27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（人教版）

第3课时相似三角形的判定定理3（答案P12) 通基础> 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为BC 上一点，连接DE,AE,F在线段DE上且满足 知识点1利用两角判定两个三角形相似 ∠AFE=∠ADC,求证：△ADF∽△DEC. 1.如图所示，在下面图形中，点D在直线AB上， 点E在直线AC上，若∠1=∠2，则不一定有 相似三角形的是( 2.(2024·成都锦江区模拟)如图所示， ∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件，使得 △ADE∽△ABC,则下列选项不成立的 是() 知识点2直角三角形相似的判定 A.∠D=∠B B.∠E=∠C 6.教材P36练习T2变式如图所示，在△ABC C.AD_AE D.AD_DE 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则下列说 ·ABAC AB BC 法错误的是( 第2题图 第3题图 A.△ACD∽△CBD 3.推理能力)如图所示，点D在边AB上，若 B.△ACD∽△ABC ∠1=∠ ,则△ADC△ACB. C,△BCD∽△ABC 4.结论开放◆如图所示，要使△ABC与△DBA D.△BCD∽△BAC 相似，则只需添加一个适当的条件是 7.在△ABC和△A,B,C1中，∠A=∠A1=90°， (填一个即可) 添加下列条件不能判定两个三角形相似的 是( AB AC A.∠B=∠B B.A:B:AiC AB BC AB AC C.A B: BC D.B:C A:C 一九年组下街数学利 39 8.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在 AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作 75 20 图痕迹判断，正确的是( ② A.都相似 B.都不相似 C.只有图①相似 D.只有图②相似 13.一题多解》如图所示，在△ABC中，AB AC=6,BC=8,点D,E分别在BC,AC边 9.如图所示，在矩形ABCD中，E为BC上一点， 上，且∠ADE=∠B.若△ADE是以DE为 DF⊥AE于点F,若AB=4,AE=5,AD=6, ) 则AF的长是 腰的等腰三角形，则BD的长为( A.2或3 B2或号 C3或号 D.2或4 10.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E 是边AC上一点，且BE=BC,过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D,求证： △ADE∽△ABC. 第13题图 第14题图 14.如图所示，BD是Rt△ABC斜边AC上的 高，DE⊥AB于点E,则图中与△ABC相似 的三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.学科触合)如图所示，已知过点P(4,3)的光 线，经x轴上一点A反射后的射线过点 Q(0,5).则点A的坐标是 惜固考虑问题不全面致错 D 11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3,4及x,那么x的值( A.只有1个 B.可以有2个 第15题图 第16题图 C.可以有3个 D.有无数个 16.如图所示，点E在线段AB上，CA⊥AB于 通能力》>9 点A,DB⊥AB于点B,AC=1,AB=5, 12.如图①、图②所示，根据图中所标注的数据 EB=2,点P是射线BD上的一个动点，则当 能够推得三角形I与Ⅱ相似的是( ) BP= 时，△CEA与△EPB相似 40 优十学播课阴道 17.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 通素养 AD⊥BC于点D,点O是AC边上的一点， 连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边 19.探究拓展在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 于点E.求证：△ABF∽△COE. 90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明 三角尺，使45°角的顶点落在点P,三角尺可 绕点P旋转. (1)如图①所示，当三角尺的两边分别交 AB,AC于点E,F时，求证：△BPE∽ △CFP (2)将三角尺绕点P旋转到如图②所示的情 形时，三角尺的两边分别交BA的延长线、边 AC于点E,F.△BPE与△CFP还相似吗？ (只需写出结论) (3)在(2)的条件下，连接EF,则动点P运动 到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说 明理由 18.几何直观)如图所示，在△ABC中，AB AC,∠A=36°，BD为∠ABC的平分线， DE⊥AB,垂足为E. (1)写出图中一对全等的三角形和一对相似 比不为1的相似三角形 (2)对(1)中结论加以证明. 一九年组下府数学财 41》MN的长为4或6. 10.证明：BE=BC,∴.∠C=∠CEB. ,∠CEB=∠AED,∴.∠C=∠AED. AD⊥BE,∠D=∠ABC=90°， ∴.△ADEO△ABC. 11.B12.D13.B 16.证明：BE=3,EC=6,CF=2, 14.D .BC=3+6=9. :四边形ABCD是正方形， 1s.(侵o .AB=BC=9,∠B=∠C=90° 8-88恶- 16号或6 解析：：CA⊥AB,DB⊥AB, ∴∠A=∠B=90°.又AB=5,EB=2,∴.AE= 设熙 AB-EB=3.①当△CAE∽△PBE时，SA .△ABEn△ECF. 17.解：AB与CD平行.理由如下： 能即而-郎得PB-号：@省△CAEn AE 已知，期部”号，0-引-号品 212AD 13 △EBP时，证-P,即2-BD,解得BP=6.综 CA AE 282 12-3' 上所速，当BP-号或6时，△CEA与△EPB ÷部80C△ABDABDC. 相似. 17.证明：，OE⊥OB,∠BAC=90°， ∴.∠ABD=∠BDC,∴.ABCD ∴∠BOA十∠COE=90°，∠BOA+∠ABF=90°， 18.解：(1)由题意，得AP=tcm,BQ=2tcm,则 ∴.∠ABF=∠COE. PB=(6-t)cm, AD⊥BC,∠DAC+∠C=90° ∴Sae=PB·BQ=号(6-)2a=(-+ 1 ,∠BAC=90°，∴∠BAF+∠DAC=90°， .∠BAF=∠C,.△ABF∽△COE. 6t)cm2. 18.解：(1)△ADE≌△BDE,△ACBP△BCD. 由题意，得-t2十6t=9,解得t1=t2=3, (2)证明：，AB=AC,∠A=36°， .当t为3时，△PBQ的面积为9cm2. .∠ABC=∠C=72°. (2)当△PBQ△ABC时，AB-BC, PB BQ ,BD为∠ABC的平分线， 即。-石解得1号 12 ∠ABD-∠DBC-2∠ABC-36-∠A. 在△ADE和△BDE中， PB BQ 当△PBQD△CBA时，BC-AB' ∠A=∠DBA, ∠AED=∠BED,,△ADE≌△BDE(AAS). 即g-号解得1-品 18 ED=ED, 综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是 ,∠C=∠C,∠DBC=36=∠A, 导品 ∴.△ACBP△BCD. 19.解：(1)证明：：在△ABC中，∠BAC=90°，AB= 第3课时相似三角形的判定定理3 AC,.∠B=∠C=45 1.C2.D3.B ,∠B+∠BPE+∠BEP=180°， 4.∠C=∠BAD(∠BAC=∠BDA或B BD AB ∴.∠BPE+∠BEP=135. BC ,∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF .AD∥BC, 又，∠B=∠C,∴.△BPE∽△CFP(两角对应相 ∴.∠ADC+∠C=180°，∠ADF=∠DEC. 等的两个三角形相似). ,∠AFE+∠AFD=180°， (2)△BPEC∽△CFP. ∠AFE=∠ADC, (3)动点P运动到BC的中点位置时，△BPE与 .∠C=∠AFD,∴.△ADFD△DEC. △PFE相似. 6.C 理由：同(1)，可证△BPE∽△CFP, 7.D8.C9.3.6 .CP:BE=PF:PE. 12 CP=BP, 综上所述，满足条件的P点坐标为(0,3)或(4,0) ..PB:BE=PF:PE. 又，∠EBP=∠EPF=45°， (?o ∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等9.解：(1)证明：：AD是△ABC的角平分线， 的两个三角形相似). ∴.∠BAD=∠CAD. 专题四相似三角形的基本模型 CE-AC,∴∠CAD=∠E,∴∠BAD=∠E, 1A2.c3号 ∴ABCE,.△ABDn△ECD. 4.4 5.解：，四边形ABCD是平行四边形， ②：△ABD△EcD,-2e-80 ∴.AD=BC,∠A=∠C 又：∠BFE=∠A, CE=AC=4号-0CD=2 ∴.∠BFE=∠C. .BC=BD+CD=1+2=3. 又，∠FBE=∠CBF, 10.证明：(1)，在等腰三角形ABC中，AB=AC, .△BFE∽△BCF. ∴∠ABC-∠ACB 既器 :CM⊥AB,BN⊥AC,.∠BMC=∠CNB=90 BC=BC,∠ABC=∠ACB, .BF2=BE·BC. ∠BMC=∠CNB=90°， ..BC= BF24316 ∴.△BCM≌△CBN(AAS),∴.∠OBC=∠OCB, BE=3=3 ∴.OB=OC :AD 16 (2)连接OP,如图所示. PE∥AB,PF∥AC, 6.证明：(1)：AD∥BC,.∠B=∠DAE ∴.∠PEC=∠BMC=90°， AB·AD=BCAE,Ae-S ∠PFB=∠CNB=90°. :'SABOC=S△cor-S△BoP, ∴.△CBAP△DAE,.∠BAC=∠AED. (2)由(1)得△DAE∽△CBA, ÷2ac·BM-00PE- AD DE :∠D=∠C,BC-AC1 o0.Pp. ∠AFE=∠D,∴∠AFE=∠C, .OB=OC, ∴.EF∥BC. ∴.PE-PF=BM. AD∥BC,.EF∥AD ,'∠BMO=∠BNA=90°，∠MBO=∠NBA, ,∠BAC=∠AED,.DE∥AC, .四边形ADEF是平行四边形， △OMAN,-别 DE-AF ∴OM·BN=BM·AN=(PE-PF)·AN. .AB=AC,BM=CN,..AM=AN, 7.C OM·BN=(PE-PF)·AM, 80,3)或4,0或(？.o .AM·PF+OM·BN=AM·PE. 解析：当PCOB时，△APCC∽ 1解证明：8能=能， △AOB,由点C是AB的中点， △ABC∽△ADE, 可得P为OA的中点，此时PO? ∴.∠BAC=∠DAE, 点坐标为(0,3)；当PC∥OA时，△BCP∽△BAO,由 ∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, 点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐 即∠BAD=∠CAE. 标为(4,0)；当PC⊥AB时，如图所示，，∠BCP ∠BOA=90°，∠CBP=∠OBA,.Rt△BPC∽ 是-是△ABDAACE. R△B08S-8:点B8,0)和点A0.6. (2):△ABC∽△ADE, .∠ABC=∠ADE. .AB=√6+8=10.，点C是AB的中点， :∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE= BPOP-OB- ∠ABE+∠BAD, ∴.∠EBC=∠BAD=21 BP-8-25=7 -号此时P点坐标为(？，o小 12解0号 13