第1章 2 30°，45°，60°角的三角函数值-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

230°，45°，60°角的三角函数值（答案2 通基础 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 知识点130°，45°，60°角的三角函数值的计算 知识点3特殊角的三角函数值的应用 1.(2024·济宁汶上模拟)在△ABC中，∠A= 6.小刚在距某电信塔10m的地面上（人和塔底 105°，∠B=45°，c0sC的值是( ) 在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是60°，则 A号 B C. 塔高为() D.3 A.103m B.5√3m 2.(2024·两丘夏邑期末)已知实数a=tan30°， C.102m D.20m b=cos60°，c=sin45°，则下列判断正确的 7.教材P11习题1,3T6变式如图所示，在高为 是() 2m,斜坡面与地平面夹角为a的楼梯表面铺 A.b>a>c B.c>a>b 地毯，楼梯宽2m,共需地毯的面积为(4√5+ C.b>c>a D.a>c>b 3.运算能力计算： 4)m2,则a为多少度？ 1)2cos230°-sin30 tan260°-4cos450 (2)2cos45°·sin45°-2sin30°·tan45°+ √6·tan60°. 焗国混淆特殊角的三角函数值 8.下列等式成立的是() A.sin45°+cos45°=1 知识点2由特殊角的三角函数值求角度 B.2tan30°=tan60° 4在△ABC中，若mA-+(osB-2}=0, C.2sin60°=tan45° 则∠C的度数是( ) D.sin30°2cos600 A.30° B.45 C.60 D.90 5.在△ABC中，若tanA=1,inB= 通能力>2232297929992297 2,则下列 判断中你认为最确切的是( 9.已知。为锐角，5in(a-20)=5 ,则 A.△ABC是等腰三角形 a等于() B.△ABC是直角三角形 A.20° B.40 C.60 D.80 10 忧十学课时通 10.(2024·合肥肥东期末)在△ABC中，已知 通素养 AD=2,DB=2,CD=23,且AD是高，则 14.探究拓展◆综合与实践：在学习《30°，45°，60°角 ∠BAC的度数为( 的三角函数值》一节时，小艺同学对一个角的 A.105 B.15 倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是 C.105°或15 D.15或60° 否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究 11.应用意识如图所示，小明要测量河内小岛B 【初步尝试】我们知道：tan60°= 到河边公路L的距离，在A点测得∠BAD= 30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC= tan30°= ·发现：tanA 50米，则小岛B到公路l的距离为( 2am分（填="或“≠。 【实践探究】在解决“如图①所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,求 D am分的值”这一问题时，小艺想构造包含分 A.25米 B.253米 的直角三角形，延长CA到点D,使DA- C.1003 3 米 D.(25+25√3)米 AB,连接BD,可得∠D=号∠BAC,问题即 12.阅读理解)一般地，当∠a,∠3为任意角时， 转化为求∠D的正切值，请按小艺的思路求 sin(a十B)与sin(a一B)的值可以用下面的公 式求得：sin(a十B)=sina·cosB十cosa· tan(号∠BAC)的值 sinB;sin(a-3)-sina·cosB-cosa·sinB. 【拓展延伸】如图②所示，在Rt△ABC中， 例如sin90°=sin(60°+30)=sin60°· cos30°+os60°，sm30=5×3+1×1 ∠C=90,AC=3,ianA-号请模仿小艺的 2 2+2×2 =1 思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A 类似地，可以求得sin15°的值是 的值. 13.如图所示，一块四边形土地，其中∠ABD= 120°，AB⊥AC,BD⊥CD,AB=30√3m,CD= D 503m,求这块土地的面积. 一九年级卡研数学的 1122k:FH=2:1. ∴.BD=√AB-AD=6. ∴.FH=2k, (2)BC=8,BD=6, ..AH-AF+FH-32k. .CD=BC-BD-2. 'EF∥CH, 在R:△ACD中，E为斜边AC的中点， .△AEF∽△ACH, ED-EC-AC. .AF AH-EFCH. ∴.∠C=∠EDC, ,22k:32k=k:CH ,CH=1.5k m∠Ec-mc-0-g-4 在△CFH中，m∠HCF铝-2号， 即∠EDC的正切值为4， 13.B tan∠CFE=tan∠HCF=2E 3 专题一 求锐角三角函数的 四种常用方法 15.解：0：mB-子可设AC=3,则BC-任 在R△ABC中，由勾殷股定理，得(3.x)+(4x)=5, 1.B2.C 解得x1=一1（舍去），x:=1, 3.解：(1)在Rt△ABC中，：∠C=90,AC=2,AB=3, .AC=3,BC=4.,BD=1,.CD=3. .BC=VAB-AC=√3-2=5 在R△ACD中，∴AD=√CD+AC=32. (2)在Rt△ABC中，，∠C=90°，AB=3,BC=5, (2)解法1：如图①所示，过点D作DE⊥AB于点E, 加4-船-5 :anB=子，可设DE=3y,则BE=4 4.解：在Rt△BCD中，，CD=3,BD=5, 在Rt△BDE中， ∴.BC=BD-CD=5-3=4. 由勾股定理，得(3y)+(4y)2=1, 又AC=AD+CD=8, 解得=一号窗去)-号D优-是 ∴AB=√AC+BC=8+下=45， DE BC 45 nA455oA-ABW6方， '.sin a-AD 10' BC 4 1 tan A-AC-82 5.B 6.22 E 7.解：如图所示，过点B作BF⊥AC于点F,则∠AFB B ∠BFC=90 D ① 解法2：如图②所示，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于 点E BF 12 在R△BFC中，anC=CF=亏 设BF=12k(k≠0)，则CF=5k,由勾股定理，得(12)十 (5k)°=21， B 解得太-得（负数合去.测F-得CF- 10564 .∠BED=90°，∴.∠BED=∠ACD 父AC=13.AF=13-g=3 :∠BDE与∠CDA是对顶角， 在Rt△AFB中，由勾股定理，得 .∠BDE=∠CDA,.△BDE∽△ADC, AB=√)+() =20. 腰 .在R△ACD中，∠C=90°，AD=32, 252 在R△AFB中，sinA=AB=20-6 BF1363 A、.BE=GBE=2,∠BED=9O, 2 8c910A1. BE2√2 ∴sina= AB=5=10 12.解：(1)，AD⊥BC, ·△ABD和△ACD是直角三角形. 230°，45°，60°角的三角函数值 在R△ABD中，mB=号AD=8 1.C2.B 2× 品台 3.解：1)2cos30°-sin30 tan260°-4cos45 3-4x号-28 .AB=10, 31 3三角函数的计算 22 1 3+2√2 3+22 =1.A2.B3.C4.A 3-223-22(3-2√2)(3+22)3-(22) 5.解：(1)simA=0.352..∠A≈21 3+22 9-8 =3+22 (2)anA=0,1890,.∠A≈11， 6.C 7.sin 8.D (2)2c0s45·sim45-2sin30°·tan45°+√6·tan60 9.∠3<∠y<∠a -2x号×号-x×1+5x 1 10.8.1 11.解：如图所示，连接GE,,DE⊥AB且EF∥AB =1-1+3√2 .EF⊥GD,则GE⊥EF,GD=GE+ED. 在Rt△GEF中，，∠GEF=90,∠GFE=62,EF=0.4m =3√2. ∴.GE=EF·tan62≈0.752m. 4.D5.C6.A 在RI△EDM中，∠EDM=90,∠EMD=30°，EM= 7.解：由题意，可得C+AC-43+=25+2(m. 1m. 2 ∴.AC=2w3m. ED=EM=0.5 m..GD-GE+ED~1.3 m. BC 23 答：此时滑雪爱好者头部G到斜坡AB的距离约为1.3m 在R△ABC中：tana-AC253 G ∴.∠a=30° 8.D9D10.C11.B12.6-2 4 13.解：延长CA,DB交于点P. :∠ABD=120,AB⊥AC,BD⊥CD, ∴.∠ACD=60,∠ABP=60°， 12.解：(1)如图所示.：AB=0.75m,∴DF=0.15m ,斜坡AC的坡比为1：2，.CD=2DF=0,3m, 在△CDP中，n∠ACD-品 .PD=CD·tan∠ACD=50V3×3=150(m).:在 E R△PAB中，an∠PBA-B PA=AB·an∠PBA GD (2),AB=0.75m,斜坡AC的坡比为1：2， 1 .CB=2AB=1.5 m...EB=DE+BC-CD=3.75 m. 30,/EXy月=90(m),Sa8Mm=SAan-SaAr=交× 1 在△AB中，mE-裙-公得 50,5X150-z×305×90=24003(m. .∠E11° 答：这块土地的面积为2400√3m, 答：所铺设通道的坡角不得小于11， 14.解：【初步尝试】3 3 1B.解：过点D作DF⊥BC于点F,由已知得BD=5× 60 3 【实践探究】'，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 1(km).AD-3x0.5(km). AB=√AC+BC=√2+1=5. 在Rt△BFD中，DF=BD·sin150.2588(km),BF 如图①所示，延长CA至点D,使得DA=AB, BD·cos15≈0.9659(km).在Rt△ADE中，DE=AD· ..AD=AB=V5. cos20°=0.4699(km),AE=AD·sin20°≈0,1710(km), .∠D=∠ABD, .AC=AE+EC=AE+DF0.1710+0.2588=0.4298 .∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+5, 0.43(km), m(侵∠BAC）=mD=BC,=5-2. BC=BF+CF=BF+DE0.9659+0.4699=1.4358 5+2 1.44(km). & 答：山高约为0.43km,A,B两点间的水平距离约 为1.14km 14.解：【任务探究】任务1：由公式得51=15X2,8-1.2 tan a ,tana=0.8. ① 任务2：由题意得AF=BC=32m, 【拓展延伸】如图②所示，作AB的垂直平分线交AC于点 AF E,连接BE,则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE. 在Rt△AFC中，AB=FC= an30=32,3≈55.36(m). :在R△ABC中.∠C=90,AC=3.mA=了 在R1△EFC中，EF=FC·tan15.75°≈15.61(m), .AE=15.61+32≈47.6(m), ∴.BC=1. 即该小区二期新建的大厦高度约为47.6米， 设BE=AE=r,则EC=3-x, 【成果与反思】 在R1△EBC中，x=(3-x+1,解得x=3: 5 由最小楼间距d= 47.6-1.2=58>55.36, 0.8 即AE=BE=号，BC-言 .二期房屋存在违规建设。 设应拆除x层，而每层高为47,6÷17=2.8(m), 六m2A=m∠BC-鉴-是 则47.6-2.8r-1.2≤65.36， 0.8 3