27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1，2-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（人教版）

第2课时 相似三角形的判定定理1,2（答案P11) 通基础 知识点2利用两边和夹角判定两个三角形相似 5.如图所示，已知△ABC,则下列4个三角形中， 知识点1利用三边判定两个三角形相似 与△ABC相似的是( 1.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9cm,△DEF的一边长为4cm,若想得到这 两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能 是( A.2 cm,3 cm B.4 cm.5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm △75m 5 2.在△ABC中，AB=2,BC=3,AC=4,将 T30 △ABC的各边进行下列变换： ①各边的长度分别扩大为原来的3倍： 6.几何直观如图所示，在三角形纸片ABC中， ②各边的长度分别第小为原来的}： AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的阴影 部分的三角形与△ABC相似的是( ③各边的长度分别增加2； ④各边的长度分别平方 其中得到的三角形与△ABC相似的有( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 7.如图所示，点C,D在线段AB上，△PCD是 3.如图所示，A,B,C,D,E,G,H,M,N都是正 等边三角形，且AC=1,CD=2,DB=4.求证： 方形网格图中的格点（即小正方形的顶点），要 △ACP∽△PDB. 使△DEF与△ABC相似，则点F应是G,H, M,N中的() A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M 第3题图 第4题图 4.推理能力如图所示，在正方形网格图中有3个 斜三角形：①△ABC:②△CDB:③△DEB.其 中能与△ABC相似的是 ·(△ABC 除外，填序号)》 36 优学棒课的温 易特巨忽略“夹角”的条件 11.在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称 8.如图所示，在△ABC与△ADE中，∠BAC= 为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三 ∠D,要使△ABC与△ADE相似，还需满足 角形.如图所示，△ABC是格点三角形，在图 下列条件中的( 中的6×6正方形网格图中作出格点三角形 △ADE(不含△ABC),使得△ADE∽ △ABC(同一位置的格点三角形△ADE只 算一个)，这样的格点三角形一共有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 AC AB A.AD AE B.AC_BC AD DE cG船 D.AD-AE 甲 通能力 第11题图 第12题图 9.(2024·武威凉州区一模)如图所示，小正方形 12.如图所示，不等长的两条对角线AC,BD相交 的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与 于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四 △ABC相似的是( 个三角形.若OA:OC=OB:OD=1:2,则四 个三角形的关系，下列叙述正确的是() A.甲丙相似，乙丁相似 B.甲丙相似，乙丁不相似 C.甲丙不相似，乙丁相似 D.甲丙不相似，乙丁不相似 13.如图所示，在钝角△ABC中，AB=6cm, AC=12cm,点D从A点出发沿AB以 1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出 10.新情境，在如图所示的象棋棋盘（各个小正 发沿CA以2cms的速度向A点移动，如果 方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规 两点同时移动，经过 秒时，△ADE 则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成 与△ABC相似， 的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构 成的三角形相似，则“马”应落在( ) 第13题图 第14题图 相 14.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=3, ①@ AC=4,D为AB的中点.若在AC边上取点 A.①处 B.②处 E,使△ADE与△ABC相似，则AE的 C.③处 D.④处 长为 一年级，下做+数学·财 31 15.如图所示，在△ABC中，AB=9,AC=6, 通素养 BC=12,点M在边AB上，AM=3,过点M 作直线MN与边AC交于点N,使截得的三 18.推理能方如图所示，在Rt△ABC中，∠B= 角形与原三角形ABC相似，则MN的 90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从点A出 长为 发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q 从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动. 当点Q到达点C时，P,Q两点同时停止运 B 动.设点P,Q运动时间为ts. 16.(2024·广州中考)如图所示，点E,F分别在 (1)当t为何值时，△PBQ的面积为9cm? 正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3, (2)当△PBQ与△ABC相似时，t的值是 EC=6,CF=2.求证：△ABEC∽△ECF 多少？ 17.如图所示，某地四个乡镇A,B,C,D之间建 有公路，已知AB=14km,BC=42km, CD=31.5 km.AD=28 km,BD=21 km, 判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 38 优学棒课的避一M为BC的中点 相似，故此选项不符合题意： ∴FM=2AC 且为==对应边--又 AB 9 由FM∥AC,得△FMD∽△ECD, ∠A=∠A, %照号 所以沿虚线剪下的阴彩部分的三角形与△ABC相 2DC 3 似，故此选项符合题意； 44 3AC. C周为西号时应边能-是-3 BC124' AE AC-FC AC-3AC 2 所以沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不 AC3· 相似，故此选项不符合题意： 18.解：(1)△BCP△BER,△PCQ∽△RDQ.(答案 不唯一) D周为后-号对会地C-音-名号分 (2),四边形ABCD和四边形ACED都是平行四 所以沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不 边形， 相似，故此选项不符合题意 ..BC=AD=CE,AC∥DE. 7.证明：，△PCD是等边三角形， ∴.△BCPC△BER. ∴.∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD=2, 限距 ∴.∠PCA=∠PDB=120 AC=1,BD=4, PC 1 .PB=PRRE ..AC-1 PD 1 AC PD PC=2·BD=2心PC-BD 又，PC∥DR,∴.△PCQ∽△RDQ. R是DE的中点，∴DR=RE. 品品 ÷股服E-oR=r0 .△ACPC∽△PDB. 8.C9.B10.B 又，BP=PR=PQ+QR=3PQ, 11.C解析：如图所示 .BP:PQ:QR=3:1:2. 19.解：(1)证明：过点C作CE∥DA,交BA的延长线 于点E BD BA :CE∥DA.·CD=EA,∠CAD=∠ACE, ∠BAD=∠E :AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, 所以使得△ADED△ABC的格点三角形一共有 ∠ACE=∠EAE=AC280 6个， 12.B解析：在△OAB和△OCD中，OA：OC= (2),AD是△ABC的角平分线， OB·OD,又∠AOB=∠COD,.△OAB 把思 △OCD,即甲丙相似.，OA:OC=OB:OD, AC≠BD,.OA:OD≠OB:OC,∴.乙丁不相似. .AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, BD 188收号142政智 15.4或6解析：，△AMN和△ABC相似，∴.分两 解得BD= 35 9 cm. 种情况：a.如图①所示，△AMN∽△ABC, 第2课时相似三角形的判定定理1,2 ÷0AC-CW=3AC=6,Bc=12, 1.C2.B3.C4.③5.C 6.B解析：在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6, AB-9...MN3 12=9,解得MN=4,b.如图②所示， BC=12, A周为配-是-号对应地船-。-，+3 661 △AMNn△ACBA0--A0AM-s 2BC124'24 所以沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不 AC=6BC=12.2=6,解得MN=6.综上所述， 11 MN的长为4或6. 10.证明：BE=BC,∴.∠C=∠CEB. ∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED AD⊥BE,.∠D=∠ABC=90°， ∴.△ADEn△ABC. 11.B12.D13.B 16.证明：BE=3,EC=6,CF=2, 14.D .BC=3+6=9. ,四边形ABCD是正方形， 1s(层o .AB=BC=9,∠B=∠C=90° 0-名-胀- 16.号或6 解析：CA⊥AB,DB⊥AB, ∠A=∠B=90°.又，AB=5,EB=2,.AE= 提腮 AB-EB=3.①当△CAEO△PBE时，F路- .△ABE∽△ECF 17.解：AB与CD平行.理由如下： 能即品-名解释PB-号@当△CAE☑ AE 肥知，期部”-号0引号把 CA AE1 3 △EBP时·BEP,即2BP,解得BP=6.综 282 423 上所装，当BP-号我6时，△CEA与△EPB ÷部80-设△ABDn△BDC 相似. 17.证明：，OE⊥OB,∠BAC=90°， .∠ABD=∠BDC,∴ABCD ∴.∠BOA+∠COE=90°，∠BOA+∠ABF=90°， 18.解：(1)由题意，得AP=tcm,BQ=21cm,则 ∴.∠ABF=∠COE. PB=(6-t)cm, ,AD⊥BC,∴.∠DAC+∠C=90°. ∴Sam=2PB·B0=号(6-)·2=(-2+ :∠BAC=90°，∴.∠BAF+∠DAC=90, .∠BAF=∠C,.△ABF∽△COE. 6t)cm. 18.解：(1)△ADE≌△BDE,△ACB∽△BCD 由题意，得一t2十6t=9,解得t1=t2=3, (2)证明：，AB=AC,∠A=36°， .当t为3时，△PBQ的面积为9cm. ∴.∠ABC=∠C=72. (2)当△PBQ△ABC时·ABBC, PB BQ BD为∠ABC的平分线， 即号-解得1一号 12 ∠ABD=∠DBC-号∠ABC=36-∠A 在△ADE和△BDE中， 当△PBQn△CBA时·BCAB PB BQ ∠A=∠DBA, 即。-号解得1-品 18 ∠AED=∠BED,∴.△ADE≌△BDE(AAS. ED=ED, 综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是 :∠C=∠C,∠DBC=36°=∠A, 导品 .△ACB△BCD. I9.解：(1)证明：在△ABC中，∠BAC=90°，AB= 第3课时相似三角形的判定定理3 AC,∴.∠B=∠C=45. 1.C2.D3.B ,∠B+∠BPE+∠BEP=18O°， +.∠C=∠BAD(∠BAC=∠BDA或ABBC BD AB ∴.∠BPE+∠BEP=135. :∠EPF=45,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180, 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BPE+∠CPF=135°.∴.∠BEP=∠CPF. ..AD//BC. 又，∠B=∠C,∴.△BPE∽△CFP(两角对应相 ∴.∠ADC+∠C=180°，∠ADF=∠DEC. 等的两个三角形相似). :∠AFE+∠AFD-180°， (2)△BPEC∽△CFP. ∠AFE=∠ADC, (3)动点P运动到BC的中点位置时，△BPE与 .∠C=∠AFD,∴.△ADF△DEC. △PFE相似 6.C 理由：同(1)，可证△BPE∽△CFP, 7.D8.C9.3.6 ∴.CP:BE=PF:PE. 12