第27章 数学活动&本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（人教版）

数学活动(答案P21) 1.(2024·信阳息县模拟)综合实践活动中,某小 时测得小亮到平面镜的距离CP为4米,已知平 组利用直角尺和皮尺测量律筑物AB和CD 面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮 高,因为这两栋建筑物高度相同,于是这个小 眼睛到地面的距离DC为16来,C,P,B在同 组设计出一种简捷的方案,如图所示: 一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你 (1)把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的 帮小亮计算出塔的高度AB 地面上,调整位置使直角尺的两边EM,EN所 在直线分别经过建筑物外立面的顶部A和C (2)用皮尺度量BE和DE的长度。 (3)通过计算得到建筑物的高度,若示意图中 点A,B,C,D,E,M,N均在同一平面内.测 得BE-9m,DE-36m.请求出这两栋建筑 的高度. 3.(2024·武威三模)如图所示,在网格中,每个 小正方形的边长为1个单位长度,AB是以格 点(网格线的交点)为端点的线段,O是网格中 一格点. (1)将线段AB绕格点O顺时针旋转90{},得到 线段CD(点A,B的对应点分别为点C,D). 画出线段CD. (2)以格点O为位似中心,在格点O的另一侧 将△OAB放大为原来的2倍(即相似比为2; 1).得到△OA.B,画出△OA.B.,并直接写出 △OAB.的面积 2.(2024·逆州右玉期末)【学科融合】如图①所 示,在反射现象中,反射光线,人射光线和法线 都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别 位于法线两侧;反射角,等于人射角7.这就是 乎的反射定律 人射光线 法线 反射光线 反射面 P 光的反射定律 B ① 【问题解决】如图②所示,小亮在湖对面P处放 置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站 在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此 本章综合提升(答案P22) 本章知识归纳 如果两个三角形的 相等,对应边的 相似图形 一形状相同的图形叫做相似图形 相等,我们就称这两个二角形相似, 定义 其中对应边的比叫做这两个相似三角形的 相似比 两个 相同的多边形,如果它们 的__分别相等, 成比例。 定义 平行于一角形一边的点线和其他两边相 那么这两个多边形叫做相似多边形 交,所构成的一角形与原三角形相似 一边 的两个三角形相似 相似多边形的成比例。 ___相等 判定 两边成比例目 相等的两个三角形相似 相似多边形的周长的比等于相似比 相似多 相似三 方法 两角分别和等的两个三角形和似 性质 边形 角形 相似多边形的 的 一个 对应相等的两个直角三角形相似 比等干相似比的平方 两组直角边成比例的两个点角三角形相似 斜边和一条直角边成比例 和似比--相似多边形对应边 的两个直角三角形相似 的比叫做相似比 相似 相似二角形对应高的比等于相似比 相似一角形对应中线的比等干相似比 基本事实:两条直线被一组平行 性质 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 线所戴,所得的_ 成比例 相似三角形周长的比等干 平行线分线 推论:平行于一角形一边的直线 相似三角形而积的比等手 截其他两边(或两边的延长线). 段成比例 所得的对应线段成比例 定义 对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平 行(或在同一条直线上)的两个相似图形位似 位似 图形 性质:位似图形具有相似图形的所有性质 思想方法归纳 >>>>>> (2)当DQ的长为多少米时,△APQ的面积为 1600平方米. 1.方程思想 .链接本章 在求线段的长或某图形的周长或面积、 相似三角形中的动态问题等时,经常要根据 相似三角形的对应边的比相等,列方程 求解。 .. ...... 【例1】 (2024·沧州一模)如图所示,互相 垂直的两条公路AM,AN旁有一矩形花园 ABCD,其中AB=30米,AD=20米.现欲将其 扩建成一个三角形花园APQ,要求P在射线 AM上,Q在射线AN上,且PQ经过点C (1)当DQ=10米时,求△APQ的面积 一九年级,下册·数学: 【变式训练1】 (2)若/CME-45”.求MC的值. ME 探究拓展如图①所示,在△ABC中,AB= AC=5cm,BC=8cm,点 E,F分别从B,C两 点同时出发,其中点E沿BC向终点C运动,速 度为2cm/s;点F沿CA:AB向终点B运动:速 度为2cm/s,设它们的运动时间为xs. (1)当x一1时,求EF的长. (2)如图②所示,ADIBC于点D,交EF于 点N,连接DF.求x为何值时,△EFC和 △ACD相似. 【变式训练2】 如图所示,点A,B,C,D在一条直线上,CE 与BF交于点G, A= 1,CE/DF (1)求证:E一F. (2)若AB:BC:CD-2:2:1,求出 SeccpF的值. 2.转化思想 Sm边形ABGF 在研究数学问题时,我们通常是将未知的问 题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单 的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实 际问题转化为数学问题,我们也常常在不同的数 学问题之间互相转化,最终转化为有迹可循,容 易解决的问题 -链接本意 我们一般把要证明的结论或求解的结 果转化为三角形的相似问题,通过三角形相 似解决问题. 【例2】 如图所示,在正方形ABCD中,点 M是对角线BD上一点,连接AM并延长交BC 于点E,连接CM. (1)求证,AM一CM 3.分类讨论思想 -链接本章 在说明两个三角形相似时,如果题目所 给出的对应元素不确定或方法不确定,那么 A.1:2 要注意分类讨论解答,以免漏解, B.1:4 C.2:1 D.4:1 【例3】将三角形纸片(△ABC)按如图所 2.(2024·济南商河期末)如图所示是小明的一 示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点 张书法练习纸,练习纸中的竖格线都平行,且 B$',折痕为EF.已知AB=AC-3,BC-4,若以 相邻两条竖格线间的距离都相等,同一条直线 点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求 上的三个点A,B,C都在竖格线上.若线段 BF的长度. AB-3.2cm,则线段BC的长为( ) C A.6.4cm B.8cm C.9.6cm D. 12.8cm 3.(2024·石家庄新华区模拟)在一张复印出来 【变式训练3】 的纸上,一个三角形的一条边由原图中的2cm 推理能力如图所示,在矩形ABCD中 变成了6cm,则复印出的三角形的面积是原图 中三角形面积的( AB=10cm,AD=20cm,两只小虫P和Q同时 ) A.3倍 分别从A,B出发沿AB,BC向终点B.C方向前 B.6倍 C.9倍 进,小虫P每秒走1cm,小虫Q每秒走2cm,当 D.12倍 小虫P到达点B时,两只小虫停止运动,请问它 4.(2023·滩坊临胸期末)如图所示,在平面直角 们同时出发多少秒时,以P,B,Q为顶点的三角 坐标系中,有两点A(4,2),B(3,0),以原点为 形与以A,C,D为项点的三角形相似 段AB',正确的画法是( _) 通模 (_ 1.(2024·张家口张北开学)如图所示,在边长为 1的正方形构成的网格中,四边形ABCD和四 _二 边形EFGH的相似比是( C 一九年级,下航:数学:短 5.(2024·苏州姑苏区期末)如图所示,在正方形 8.(2024·南京玄武区期末)如图所示,点O,0分 ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的 别是△ABC,△A'B'C'的外心,连接OC,O'C'. AB 延长线分别交AD干点E,E,连接BD.DP OC AB-OCA-A',求证:△ABC BD 与CF相交于点H,给出下列结论; △ABC'. ①△BDEo△DPE;② PH PH·PB,其中正确的是( _~ A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 6.(2024·大庆肇源期中)如图所示,已知AD是 △ABC的中线,E是AD上一点,AE -AD,BE的延长线交AC于F,则 为 7. 几何直观如图所示,在△ABC中,点D,E分 别在边AB,AC上,AED=B,AG平分 BAC,线段AG分别交线段DE,BC于点 F.G. 通中考 (1)写出图中所有相似的三角形 (2)从(1)中选出一对相似三角形加以证明. 9.(2024·连云港中考)下列网格中各个小正方 形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁,其中是相似形的为( ) _ _ .1. 乙 丙 #. A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 70 10.(2024·河南中考)如图所示,在ABCD中 15.(苏州中考)如图所示,△ABC是O的内接 对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中 三角形,AB是O的直径,AC=/5,BC 点,EF/AB交BC于点F.若AB-4,则EF 2./5,点F在AB上,连接CF并延长,交C 的长为( ) 于点D,连接BD,作BE|CD,垂足为E. (1D)求证.DBE(ABC (2)若AF一2,求ED的长。 B.1 D. 2 11.(2024·云南中考)如图所示,AB与CD交于 点O,且AC/BD.若OB+OD+BD OA+OC+AC 1 2,则 AC BD _# 12.(2024·深划中考)如图所示,四边形ABCD. DEFG,GHIJ均为正方形,且S正方那ABcp= 10.S正形Gu-1,则正方形DEFG的边长可 以是 .(写出一个答案即可) { 13.(2024·眉山中考)如图所示,菱形ABCD的 边长为6, BAD=120{*,过点D作DE l BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交 BD,CD于点F,G,则FG的长为 #### 14.(2024·成都中考)如图所示,在Rt△ABC 中,C=90{*},AD是△ABC的一条角平分 线,E为AD的中点,连接BE,若BE一BC. CD-2,则BD一 第二十八章 锐角三角函数 大单元建构 定义 勾殿定理 正弦 解直角三角形 众炫 边角关系 两锐伯互余 锐角三角函数 边角之间的关系 正切 锐角三角函数 应用意识 运算能力 仰角与俯角 用计算器求一角函数值 坡度和坡角 三角函数的应用 方向角 测量物体的高度 特殊角的一角函数值 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角 儿何直观 三角函数解直角三角形 借助具体实例,通过操作、观察,得出直角三角形的图形特征,进而解决实际问题,积累从具体到 抽象能力 抽象的活动经验,从形的角度理解解直角三角形的概念,把握解直角三角形的本质特征,培养学 生养成一般性思考问题的习惯 运算能力 根据解直角三角形的有关概念及特殊角的三角函数值,求有关角的度数和线段的长度 推理能力 在解直角三角形的过程中,由已知条件求某条边或某个角的方法,以及求这些边、角的顺序往往 不唯一,学会如何选择较优的方法和求解顺序 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学 应用意识 生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯 模型观念 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,构造直角三角形的模型,利用解直角三角形解决简单 的实际问题,培养学生解决实际问题的能力将点B(a,4)的坐标代入y=-x+5. 9.1 得4=-a十5,解得a=1, .B(1,4). '$6LK-9.1(6+AK) b . EBC= $AKL=90$,$BEC= KEL, 1. '.△EBC△EKL. 解得-4, 6 .6+30+AKLK' 8.5 (2)设直线/与v轴交于点M,直线AB与x轴的 交点为N,如图所示. *.6LK-8.5(6+30+AK). C '.9.1(6十AK)-8.5(6+30+AK). 解得AK-419. 'AK的深度为419尺 数学活动 1.解:由题意,得AB|BD,CD1BD '. ABE= CDE-90 BEA+BAE-90”。 . MEN-90*, '.BEA+DEC-90{ 令y=-x+5-0,解得x-5...N(5,0) .BAE-DEC '.OA-ON-5. .△BAEo△DEC 又: AON=90*,:OAN-45 .·A(0,5),B(1,4). 'AB-(1-0)*+(4-5)-2. 设AB-CD=xm. 又.直线 是AB的垂线即 ABM=90{*} OAN-45*, '$AB=BM- $②,AM-AB{*+BM^{$-$$$$ 解得x一18(负值舍去) .M(0,3). 经检验,x一18是原方程的解. 设直线/的函数解析式为y一k:x十b. 答:这两栋楼的高度均为18m. 将点B(1,4),点M(0,3)的坐标代入y=kx+;$ 2.解:由光的反射定律得到: CPD一 BPA. #:t,-4,解得{## 1-1. .DC,AB均垂直于CB: 得 b-3, 1b.-3. ' DCP- ABP-90* '.直线/的函数解析式为y一x十3 '.△DCPo△ABP, '.DC:AB=PC.PB, 设点C的坐标是(t,t十3). *.1.6:AB-4:247.5. ..Sac- ..AB-99米. 5.(x.,x。分别代表点B与点C的横坐标) 答:塔的高度AB是99米. 解得1一一4或6, 3.解:(1)如图所示,CD为所作. 当t--4时,t+3--1. (2)如图所示,△OA.B,为所作 当1-6时,7十3-9, .点C的坐标为(6,9)或(一4,-1). (3)点P的坐标为(-1.11),m的值为3. 特色素养专题(一) 传统文化专题 1.D 2.C 3.B 4.B 5.1255 6.(1)42(2)27-2 7.解:'$ $GAH= $AKL=90$*}. $ $AGH$=$ $$$G$L, ..△AGHC△KGL. 21- 本章综合提升 (2)当点F在AC上,点E在BD上时; 【本章知识归纳】 ①由题意,得BE-CF-2x cm,则CE=(8- 边数 角 边 对应边 对应角 面积 对应线段 2x)cm. #当ECAO 对应角 比 成比例 夹角 锐角 相似比 相似比 .CF CD 时,△CFE△CDA, 的平方 2x二 【思想方法归纳】 16 【例1】解:(1):DC//AP,△QDC△QAP, g 0 ②当CF CD .CF CA 时,△CFEo△CAD. 0 2x_ 5 ,解得, 20 9 解得AP-90米. 当点F在AB上,点E在CD上时,△EFC不是直 角三角形,不存在△EFC与△ACD相似, $.S△r--AQ·AP-1350平方米. 综上所述,当x二 16 9 时,△EFC和△ACD (2)设DQ=x米,则AQ=(x十20)米. .DC//AP...△QDCo△QAP, 相似. 【例2】解:(1)证明:·四边形ABCD为正方形, 'AD=CD, ADM= CDM=45* 30 2 在△ADM和△CDM中. .一 “x+20AP (AD-CD, 30(x十20) ADM=CDM...△ADM△CDM(SAS) .AP 2 DM-DM. 30(x十20) X(x+20)-1600 .AM-CM 2 (2):△ADM△CDM...AMD=CMD 化简,得3x*-200x+1200-0. . CME=45*,..AMC-135*。 20 解得x一60或x- .. AMD- CMD= 3 2<AMC-67.50。. 20 经检验:x-60或x二 是原方程的根. :ADM= CDM=45*.' DAM= DCM 3 67.5”, 20 . DMC= DCM=67.5*,..DC=DM 1600平方米 设正方形的边长为a, 【变式训练1】 则AB=CD=DM-a,由勾股定理,得BD=/②a 解:(1)如图所示,过点A作AD|BC于点D,过点 ..BM-BD-DM-(/2-1)a. F 作FG |BC于点G,则FG/AD ·四边形ABCD为正方形,..ABM一45^{*, '.ABM- CME-45* : MAD= MCD,BAD= BCD=90{$ .. BAM= BCM,..△ABMCo△CME, .BMME.MEV2-1)a_2-1. 根据题意,得CF=BE-2cm,AB=AC-5cm. BD=CD=4cm.'AD= AC*-CD-3cm. 【变式训练2】 .FG//AD...△FCG△ACD. 解:(1)证明::CE//DF..BCG-D CG 2 A-1,E-F 6 cm,CG= 5 (2):AB:BC:CD-2:2:1. oln .'.AC:BD-4:3. cm. .BCG=D.A=1..△AEC△BFD. 9: 设Sacr-16x,则Sapr-9x. $EF-EG+FG2V130 5 cm. : 1= A..'BG//AE..△CBGC△CAE. 22 (# ()#H-1.# 8.证明:连接OA,OB,O'A',O'B',如图所示. .点O,O分别是△ABC,△A'B'C'的外心. '$A=OB=OC,O'A'=O'B'=O'$'$ .S△cng- OC .Sm选mAncr-16x-4x-12x, #A0O0 OA Sw选ccpr=9x-4x-5x, OB S选形ccpr 12x12 ..△OAB△O'A'B'. 【例3】解:根据△B'FC与△ABC相似时的对应关系, . AOB- AO'B’. “.ACB- 1 AOB,乙A'CB'- 有两种情况: {AOB, ①△B'FCC△ABC时,AB BC B'F CF .ACB- A'C'B'. .BAC- B'A'C' $又.'AB=AC-3,BC=4.B'F=B$F$ .△ABCo△A'B'C'. 12 ,解得BF一 3 4 7 ②△B'CF△BCA时,BA CA' B'F CF .AB-AC-3,B$C=4,BF=B'$F$ ,解得BF-2. 【通中考】 3 12.2(答案不唯一) 【变式训练3】 4/7 13. 解:设经过x秒后,以P,B,Q为顶点的三角形与 14.1+17 5 2 以A,C,D为顶点的三角形相似 15.解:(1)证明:·AB为⊙O ①当△PBQco△CDA时, 的直径, 由于PBQ= ADC-90*, . ACB-90”. .PBBQ .BE1CD, .BED-90. 即10-2x 20,解得x-5. .·BC所对的圆周角为 10 之BDE和BAC, ②当△QBPo△CDA时, ./BDE-BAC 由于 PBQ= ADC-90*, .△DBECo△ABC. PB BQ (2)如图所示,过点C作CG1AB,垂足为G. .' ACB=90*,AC-$5,BC=2 $ ,解得x-2. *.AB-AC*+BC*-5. 故经过5秒或2秒时,以P,B,Q为顶点的三角形 与以A,C,D为顶点的三角形相似 【通模拟】 $.CG-2,AG-$AC-CG-1. 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6. .AF-2..'.FG=AG-1. .AC=FC. CAF= CFA= BFD- BDF$$ 7.解:(1)①△ADE△ACB. '$BD=BF=AB-AF-5-2-3 .△DBE△ABC..BDAC' ②△ADFCo△ACG,③△AEFo△ABG BD DE (2)证明:①·: BAC- EAD, AED= B .△ADEo△ACB. 35 ..ED一 ②:△ADE△ACB,AG平分 BAC .ADF- C. DAF= CAG. 第二十八章 锐角三角函数 .△ADFo△ACG 28.1 锐角三角函数 ③:△ADECo△ACB,AG平分 BAC 第1课时 正弦 . AEF= B, EAF= BAG, 1.B 2.C 4.25 '.△AEFCo△ABG. 2 23