27.2.2 相似三角形的性质-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（人教版）

27.2.2相似三角形的性质（答案P14) 通基础 知识点2相似三角形周长的比等于相似比 5.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两 知识点1相似三角形对应线段的比等于相 个三角形对应边的比是() 似比 A.1:2 B.1:4 1.(2024·绍兴嵊州期末)如图所示，△ABCC0 C.1:8 D.1:16 △ABC1,AD,A,D1分别是∠BAC, 6.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的点， ∠BAC,的平分线，若侣-，则 -的 ∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ACD与 值是() △ABC的周长比是( 个 A.1:√2 B.1:2 B.E C.k D. C.1:3 D.1:4 2.若△ABCc∽△DEF,相似比为2：1，则△ABC 7.(2024·佛山顺德区期末)若△ABC∽ 与△DEF对应高之比为() △DEF,DE △ABC 2 的周长是8，则 A.1:2 B.2:1 C.4:1 D.1:4 △DEF的周长是() 3.如果两个相似三角形的两条对应边长分别 A.10 B.16 C.20 D.32 是20cm和25cm,其中小三角形一边上的中 8.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的 线长是12cm,那么大三角形对应边上的中线 周长分别为20cm和25cm,且BC-5cm, 长是 cm. DF=4cm,求EF和AC的长. 4.推理能力如图所示，Rt△ABCC∽Rt△DFE, CM,EN分别是斜边AB,DF上的中线，已知 AC=9 cm,BC=12 cm,DE=3 cm. (1)求CM和EN的长. (②)你发现兴的值与相似比有什么关系？得 到什么结论？ 46 优学案课时通 知识点3相似三角形面积的比等于相似比的 通能力 平方 9.有两个相似的三角形，已知其中一个三角形的 1B.-每多第若△ABC△DEF,且能-7 最长边长为12cm,面积为18cm2,而另一个 则AB+BC+AC 三角形的最长边长为16cm,则此三角形的面 'DE+EF+DF的值为( 积是() A.1:2 B.1:√2 A.22 cm2 B.24 cm2 C.1:4 D.16 C.30 cm2 D.32 cm2 14.(2024·保定满城区期末)若两个相似三角形 10.在如图所示的正方形网格中，△ABC和 的面积之比为9：16，则它们的对应高线之 △DEF的顶点都在正方形的格点处，则 比为() △ABC与△DEF的面积比为( A.9:16 B.4:3 A.2:1 B.2:1 C.3:4 D.16:9 C.5:2 D.5:2 15.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边 上的点D处，已知MN∥AB,MC=6,NC= 23,则四边形MABN的面积是() 第10题图 第11题图 AD 1 1.如图所示，在△ABC中，DE/BC,B-2,则 A.63 B.125C.185 D.24√3 △ADE的面积 16.已知△ABC∽△A1B1C1,△ABC的周长与 四边形BCED的面积 12.如图所示，在△ABC中，BC>AC,点D在 △AB,C的周长的比值是号，BE,B,B分 BC上，且DC=AC,∠ACB的平分线CF交 别是它们对应边上的中线，且BE=6,则 AD于点F,点E是AB的中点，连接EF.若 B1E1= 四边形BDFE的面积为6，求△ABD的 17.已知两个相似三角形对应高的比为3：10， 面积 且这两个三角形的周长差为560cm,则这两 个三角形的周长分别是 18.如图所示，点M是△ABC内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的 三个小三角形△1，△2，△：（图中阴影部分） 的面积分别是4,9和49，则△ABC的面积 是 一九年级卡渐数学 47 19.如图所示，在小正方形边长 通素养 均为1的4×4的网格中， △ABC是一个格点三角形. 22.(2024·杭州临安区二模)如图所示，在 如果△DEF,△GHI是该网 △ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC, 格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF BC上，连接DE,EF.已知四边形BFED是 的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那 平行四边形，C亏 DE 1 么的值等于 (1)若AB=15,求线段BD的长， 20.如图所示，在四边形ABCD中，E是AB上 (2)若△ADE的面积为3，求平行四边形 一点，EC∥AD,DE∥BC,若S△ADE=3, BFED的面积. S△BEc=1,求S△cDE:S△EC的值 21.如图所示，在□ABCD中，E是BC上的一点， 且BE:CE=1:2,AE交BD于点F,求： （8那的位 (2)△BEF与△ADF的周长比、面积比. 48 优学案课时通(2):△ABCC△ADE. A '.AC=/5或AC=-5(舍去). 17. A 解析:.四边形ABCD是矩形, ' A= AB$C=$D= $$D[CB= 0$$ . BAC= DAE=90{*,$$ . PCF=90*。 ..BAD- CAE. .'BE FF: ..△BAD△CAE. 'BEF-90*, .ABD- ACE. '$ABE+AEB- AEB+{DEP=90{ . /BAC-90*. '/ABF=/DFP 'ABD+ ACB-90*,$ .:AD/BC. . ACB+ ACE-90*$ .. DEP- F. . DCE=90{}. ' ABE= DEP= F,$$$ .DP-PE. #DE## '.△ABE△DEP△EFBC△CFP. ..Cp二 '.图中相似三角形有6对, .△ABCo△ADE. 18.解:(1)证明:'.AD/BC,AB1BC. 'AB1AD. A- B-90* ..AD的值最小时,DE的值最小,此时CP的值 最小. * ADE+AED-90{. ' DEC=90*.AED+ BFC=90^{*.$$ AB-3,AC-4. BAC-90* :ADE=BEC...△ADE△BEC. $BC=AB+AC= ③+4-5. (2).:△ADE△BEC. 根据垂线段最短可知,当ADBC时,AD的值最 .BE3 3 3×412 小,此时AD- 2. 5 5 .AB-AE+BE- 5 7 .DE- 3AD-4. 2 19.解:由题意可知,B-C- ADE-60{。$ .CP的最小值为×4-2. :ADC=B+ BAD, ADC= ADE十 13.证明:(1):AD-AF...ADF=乙F. CDE..BAD=CDE. VAE·CE=DE·EF.. AFFf .DECE: 又: AEF=DEC, 一,解得:-6, .△AFFCo△DFC. '.F= C.ADF=C 又:/DAE-CAD '.等边三角形ABC的边长为6. .△ADEo△ACD. 20.解:(1)证明:.四边形ABCD是正方形, (2)':AE·BD=EF·AF. .乙A- D-90*。 .AEB+ABE-90* .EF 1BE,. AEB+ DEF-90{, .AD=AF..AFEF '.ABE= DEF. .ADBD 在△ABE和△DEF中,ABE一DEF, .AEF= EAD十 ADE 乙A-乙D. ADB- EAD+C. '.△ABEo△DEF .AEF=ADB...△AEFC△ADB (2)当点E为AD的中点时,△ABE△EBF.理 .F= B.C- B. 由如下: .AB-AC. 14.A 15.6 16.解:(1)证明:. ACB=90*},CD1AB于点D. AE EF ' ADC- ACB-90*. 又:CAD-BAC. .△ACDo△ABC. (2)'ACD2△ABC, -AA# '.点E为AD的中点. 27.2.2 相似三角形的性质 1+4AC' 1.C 2.B 3.15 1 4.解:(1)在Rt△ABC中. 行 '.△ABC的周长与△DEF的周长之比为1:2 AB=AC+BC-g+12=15(cm). ..CM是斜边AB上的中线. 14.C 15.C 16.9 17.240 cm,800 cm 18.144 ..CM一 19.5 解析:由题图可知,AB=1^+1^}=②,BC= ..Rt△ABCoRt△DFE. 2.AC-③+1-10. 9 315 ·△DEF,△GHI是该网格中与△ABC相似的格 .FN为斜边DF上的中线, 点三角形,且△DEF的面积S 最大;△GHI的面 积S。最小,根据题意可作出△DEF与△GHI,如 .'EV一 图所示。.DE=1+2=,DF=1+3^= .CM 7.5 3 AC93 V10.FE-③+4-5.: .DE EF DF (2). .ABACBC ② &.相似三角形对应中线的比等于相似比. 5.B 6.B 7.C T0 ..△DEFo△BAC. 2 8.解:;相似三角形周长的比等于相似比, .S△Df ②,GI- 5,且△HGIc△BAC, .EF- Suil (1)## , 1 AC 204 同理可得DC25 SA S.p-1:2:5. 综上所述: _×4- 5.-5. )(.m). 16 5 cm. 9.D 10.D 11. 1 12.解:.:CF平分ACB. .ACF-DCF 又·DC-AC...CF是△ACD的中线. 20.解:':EC//AD,DE//BC,. ADE=DEC '点F是AD的中点. ECB.AED=EBC..△ADE△ECB. ·点E是AB的中点.*.EF/BD,即EF/BC DE ③ ·DE//CB,..△CDE与△EBC的高相等 #AE-AB, 1 B=v3. S△Arr-S△ABp-S边apre-SAao-6. 21.解:(1)在二ABCD中,.AD=BC. AD/BC :△BEF△DAF.. BFBF SAno .ADDF: 又':BE:CE-1+21. B AD3' 即△ABD的面积为8. .BE BE 1 13.A 解析:方法1: .BF 3: 行A (2).△BEFCo△DAF. △ADF的周长DF-3' 年A '$EF=2BC,DF=2AC,DE-2AB.$$ AB+BC+AC 方法2: 22.解;(1)·四边形DEFB是平行四边形; AB1 ..DE/BF. .△ADEo△ABC. 15 -AA AB 8 ...AB=4米. ,AB-15. 答:遮雨玻璃的水平宽度AB为4米. 10.C 11.26米 12.11.2 .AD-3. 13. 10 3 .BD-12. 解析:设栽出的四条长方形纸条的宽度为 .DE AD 1 x cm. . ·镶边后的正方形EFGH的面积是400cm^}. '.正方形EFGH的边长EF=20cm. 4 心我出的四条长方形纸条的长度之和的最小值是 ·四边形DEFB是平行四边形, 4(20-r)cm. ..DE/BF,BD/EF. .ADE=B-EFC, AED= C. 如图所示,设点M,N ..MN/BC. .△ADE△EFC, S△AD一 .△AMNCoABC. /AD) 1 NA CF/ .△ADE的面积为3. .Src-48. .AB-BC-25cm. AM-AB-BM-(25-x)em. .△ADE2△ABC. .MN-(25-x)cm. 25 即栽出的最长的长方形纸条的长为(25一x)cm. '.同理;另外三条的长分别为(25一2x)cm,(25 .S-75. 3.x)cm.(25-4.x)cm. ·.平行四边形BFED的面积-75-48-3-24 根据题意,得(25一x)十(25-2x)+(25-3x)十 27.2.3 相似三角形应用举例 (25-4x)-4(20-x). 第1课时 相似三角形应用举例(1) 1.C 2.C 3.C 4.0.2 5.C 6.C 7.2 8.25 解得:10 3 9.解:方法一:如图所示:许接AE,则点A,E,P共线 14.解:如图所示,设点O,延长AB交EP的反向延长 过点E作EIIAC于点I,延长PM交AC于点1. 线于点H, 交ED于点K. 则四边形BDEH是矩形, 则四边形KEII,DEIC,DNMK,MNOP都是矩 '.BH=DE=1.25米,BD/EH. 形,..IE-JK-CD-8来, '.AH-AB+BH-AB+DE-1+1.25-2.25(米). KM-PM-DN-NQ-2米. .BD/OH...△ABDCo△AHO. .IE/PI.AEI-EPK. .DBAB 2 _⊙ 1 “:AIE= EKP-90*,.△AEI△EPK ·.PM-PN,MF-2.5米,FP-1.25米. A .'.PN-MF+FP-3.75米. AB -2..AB-4米. .AHIEP.PN IEP, 2 .AH/PN...△AHO△NPO. 答:遮雨玻璃的水平宽度AB为4来。 方法二:连接AE,则点A,E,P共线 由题意知,CD-8米,DN-2米,NQ=PM-2米 .P0-7.5米, *PE-P0+0E-7.5+(4.5-2)-10(米) 答:河宽EP是10米. 15.解:如图所示,过点N作NT BC于点T,则四边 形ABTN,四边形CDNT都是矩形,设AB= 16