18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时 矩形的性质（答案P13) 通基仙> 3.新情境》翻花绳是中国民间流传的儿童游戏， 在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、 知识点1矩形的定义 翻花鼓、挑绷绷、解股等等.如图①所示是翻花 1.抽象能力工人师傅做铝合金窗框时，分下面 绳的一种图案，可以抽象成图②，在矩形ABCD 三个步骤进行： 中，J∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=30°，∠3的 三0-口- 度数为( ① ② ④ (1)如图①所示，先截出两对符合规格的铝合 金窗料，使AB=CD,EF=GH, (2)摆成如图②所示的四边形，这时窗框的形 A.30° B.45 C.50 D.60 状是 形，依据的数学原理 4.(2024·西安雁塔区模拟)如图所示，在矩形 是 ABCD中，延长AB至E,延长CD至F, (3)如图③所示，将直角尺紧靠窗框的一个角， BE=DF,连接EF,与BC,AD分别相交于 调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗 P,Q两点.试判断CP与AQ的数量关系，并 框无缝隙时（如图④所示），说明窗框合格，这 说明理由 时窗框是 形，依据的数学原理 是 知识点2矩形的四个角都是直角 2.(2024·商洛镇安模拟)小明同学在喝水时发 现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静 止状态时，水面始终与桌面保持平行.如图所 示，矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面 知识点3矩形的对角线相等 图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯侧面 AB与桌面的夹角为54°时，∠CBE的度数 5.(2024·甘肃中考)如图所示，在矩形ABCD 为( 中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABD= 60°，AB=2,则AC的长为( 54 A.46 B.36° C.54° D.56° A.6 B.5 C.4 D.3 58 优种学稀说时世 6.如图所示，延长矩形ABCD的边BC至点E, 10.(2024·滨州邹平模拟)如表是小芸同学证明 使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°，那 定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择 么∠E= 其中一种，完成证明， 定理：直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半 B 已知：如图①所示，在 7.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD △ABC中，∠ABC=90°， 交于点O,过点C作CE∥BD,交AD的延长 点O是AC边的中点， 线于点E 求证：0B= (1)求证：AC=CE. 24C. (2)若DE=6,CD=8,求△AOB的周长. 方法一： 方法二： 证明：如图②所示，延长 证明：如图③所示，过 BO至D,使OD=OB.连 点O作OD⊥BC于 0 接AD,CD 点D 3 知识点4直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 8.(2024·深圳龙岗区开学)如图所示，一根木棍 斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木 棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地 面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的 距离( A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断 通能力299924 11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=3,BC= 4,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点 E,交BC于点F,则DE的长是() B 第8题图 第9题图 9.如图所示，在△ABC中，D为AB的中点， BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则 BE的长度是 A.8 B.5 C.1 D.2 一八年级，下做+数学·财 59 12.如图所示，在矩形ABCD中，BC=12,点M (2)若AD=15,AB=20,DE⊥AC,求四边 为AB的中点，连接MD,点E为MD的中 形BEDF的面积. 点，连接BE,CE,若∠BEC为直角，则AB 的长为() A.4 B.8 C.9 D.10 第12题图 第13题图 通素养 13.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 17.(2024·潘博淄川区期末)已知矩形EFGC 的边AB=6,BC=3.若不改变矩形ABCD (如图①所示)的一边EC和对角线CF分别 的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半 与矩形ABCD的对角线AC及边BC重合. 轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终 连接AF,取AF的中点为M,连接 在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是 BM,EM. 边AB的中点，连接OM,DM.下列判断正确 (1)求证：MB=ME. 的是() (2)如图②所示，若将(1)中的矩形EFGC绕 结论I:在移动过程中，OM的长度不变： 着点C旋转一定的角度，其他条件不变，你认 结论Ⅱ：当∠OAB=45时，四边形OMDA是 为(1)中的结论是否还成立？若成立，请证 平行四边形 明：若不成立，请说明理由. A.结论I、Ⅱ都对 B.结论I、Ⅱ都不对 C.只有结论I对 D.只有结论Ⅱ对 14.(2024·德州武城月考)如图所示， 在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB ∠AFB=90°，O为AB的中点，连接EF, OE,若∠EAF=50°，则∠OEF= 第14题图 第15题图 15.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点 O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F, 若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积 为 16.如图所示，在矩形ABCD中，E,F两点在对 角线AC上，AE=CF (1)求证：四边形BEDF是平行四边形 60 优学嫌说的温∴FG=2BD,FH=2CE∴FG=FH Sam=SAm=S6e+S6E=号XAB·EM+号× (2)当∠A=90时，FG⊥FH. 理由：延长FG交AC于点N, BC,EN=×6X21=2 ,FG是△EDB的中位线，FH是△BE的中位线， 11.解：(1)证明：点D,E,F分别是AB.BC.CA的中点，.DE, .FH∥AC,FN∥AB. EF都是△ABC的中位线，.EF∥AB,DE∥AC..四边形 ,FG⊥FH,.∠A=90,.当∠A=90时，FG⊥FH. ADEF是平行四边形. 1.解：【三角形中位线定理]DE/BC,DE=BC. (2),四边形ADEF是平行四边形， ∴.∠DEF=∠BAC 理由：：点D,E分别是边AB,AC的中点， ,D,F分别是AB,CA的中点，AH是边B上的高， .DE是△ABC的中位线， .∠AHB=∠AHC=90°，DH=AD,FH=AF, DE/BC,DE-号BC. .∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA. ,'∠DAH+∠FAH=∠BAC,∠DHA+∠FHA=∠DHF, 【应用】连接BD,如图①所示， .∠DHF=∠BAC,.∠DHF=∠DEF ,E,F分别是边AB,AD的中点， ∠AHF=20°，∠AHD=50°， ·.EF∥BD,BD=2EF=4. ,∴.∠DEF=∠DHF=∠AHF+∠AHD=20°+50°=70. ∴∠ADB=∠AFE=45. 12.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， BC=5,CD=3, .AD∥BC,.∠DPC=∠PCB. ∴.BD+CD2=25,BC2=25, ,CP平分∠BCD,∴.∠PCD=∠PCB :.BD+CD=BC, ,∠DPC=∠DCP,.DP=CD. ∴.∠BDC=90°. CD=CP...CP=CD=DP. .∠ADC=∠ADB+∠BDC=135 ∴.△PDC是等边三角形，∴∠B=∠D=60. (2),四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,.PD∥BC 若以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形，则PD= BQ,设运动时间为1秒， ①当0≤1≤3时，PD=6-0.51,BQ=6-21, ,6-0.51=6一21，解得1=0： 【拓展】证明：如图②所示，取DC的中点H,连接MH,NH. ②当3<t≤6时，PD=6-0.5t,BQ=2t-6, M,H分别是AD,DC的中点， .6-0.5t=21一6，解得t=4.8: .MH是△ADC的中位线， ③当6<1≤9时，PD=6-0.51,BQ=18-21, ∴MH/AC,MH=2AC .6-0.51=18-21,解得1=8： ④当9<1≤12时，PD=6-0.5t.BQ=21-18, .6-0.51=21-18,解得1=9.6. 同理可得NH∥BD,NH=之BD, 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或96秒时， EF=EG. 以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形. ∴.∠EFG=∠EGF. 18.2特殊的平行四边形 ,MH∥AC,NH∥BD 18.2.1矩形 '.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, 第1课时矩形的性质 ∴.∠HMN=∠HNM, 1,(2)平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴.NH=MH, (3)矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∴.BD=AC 2.B3.D 4.解：CP=AQ.理由： 阶段检测一(18.1.1~18.L.2) :四边形ABCD是矩形， 1.C2.B3.B4.B5.B6.57.8 .∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD,AD=BC, 8.419.(5,3)或(1，-3) AB∥CD,AD∥BC, 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ,∠E=∠F. .ADBC,AD=BC,∠ABC=∠ADC, .BE-DF. ,.∠DAC=∠BA. .AE=CF ,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC 在△CFP和△AEQ中， ÷∠ADF=专∠ADC,∠CBE=Z∠A, 1 1∠C=∠A, CF=AE. ∴，∠ADF=∠CBE. ∠F=∠E, 又，AD=C,∠DAC=∠BA. ∴.△CFP≌△AEQ(ASA), ',△ADF≌△CBE(ASA). CP=AQ. ..BE-DF. 5.C6.15 (2)如图所示，过点E作EN⊥C 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 于N. ,.AC=BD,BC∥AD,即BC∥DE :BE平分∠ABC,EM⊥AB, ,BDCE,.四边形DECB是平行四边形， EN⊥BC, .BD-CE...AC-CE. ..EM=EN=6. (2),四边形DECB是平行四边形 ·平行四边形ABCD的周长 ∴.BC=DE=6. 为48， ,AB=CD=8,∴.BD=√BC+CD=10 .AB+BC=24. ,四边形ABCD是矩形 .0A十OB=BD=10, 13 ∴.△AOB的周长=OA+OB+AB=10+8=18. ∴.∠AOM=∠OCF=∠MO'F.② 8.B9.6 由①②得∠BOM=∠MO'E, 10.解：方法一：延长BO至D,使OD■OB, 在△BMO与△ME)'中， 连接AD,CD, OB=O'M. ,点)是AC边的中点， ∠BOM=∠MOY'E. .A(0=C0. OM=O'E. .BO=OD. .△BMO≌△MEO'(SAS), ,四边形ABCD是平行四边形. .MB=ME. :∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， ..AC=BD. ∴Bo-2BD-2AC 1 方法二：过点O作OD⊥BC于点D. ,∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠ODC=90, .OD∥AB. 第2课时矩形的判定 :点O是AC边的中点， 1.D2.∠BAC=90°（答案不唯一） .A0=0. 3.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ..BD=CD. AD∥BC,AB∥CD. B0-0c-号AC ,.∠ADB=∠CBD ,DE平分∠ADB,BF平分∠CBD. 11.A12.B13.A14.40°15.6 .∠EDB= 16.解：(1)证明：如图所示，连接DB,交AC于点O ∠ADB,∠DBF=号∠CBD, D .∠EDB=∠DBF, .DE∥BF, 又，ABCD, .四边形DEBF是平行四边形 (2).AD=BD,DE平分∠ADB, .DE⊥AB. B ∠DEB=90 四边形ABCD为矩形，.OA=O,OB=OD. 又"，四边形DEBF是平行四边形， AE=CF...OA-AE=OC-CF,.OE=OF ,.四边形DEBF是矩形. ,OB=OD,.四边形BEDF是平行四边形. 4.C5.B (2),四边形ABCD是矩形， 6.证明：：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC .∠ADC=90,CD=AB=20. ∴.四边形ABCD是平行四边形，.AC=2AO,BD=2OD AD=15,CD=20...AC=AD+CD=25. ,OA=OD,∴.AC=BD.∴.平行四边形ABCD是矩形. 7.D8.A9.C10.B :Sax=2AD·CD=2AC,DE, 11.A12.EB=CD(答案不唯一) DE-AD.CD_15x20-12. 13.2或10 AC 25 14.解：(1)证明：，OA=OC,OB=OD .四边形ABCD是平行四边形 .AE=√AD-DE=9,.EF=25-9-9=7, ,∠AOB=∠DAO+∠AD)=2∠OAD, ∴.四边形BEDF的面积=DE·EF=12×7=84. .∠DAO=∠ADO.∴.AO=DO.∴.AC=BD. 17.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，四边形EFGC是 .口ABCD是矩形 矩形， (2),四边形ABCD是矩形，.ABCD, .∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF .∠AB0=∠CDO. :M为AF的中点， ∠AOB:∠(ODC=4t3.∴.∠AOB:∠AB0=4t3, ∴MB=2AFME=号 .∠BA0:∠AOB:∠AB)=34t3..∠AB0=54 ∠BAD=90°，.∠AD0=90°-54°=36 ..MB=ME. 15.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D,过点C作CF (2)若将(1)中的矩形EFGC绕着点C旋转一定的角度，其 AB于点F, 他条件不变，则(1)中的结论还成立. 则∠AFC'=∠CDA=∠BDC=90°， 证明：如图所示，连接BD,EG,设大小矩形的中心分别为 由题意得AB⊥BE,CE⊥BE,AC'=AC, O,O',连接OM,M0' .∠BEC=∠DBE=90°. M,O'分别为AF,CF的中点 .四边形BDCE为矩形 ÷M0'=号AC=OB,同理E0=2CF=0M. ..CE=BD=1.5 m. AC'LAC. '∠ACB=∠ECF .∠CAC=90°， .∠OAB=∠EFO' .∠C'AF+∠CAD=90° :0B= 2AC=04. '∠CAD+∠ACD=90°， .∠C'AF=∠ACD. .∠OAB=∠OBA. 在△C'AF和△ACD中， 同理可证∠EFO'=∠FEO' ∠AFC=∠CDA, .∠AOB=∠EO'F.① ∠C'AF=∠ACD. 又，OMCF,MO'∥AC, CA=AC. 14