,DE⊥AB且EF∥AB =1-1+3W2 .EF⊥GD,则GE⊥EF,GD=GE十ED. 在Rt△GEF中，∠GEF=90°，∠GFE=62°，EF=0.4m， =3√2. ∴.GE=EF·tan62≈0.752m. 4.D5.C6.A 在Rt△EDM中，'∠EDM=90°，∠EMD=30°，EM= 7.解：由题意，可得BC+AC-45+4-（23+2D(m, 1m, 2 ∴.AC=25m ED-2EM-0.5 m,GD-GE+ED~1.3 m. _BC25 答：此时滑雪爱好者头部G到斜坡AB的距离约为1.3m 在R△ABC中，”tana=AC25-3 .∠a=30° 8.D9D10.C1.B12.6-2 4 13.解：延长CA,DB交于点P. :∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD, ∠ACD=60°，∠ABP=60. 12.解：(1)如图所示.，AB=0.75m,.DF=0.15m. 在△CDP中，∠ACD品 :斜坡AC的坡比为1￥2，“.CD=2DF=0.3m. PD=CD·tan∠ACD=503×5=150(m).'在 R△PAB中，a∠PBA-沿PA=AB:nn∠PBA E CD (2):AB=0.75m,斜坡AC的坡比为1：2， 1 ∴.CB-2AB=1.5m,∴EB-DE+BC-CD-3.75m. 30V月XV月=90(m),Sg边蒂AeD8=S△epp-S△An=乞× 在R△AEB中，amE=铝-875-号 EB3.75-5 50v3×150-2×303×90=24003(m) ∠E11° 答：这块土地的面积为2400√3m2. 答：所铺设通道的坡角不得小于11. 14.解：【初步尝试V3 3 1B.解：过点D作DF⊥BC于点E.由已知得BD=5× 60 3 ,10 【实践探究】：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 1km),AD=3×600.5(km. AB=√AC+BC=√2+1下=5. 在Rt△BFD中，DF=BD·sin15°≈0.2588(km),BF 如图①所示，延长CA至点D,使得DA=AB, BD·cos15°≈0.9659(km).在Rt△ADE中，DE=AD· .AD-AB-5, cos20°≈0.4699(km),AE=AD·sin20°≈0.1710(km), .∠D=∠ABD, ∴.AC=AE+EC=AE+DF≈0.1710+0.2588=0.4298 ∴∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+5, 0.43(km), BC=BF+CF=BF+DE0.9659+0.4699=1.4358 an(∠BAc)=anD=BC 1 W5+2 =5-2. 1.44(km). 答：山高约为0.43km,A,B两点间的水平距离约 为1.44km. 14.解：【任务探究]任务1：由公式得51=15X2.8-1.2 tan a ∴.tana=0.8. ① 2 任务2：由题意得AF=BC=32m, 【拓展延伸】如图②所示，作AB的垂直平分线交AC于点 E,连接BE,则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE. 在△AFC中，AB=FC-uAo-32厅≈5,36（m. :在R△ABC中，∠C-90°，AC-3,tanA=3 在Rt△EFC中，EF=FC·tan15.75°≈15.61(m), .AE=15.61+32≈47.6(m), ∴.BC=1. 即该小区二期新建的大厦高度约为47,6米 设BE=AE=x,则EC=3一x, 【成果与反思】 .5 在R△EBC中，x2=(3-x)2+1,解得x=3 由最小楼间距d= 47.6-1.2=58>55.36, 0.8 即AE=BE=号，EBC=专 4 ,二期房屋存在违规建设 设应拆除x层，而每层高为47.6÷17=2.8(m), BC 3 tan2A=tan∠BEC-CE4 则4.6-2.8x-1.2≤55.36. 0.8 3 化简，得2.8x≥2.112. 11.解：(1)a2+c2-2 aceos B a2+b2-2 abcos C :x为正整数，x至少为1，至少需要拆除一层. 4解直角三角形 (2)ea+-2abcos Ca5=2.c0sC5 5 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,AB=23, d-5+2-2x5x2x9, 即c2=5, ∴.BC=√(25)8-(6)3=√ “anA-BC=6 解得c1=5,c2=一√5（舍去） AC6 =1, c=5. .∠A=45, 专题二 解直角三角形的六种常见类型 .∠B=90°-∠A=90°-45°=45° 3.A 哈 4.解：(1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30 2.解：在Rt△ABC中，BC=√AB-AC=√13-12=5， 由加日-名得6一a细B-m矿A后 ∠BAC-器-吕过点B作BE LMC.是是E,如图 由mB-号得c一B 4 cos Bcos 608. 所示.∴.BE=BC·sin∠BCE=BC·sin∠BAC=5X 525 (2)∠B=90°-∠A=90°-60°=30 13-3 由sinA=g,得a=c·s血A=(2+5)x5 =5+2 3 2 由aA-名得6-c·csA-2+同X71+停 5.A6.C7.C8.2i 20 M E 9.2√5或45或6解析：本题需分情况讨论：如图①所示，当 3.(1):AD⊥BC于点D, 点P在线段AC上时，：∠ABP=30°，若∠BCA=60°，则 ,△ABD和△ACD均为直角三角形. ∠ABC=30°，此时点P与点C重合，不符合题意， 在Rt△ABD中，∠B=45°，BD=2√5， ∴∠ABC=60°，∠ACB=30°.BC=6,AB=3,AC=3V3.在 i∠B品 R△BAP中，n∠ABP-福AP=ABam30=3X号 AP ,.AD=BD·tan∠B=2√5·tan45°=23. 5,∴.CP=AC-AP=33-√3=23 在Rt△ACD中，AD=23,DC=2, imc-0-9-6, ∠C=60°， (2)在R1△ACD中，AD=2/3,DC=2, 由勾股定理得AC=√AD+CD=4. D 2 点E,F分别为AB,BC的中点， 如图②所示，当点P在线段CA的延长线上且∠ABC=60°时， '.EF是△ABC的中位线， 易知AB=3,AC=3√5.又：∠ABP=30°，∴AP=5. ∴EF=2AC=2 .CP=AC+AP=3√3+√3=43： 4.B5.A6.A 如图③所示，当点P在线段CA的廷长线上且∠BCA=60° 时，∠ABC=∠ABP=30°，∠BAC=90°，.∠C=∠P, 4(24 BC=BP.∠C=60°，△CBP是等边三角形， 8.解：(1)设AC=3m. ,.CP=BC=6.另外，若，点P在线段AC的延长线上，无法 满足∠ABP=30°，故此类情况不存在. BD=4,BC=CD+BD,∠C=90,sin∠ABC= 5,tan 10.解：如图所示，过点C作CO⊥DE于点O. ∠DAC-号， ∴.CD=2m,∴4m=2m十4，解得m=2,∴AC=3m=6. (2)作DE⊥AB于点E,如图所示.由(1)知，AB-5m-10, AC-6.BD-4.AB DE_BD AC,.10X DE_4X6 2 2 2 21 A B 新得DE=号：AC=6,an∠DAC=号CD=4 ,'∠CDE=45°，CD=1.2米，.CO=CDsin∠CDE=CDX ∴AD=√6+4=2√13， sin45=32米.AB=MN+C0+FG,÷FG=3-1.8 5 AE=AD-DE-√2-（号- 3-(停-3号）米.FGe1.2-0.8484=.316米. DE 5 6 0.3516米=35.16厘米.，35.16<40，.小茗妈妈不能把 ,',tan∠BAD= 3417 包裹从右侧车门取出.