22.5 菱形 第2课时 菱形的判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（冀教版）

第2课时 菱形的判定（答案P23) 通基础 知识点3两条对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 知识点1一组邻边相等的平行四边形是菱形 5.将一张矩形纸片按照如图所示的方式折叠， 1.(2024·保定莲池区月考)在四边形ABCD 然后沿虚线AB将阴影部分完全剪下，再将 中，ABCD,AB=BC,添加下列条件后仍然 阴影部分的纸片展开，所得到的平面图形 不能推得四边形ABCD为菱形的是( 是( A.AB=CD B.AD∥BC C.AB=AD D.AD=CD A.直角三角形 B.等腰三角形 2.如图所示，在菱形ABCD中，E,F,G,H分 C.矩形 D.菱形 别是各边中点，连接EG与FH交于点O,则 图中共有菱形() 6.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC, A.4个B.5个C.6个 AH⊥BC,点E是AH上一点，延长AH至 D.7个 点F,使FH=EH,连接BF,CF,求证：四边 形EBFC是菱形. 第2题图 第3题图 知识点2四条边相等的四边形是菱形 3.教材P145练习T2变式◆如图所示，分别以点 A和点B为圆心，大于2AB的长为半径画 弧，两弧相交于点C,D,根据这种作图方法， 可知四边形ADBC的形状一定是() A.矩形 B.平行四边形但不是矩形 C.菱形 D.平行四边形但不是菱形 三对菱形的判定方法掌握不透导致出错 4.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD, 7.下列命题中，正确的是 (填序号). BD平分∠ABC,∠A=∠C. ①四边都相等的四边形是菱形； 求证：四边形ABCD为菱形 ②两组邻边分别相等的四边形是菱形： ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ④对角线相等的四边形是菱形； ⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是 菱形 104 优十学编课时通 通能力 11.(2024·保定莲池区月考)如图所示，在四边 形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线 8.推理能力如图所示，平行四边形ABCD中， AC、BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C 点E,F在对角线BD上，且BE=DF,要使 作CE⊥AB交AB延长线于点E,连接OE. 四边形AECF为菱形，现有甲、乙、丙三种 (1)求证：四边形ABCD是菱形 方案： (2)若CE=3√3，∠ADC=120°，求四边形 甲：只需要满足∠ABE=∠CBE; ABCD的面积. 乙：只需要满足AE=CF; 丙：只需要满足AC⊥EF. 则正确的方案是( ) A.甲、乙、丙 B.甲、丙 C.甲、乙 D.乙、丙 第8题图 第9题图 9.运算能力◆如图所示，在□ABCD中，用直尺 和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点 通素养 E,若BF=12,AB=10,则AE的长为( 12.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC, A.4 B.8 BD相交于点O,P是线段AD上一动点（不 C.16 D.20 与点D重合)，PO的延长线交BC于点Q, 10.(2024·济宁模拟)如图所示，在四边形AB 连接BP,DQ. CD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=6, (1)求证：四边形PBQD为平行四边形 CD=8,E,F分别是边AB,CD的中点， (2)若AB=6cm,AD=8cm,P从点A出 DH⊥BC于H,现有下列结论； 发，以1cm/s的速度向点D做匀速运动.设 ①∠CDH=30°； 点P运动时间为ts,问四边形PBQD能够 ②EF=4: 成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果 ③四边形EFCH是菱形； 不能，说明理由. ④SAEFC=3S△BEH: 你认为结论正确的有 (填写正确 的序号) 一八件级卡伊数学山 105在△BCF和△DCF中， 15.解：四边形ABCD是菱形 BC=DC. .AC,BD互相垂直平分. ∠BCF=DCF, ∴点B关于AC的对称点为D,如图所 CF=CF. 示，连接DF,DE,EF,BF,则DF=BF △BCF≌△DCF(SAS),.BF=DF,'AF=DF ∴.EF+BF=EF+DF>DE (2):四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°， ∴EF+BF的最小值为DE,DE与AC的交点即为此时动 1 AD=DC,∠DCA=∠DAC=Z(180°-∠ADC)= 1 点F的位置， 在△ABD中，AD=AB,∠BAD=60°， 70°=35°. .△ABD是等边三角形 :AF=DF,∴∠FDA=∠DAC=35, E是AB的中点， .∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°， ∴.∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75. AE-AB3. 7.C8.B9.4√3或2510.C DE⊥AB. 11.B解析：如图所示，连接BD交AC 在Rt△AED中，由勾殿定理，得 于点O. DE=√AD-AE=√6-3=33. 四边形ABCD是菱形，∠ABC ∴EF+BF的最小值为35， 120°，AB=23, 第2课时菱形的判定 .∠BAD=∠BCD=180°-120°=60°，∠DAC=∠DCA= 1.C2.B3.C ∠BAD=号×60=30，AD=AB=2,5,BDLAC. 1 4.证明：BD平分∠ABC, 在R△A0D中，0D-AD-号×25=5， ·∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， I∠ABD=∠CBD, ∴.04=√AD-0D=√(23)-(W3)=3, ∠A=∠C, ∴.AC=20A=2×3=6. BD=BD. 在R1△APE中，∠DAC=30°， ∴.△ABD≌△CBD(AAS), PE-TAP .AB=BC,AD=DC..AB=AD, ∴.AB=BC=DC=AD,,四边形ABCD是菱形. 在Rt△CPF中，∠PCF=∠DCA=30°， 5.D PF-CP, 6.证明：，AB=AC,AH⊥BC, ..BH=HC. PE-PF-TAP-10 1 CP (AP-CP)- AC= FH-EH 号×6=3. '.四边形EBFC是平行四边形. 又：AH⊥BC, 12.4513.16 ,.平行四边形EBFC是菱形. 14.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， 7.①③⑤8.B9.C10.①②③ .AC⊥BD 11.解：(1)证明：AB∥CD, 'CE∥BD,EB∥AC, '.∠ACD=∠BAC .四边形OCEB是平行四边形. ,AC平分∠BAD, 'AC⊥BD, ·.∠BAC=∠DAC, ,四边形OCEB是矩形， .∠ACD=∠DAC, ..OE=CB ..AD=CD. (2)由(1)知，AC⊥BD,BC=OE=2, AB=AD, OC:OB=1:2, ∴，AB=CD. .设OC=x,则OB=2x. ,AB∥CD, 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2=OC2+OB,即4=x ∴四边形ABCD是平行四边形. +4x, AB=AD, ∴.平行四边形ABCD是菱形. 解得x=25(负值已合。 (2),四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， 0-208-5 ∴.AC⊥BD,OA-OC,OB=OD,∠DAB=60°，∠CAB 5 7∠DAB=30. :四边形ABCD是菱形， ..AC=2CE=63,AB=2BO ,BD=86 AC-45 ∴A0=C0=35. “菱形ABCD的面积是2BD·AC- AB=AO+BO, 5 4B03-B02=27, 23 .BO=3(负值已舍去)， AD-AB, ∴BD=6, ∠ADH=∠B, :菱形ABCD的面积一 -XACX BD-183. DH=BK. .△ADH≌△ABK(SAS),.AK=AH. 12.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， (2),△ADH2△ABK, AD∥BC, ∴∠HAD=∠BAK. ∴.∠PDO=∠QBO. ∴∠HAK=90°， 在△POD和△QOB中， 同理可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH, ∠PDO=∠QBO, ∴AH=AK=HF=FK, OD=OB, ∴四边形AKFH是正方形. ∠POD=∠QOB, 17.解：(1)证明：，PE⊥AB,PF⊥BC, ∴.△POD2△QOB(ASA), .∠PEB=∠PFB=90°. ∴.OP=OQ. 又，四边形ABCD是正方形，.∠ABC=90°， 又OB=OD, ∴四边形PEBF是矩形。 四边形PBQD为平行四边形. (2)PD=EF,证明如下： (2)能成为菱形。 如图所示，连接PB. 由题意，得ts后AP=tcm,PD=(8一t)cm, 若四边形PBQD是菱形， 则PD=BP=(8-t)cm. ,四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90. 在Rt△ABP中，由勾股定理， 四边形PEBF为矩形，，PB=EF 得AB+AP=BP, 又：四边形ABCD是正方形，P为AC上任意一点， 即62+2=(8-)2， .AD=AB,∠PAD=∠PAB=45 'AP=AP,∴.△ADP≌△ABP(SAS) 解得一子 .PB=PD...PD=EF. 7 (3)由(2)得，DP=EF,则EF的最小值，即DP的最小值， 即点P运动时间为4s时，四边形PBQD是菱形。 当DP⊥AC时，DP取得最小值. :正方形ABCD的周长为40，.AD=CD=10. 22.6正方形 :∠ADC=90°，∴AC=√10+10=102. 1.D2.A3.C4.325.9 6.解：：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC. DP⊥AC,∴DP=之AC=5V2,∴EF的最小值是5V2, ·∠B=60°，.△ABC是等边三角形， 18.解：(1)证明：四边形ABCD为正方形， ,.AC=AB=4, .∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD. 正方形ACEF的周长是16. 在△ABE和△ADE中， 7.C8.AC=BD且AC⊥BD AB=AD, 9.证明：四边形ABCD是矩形， ∠BAE=∠DAE, ∴∠B=∠D=∠C=90°. AE-AE. '△AEF是等边三角形， ∴.△ABE≌△ADE(SAS), .AE=AF,∠AEF=∠AFE=60° ..BE=DE, :∠CEF=45,∴∠CFE=45, (2)①证明：如图①所示，作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N, .∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75. 得矩形EMCN, 在△ABE和△ADF中， ∴∠MEN=90 ∠B=∠D, ,点E是正方形ABCD对角线上的点， ∠AEB=∠AFD ∴.EM=EN, AE=AF. ,∠DEF=90° ∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD ∴.∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. ,,矩形ABCD是正方形. 在△DEN和△FEM中， 10.A11.B12.D13.A14.①③15.√/85 1∠DNE=∠FME=90°， 16.证明：(1)，四边形ABCD和CEFG都是正方形， EN=EM, ,∴.∠B=∠ADC=90°，AB=AD=DC=BC, ∠DEN=∠FEM, GC=EC=FG=EF. .△DEN≌△FEM(ASA), .DH=CE=BK, ..DE=EF. ..HG=EK=BC=AD=AB, ,四边形DEFG是矩形， 在△ADH和△ABK中， ∴矩形DEFG是正方形. 24