第9章 4 探索三角形相似的条件 第1课时 利用角的关系判定两个三角形相似-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

4探索三角形相似的条件 第1课时 利用角的关系判定两个三角形相似（答案P23) 通基础 知识点3直角三角形相似的判定 6.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 知识点1相似三角形的定义 AB于点D,则图中相似三角形共有() 1.(2024·淮安清江浦区期末)如图所示，在正方 形网格上有两个相似三角形ABC和△DEF, 则∠BAC的度数为 A.1对 B.2对 C.3对 D.0对 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC 于点E,点D是BC的中点，连接AD与BE 2.若△ABC△A'BC',且AB:A'B'=BC: 交于点F.求证：△AFEC∽△BCE. B'C'=3:2,则△ABC与△A'B'C的相似比 k= ,△A'B'C'与△ABC的相似比 k'= 知识点2利用角的关系判定两个三角形相似 3.如图所示的三个三角形，相似的是( 65o 144 人67 知识4相似三角形的简单应用 A.①② B.②③ 8.如图所示，在△ABC中，∠AED=∠B,则下 C.①③ D.①②③ 列等式成立的是( 4.结论开放D如图所示，在△ABC中，P为AB 上的一点，补充条件，能使△APC∽△ACB, AB股-船 DB B能品 这个条件可以是 .(写出一个即可) C.CB AB DE AE AD AE D.ABAC B 5.如图所示，在△ABC中，AD=DB,∠1=∠2. 求证：△ABC∽△EAD 第8题图 第9题图 9.如图所示，D,E分别是△ABC边AB,AC上 的点，∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6, AC=4,则AE的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 96 优计学旅说的温一 通能力 通素养 10.如图所示，P是Rt△ABC的斜边BC上异于 14.探究拓展(2024·毫州利辛开学)如图①所 点B,C的一点，过点P作直线截△ABC,使 示，在△ABC中，点P在最长边AC上，点Q 截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件 在射线AB上，连接BP,PQ,若△AQP∽ 的直线条数是( △BCP,则称点P,Q为AC,AB边上一对 A.1 B.2 C.3 D.4 “相似点” 2 【初步运用】 第10题图 第11题图 (1)如图①所示，在△ABC中，点P,Q为 11.(2024·重庆中考)如图所示，在△ABC中， AC,AB边上一对“相似点”，求证：△APQ∽ 延长AC至点D,使CD=CA,过点D作 △ABC DECB,且DE=DC,连接AE交BC于点 (2)如图①所示，在△ABC中，点P,Q为 F,若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF AC,AB边上一对“相似点”，若AP=BC,求 C Ap的值 12.如图所示，在△PAB中，点C,D在AB上， PC=PD=CD,∠A=∠BPD,求证： 【拓展提升】 △APC∽△PBD. 如图②所示，在等腰三角形ABC中，AB BC=12,AC=18,在线段AC上找出一点 P,在射线AB上找出一点Q,使点P,Q为 AC,AB边上一对“相似点”.画出图形并求出 PQ和BQ的长. 13.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC, ∠C=90°，AB=AD=25,BC=32.连接 BD,过点A作AE⊥BD,垂足为E (1)求证：△ABEC∽△DBC. (2)求线段AE的长. 一八年级下货数学色教版 9716,解：1：号-行b+d=0… ∴.EF=2-0.1×2=1.8(m),EN=1-0.1×2=0.8(m). EN_08=0.8 =6即a=-c, 器-器 .a+c=0. 熙器 (2)①当a+6+c≠0时，6+c=a+=a+b=1- .不相似. b 4.22.55.20 2a+b+c2=2. 6.解：，四边形ABCD与四边形A'BCD'相似， a+b+c .t8-t-2=22-2-2=0. ②当a+b+c=0时，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c, .x=31.5,y=27. :6+=a+9_a+b=1=-1, 又.∠D=∠D'=117, b .∠C=∠C=360°-117°-77°-83°=83° ∴.t-t-2=0. .∠a=83 综上，t一1一2的值是0. 7.C8.C9.2.5cm或10cm10.A11.D 2平行线分线段成比例 12.14513.2:2 1.B2.A3.C4. 20 14.解：xty=3:2.理由如下： 5.C6.C7.6或128.C :相对两条小路的宽均相等， 9.A10.10 :.A'B'=AB+2y,A'D'=AD+2x. 11.解：(1)DC∥AP, ,矩形A'B'CD'∽矩形ABCD, 胎鼎 ..A'B':A'D'=AB AD. 又，AB=20米，AD=30米， 品 (20+2y):(30+2x)=20:30, 解得x:y=3t2 解得AP=90米， 15.解：(1)如图①所示 SAw=号AQ·AP=号×30X90=1350(平方米). 1 ”分成的两个矩形与原矩形相似且这两个矩形全等， (2)设DQ=x米，则AQ=(x+20)米， ∴BF=FC-2BC. DC∥AP, .QD_DC 根据相似矩形对应边成比例，得距=AB AB BC' AQ AP' 1 30 a…2a=1, +20AP' 解得a=√2（负值舍去）. AP=30r+202米 (2)如图②，③所示. 由题意，得号×30中20×u+20)=160. 化简，得3x2-200x+1200=0, 解得工1=60，x:=3 20 a=3 经检验，x=60或x= 智是原方程的根且符合思意， 2 3 4探索三角形相似的条件 20 DQ的长应设计为60米或g米， 第1课时利用角的关系判定两个三角形相似 12.解：(1)证明：如题图②所示，过点C作CE∥DA,交BA的 11552号 3.A 延长线于点E. 4.∠ACP=∠B(答案不唯一) 'CE∥AD, 5.证明：AD=DB,∠B=∠BAD. ÷80-L-∠AcE,∠1-∠E :∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,∠1=∠2 '∠1=∠2，∴∠ACE=∠E, ∴.∠C=∠ADE. ,∴.△ABC∽△EAD AE=AC. 6.C 是是器 7.证明：AB=AC,点D是BC的中点， .AD⊥BC, (2)9+3v5 .∠ADB-90, 2 .∠CBE+∠BFD=90 3相似多边形 ,BE⊥AC,∴.∠BEA=90° 1.B2.D ∠FAE+∠AFE=90°. 3.解：不相似，理由： '∠AFE=∠BFD,∠FAE=∠CBE. 10cm=0.1m, 又∠AEF=∠BEC=90°，.△AFE∽△BCE. AB=2 m,AD=1 m, 8.C9.C10.C11.3 23 12.证明：PC=PD, 又∠BAC=∠EAD, .∠PCD=∠PDC ,∴.△ABC∽△AED. :∠A+∠APC=∠PCD,∠B+∠BPD=∠PDC, 又，∠A=∠BPD, '∠B=∠APC, 5.证明：(I):∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC, ,.△APC∽△PBD ∠EDC=∠BAD, 13.解：(1)证明：AB=AD=25, ∴.∠B=∠ADE. ∴∠ABD=∠ADB. AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC. 又8股-8路- .∠ABD=∠DBC. ∴.△ABCn△ADE. AE⊥BD,∠AEB=∠C=90. (2),'△ABCn△ADE,∴∠BAC=∠DAE, .△ABEn△DBC. ·∠BAD=∠CAE=∠CDE.∠COD=∠EOA (2)AB=AD,AE⊥BD, ..BE=DE. ÷△CODAEOA.OE-OA OC OD ∴BD=2BE 又'∠AOD=∠COE,.△AOD∽△EOC 由△AnDC,角合铝-能 .DACE=ODOC,即DA·OC=OD·CE. 62或号7B8D9.28或1或6 AB=AD=25,BC-322BE32 25 BE 10.解：(1)证明：：四边形ABCD为正方形， BE=20(负值舍去)： .∠A=∠D=90°，AB=AD=CD. .AE=√AB-BE=√252-20=15. 设AB=AD=CD=4a. 14.解：【初步运用】 :E为边AD的中点，CF=3FD, (1)证明：，△AQP∽△BCP, .AE=DE=2a,DF=a, ∠AQP=∠ACB. AE_2a=2, 又∠A=∠A, 提会-品- '.△APQn△ABC. (2).△AQP∽△BCP, 提崇 ∠CBP=∠A. 又：∠A-∠D-90°，.△ABEO△DE 又，∠C=∠C, (2)相似.理由：：△ABE∽△DEF, '.△BPCU∽△ABC 5R沿-∠ABE=∠DER 瓷器 :∠AEB+∠ABE=90°， 设CP=x,AP=BC=y. .∠AEB+∠DEF=90°， 2一y(其中负值舍去) ∴∠BEF=90,又：怎 器 .AE-EF AE AB AB小E示B距 2· 又∠A=∠BEF=90°， 【拓展提升】 ∴.△ABEO△EBF 如图所示，过点B作∠CBP=∠A,使BP交AC于点P:过 1L.解：(1)如图所示，分别过点D,A作DF⊥BC于点F,AG⊥ 点P作∠APQ=∠BPC,使PQ交AB的延长线于点Q. BC于点G, B A B EF G △AQP∽△BCP∽△ACB, .DF∥AG,∴.△BDF∽△BAG, 瓷肥福怨 器船 罗-品180 AB=AC=10 cm,BC=16 cm, -18 .BG=8cm,∴AG=6cm. 解得CP=8,AQ=15, AD=BE=t cm,.BD=(10-t)cm, .PQ=PA=AC-CP=18-8=10,BQ=AQ-AB=15 12=3. DF_10-4 610 第2课时利用边角关系判定两个三角形相似 3 1.C2.6 解得DF=亏(0-t)cm. 3.证明：AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40. 是-126-8-12 :SAe=}BE·DF=7.5cm 提怨 号10-0t=15.解得1=5. 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm 24