22.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定(一)-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（冀教版）

22.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（一）（答案P18) 通基础 求证：四边形ADCF是平行四边形 知识点1一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形 1.能判定四边形ABCD是平行四边形 的是( ) A.AB//CD,AB=CD B.AB=BC,AD=CD C.AC=BD,AB=CD 知识高2两组对角分别相等的四边形是平行 D.AB//CD,AD=CB 四边形 2.如图所示，在□☐ABCD中，E,F分别是边 5.要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A: AD,BC上的动点，且AE=BF.连接AF, ∠B:∠C:∠D可能为() EF,CE,在点E,F的运动过程中，图中除四 A.2:3t6:7 B.34:5:6 边形ABCD之外的平行四边形最多 C.3:3:5:5 D.4;5:4:5 有() 知识点3平行线间的距离处处相等 6.如图所示，已知11∥12，ABCD,CE⊥12于点 E,FG⊥l2于点G,则下列说法错 误的是() A.3个 B.4个 A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度 C.5个 D.6个 B.CE=FG 3.如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD, C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线 CF⊥BD,垂足分别为点E,F,请你只添加 间的距离 个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF D.AC=BD 为平行四边形，你添加的条件是 第6题图 第7题图 4.(2024·石家庄长安区期末)如图所示，在 7.如图所示.AB∥CD,BC⊥AB.若AB= △ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的 4cm,S△ABc=12cm2,则△ABD中AB边 中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于 上的高为() 点F,连接CF. A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 86 忧十学课时通 通能力 11.(2024·保定莲池区月考)如图所示，E,F分 别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的 8.(2024·石家庄新华区期末)如图所示，在四 点，AF与DE相交于点P,BF与CE相交 边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的 于点Q,若S△APD=a,S△Bec=b,S RABCD= 表示角相等)，下列判断正确的是( c,则阴影部分的面积为() A.a+b B.zc-a-b 2 C.c-2a-b D.2a+b A.只有图①中的四边形一定是平行四边形 B.只有图②中的四边形一定是平行四边形 C.图①、图②中的四边形都一定是平行四 边形 D.图①、图②中的四边形都一定不是平行四 第11题图 第12题图 边形 9.推理能力求证：两组对边分 12.(2024·邯郸丛台区月考)如图所示，四边形 别相等的四边形是平行四 ABCD中，AD∥BC,AD=8cm,BC= 边形 12cm,M是BC上一点，且BM=9cm,点 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB= E从点A出发以1cm/s的速度向点D运 CD,DA=BC. 动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向B 求证：四边形ABCD是平行四边形. 运动，当其中一点到达终点，另一点也随之 以下是排乱的证明过程： 停止，设运动时间为t秒，则当以A,M,E,F ①∴.∠BAC=∠DCA,.ABCD 为顶点的四边形是平行四边形时，t=() ②∴.四边形ABCD是平行四边形.（一组对边 A号 平行且相等的四边形是平行四边形) ③连接AC,,AB=CD,BC=DA,AC=CA, c D号 ④.△ABC≌△CDA(SSS), 13.推理能力如图所示，在□ABCD中，AB= 证明步骤正确的顺序是() 4cm,AD=12cm,点P在边AD上以每秒 A.③→④→①→②B.③→①→④→② 1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边 C.③→①→②→④D.②→③→①→④ BC上以每秒3cm的速度从点C出发，在 10.在梯形ABCD中，AD∥BC,四边形 CB间往返运动.两个点同时出发，当点P到 AB'CD是平行四边形，则∠A:∠B: 达点D时停止运动（同时点Q也停止运 ∠C:∠D与∠A':∠B':∠C':∠D'的 动).在这段时间内，当运动时间为 5 值可能分别是() 时，线段PQ∥AB. A.2:3:6:4和4：6：3：2 B.3:4:5:6和3：4：3：4 C.4:5:6:3和4：34：3 D.5:2:3:4和6：5：4：3 一八件级卡伊数学山 87 14.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= 通素养> 6,AC=9,点D,E分别是BC,AD的中点， AF∥BC,交CE的延长线于点F 16.如图所示，在□ABCD中，∠DAB=60°，点 (1)求证：四边形AFBD为平行四边形 E,F分别在CD,AB的延长线上，且AE= (2)求四边形AFBD的面积. AD,CF=CB. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形 (2)若去掉已知条件中∠DAB=60°，上述结 论还成立吗？若成立，请写出证明过程：若 不成立，请说明理由. 15.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC,点 D在BC上，以AD,AE为腰作等腰三角形 ADE,且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E 作EM∥BC交CA的延长线于点M,连 接BM. (1)求证：△BAD≌△CAE. (2)求证：四边形MBDE是平行四边形 f88 优学案课时通.OE-OA=OF-OC,即AE=CF .四边形ABFE与四边形CDEF的周长相等. 解法二：，四边形ABCD是平行四边形， ,'△AOE2△COF, ∴.AB=CD,AB∥CD,.∠BAC=∠DCA, .S△NE=S△F· ∴∠BAE=∠DCF 又，△AOB≌△COD,△BOC2△DOA. 又，四边形BEDF是平行四边形，DF∥BE S△AMm=S△aD,Samx=S△WA ,∴.∠BEF=∠DFE .S网边mFE=SAN家十S△ug十(S△ar一SaF)=S△v8十 即∠AEB=∠CFD. 在△ABE和△CDF中， SAmE-2SCARO ∠AEB=∠CFD. S周边临Dgr=Saaw十S△w十(SLrw一Saw）=San十 ∠BAE=∠DCF, AB=CD. S△w=交SAD ∴.△ABE≌△CDF(AAS).∴.AE=CF」 .Ss诗都Ag=S西由形 9B1a.c1.c1239 22.2平行四边形的判定 13.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 第1课时平行四边形的判定（一）】 ∴，OB=OD,ABCD 1.A2.A3.AE=CF(答案不唯一) .∠EBO=∠FDO. 4.证明：，'AF∥BC,.∠AFE=∠EBD. 又，∠BOE=∠DOF 在△AEF和△DEB中. '.△BOE≌△DOF(ASA). I∠AFE=∠DBE. ..OEOF, :∠FEA=∠BED, (2)①，·四边形ABCD是平行四边形， AE=DE. 0D=2BD=1,0A=2AC=E. .△AEF2△DEB(AAS). ∴AF=BD. 又AD=1, ..AF=DC. .AD+OD0A 又，AF∥BC, .∠AD0=90°，∠AOD=45° 四边形ADCF为平行四边形. .∠a=90°-45°=45 5.D6.C7.A8.A9.A10.C11.B12.D ②由(1)可得：EF垂直平分AC, 13.3或6或9 .AF=FC. 14.解：(1)证明：AF∥BC, 又AB=√/+2=√5=CD, .∠EFA=∠ECD,∠EAF=∠EDC. .△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+5. E是AD的中点.EA=ED, 14.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AO=CO. .△AEF≌△DEC(AAS),·AF=DC :∠COE=∠AOF,OE=OF, D是BC的中点，.BD=CD,∴BD=AF .△CEO≌△AFO(SAS),.CE=AF 又：BD∥AF,.四边形AFBD为平行四边形 (2)①：AC⊥AB,.∠CAB=90° (2):四边形AFBD为平行四边形， ∠DBA=45,∴.∠DBA=∠AOB=45, S动餐m=2S△A驰· .OC=OA-AB-1...AC=2...BC :D是BC的中点，∴S△Am=2SaAe √AB+AC=5. Smt和m-S△AMe: ②如图所示，过点A作AG⊥BC交BC于 ∠BAC=90°，AB=6,AC=9. 点G. 六Sa6Am=S△4x=2AB·AC=27. SAA= BXAC-BCXAG. 1 I5.证明：(1)AB=AC,∠ABC=∠ACB, 1X2-5×AGAG-2 ∠BAC=180°-2∠ABC. 5 ,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE,∴.AD=AE 六直线AD与BC之间的距离为25 ∴.∠ADE=∠AED, 51 .∠DAE=180°-2∠ADE 15.解：正确.理由如下： '∠ADE=∠ABC,∴.∠BAC=∠DAE 如图所示，在回ABCD中，AC,BD交 ·∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 于点O,过点O的任意一条直线EF交 .∠BAD=∠CAE. AD于点E,交BC于点F, 在△BAD和△CAE中 在□ABCD中， (AB=AC. :∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,OA=OC, ∠BAD=∠CAE, ∴.△AOE≌△COF(AAS) AD-AE. AE=CF.OE-OF. ∴.△BAD≌△CAE(SAS). BC=AD...BF=DE. (2)由(1)，得△BAD≌△CAE. 又，AB=CD, ∴.DB=CE,∠ABD=∠ACE. 18 AB=AC. ∴.△BED≌△CFD(AAS). ∴.∠ABD=∠ACB.∴.∠ACB=∠ACE. .ED=FD.,BD=CD,.四边形BECF是平行四边形， :EM∥BC,.∠EMC=∠ACB, (2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF. .∠ACE=∠EMC,.ME=EC △BEC,△BFC. .DB=ME.又EM∥BD. 14.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ,四边形MBDE是平行四边形 16.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 0A=3AC=6,0D-2BD=7. ,.DC∥AB,∠DCB=∠DAB=6O°，∠ADE=∠CBF= 在△AOD中，OD-OA<AD<OD+OA, 60°.，AE=AD.CF=CB,∴.△AED.△CFB都是等边三 即7-6AD<7+6, 角形. .1<AD<13. 在ABCD中，AD=BC,DC∥AB且DC=AB, (2)AC=BC,∠ACB=40°， .ED=BF.∴，ED十DC=BF+AB,即EC=AF ∴∠CAB=∠ABC=号180-∠ACB)=70 又，DC∥AB,即EC∥AF, .四边形AFCE是平行四边形. :四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=∠ABC=70. (2)上述结论还成立， (3)证明：，“四边形ABCD是平行四边形， 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OB=OD. .AD/∥BC,∠ADC=∠ABC,AD=BC,DC∥AB,DC=AB. ,点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE .∠ADE=∠CBF. AE-AD.CF=CB. CF,点G,H均在线段BD上，且BG=DH, ..OE-OF.OG-OH. .∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF. ,∴，四边形EGFH是平行四边形 .∠AED=∠CFB. 15.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 又·AD=BC..△ADE≌△CBF .DC=AB,AD=BC,∠B=∠D. ED=FB. AE=AH-CG=CF,.AB+AE=CD+CG.BC- DC=AB,..ED+DC=FB+AB.EC=FA. CF=AD-AH. 又·DC∥AB,.四边形AFCE是平行四边形. 即EB=GD,BF=DH, 第2课时平行四边形的判定（二）】 EB-GD. 1.B2.C 在△BFE和△DHG中，∠B=∠D 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 BF=DH. 4.证明：，△ADE≌△CBF,AD=BC,AE=CF, ,△BFE≌△DHG(SAS),.EF=GH. E,F分别为边AB,CD的中点， ,∠DAB=∠DCB,.∠EAH=∠FCG.同理△EAH≌ ..AB=2AE.CD=2CF...AB=CD. △(GCF(SAS),∴EH=FG,.四边形EFGH是平行四 ,,四边形ABCD是平行四边形， 边形. 5.B6.12 7.证明：，CE∥AB, (2)△AEH的面积=四边形EFGH的面积.理由如下： ,.∠ADE=∠CED 如图所示，设AC与GH交于点P,连接PE,PF ∠ADE=∠CED, AH=AE=CF=CG,∠BAD=∠AEH+∠AHE,AC 在△AOD与△COE中，（∠AOD=∠COE, 平分∠DAB, OA=0C. .∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠BAC. .△AOD2△COE(AAS), .EH∥AP, .OD=OE. .△AEH的面积=△PEH的面积， ∴四边形ADCE是平行四边形. 同理，可得△GCF的面积=△PFG的面积. 8.C9.C10.①②③ :由(1)得△EAH≌△GCF, 11.(5,3)或(1，-3) .△EAH的面积=△GCF的面积， 12.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,△AEH的面积+△PFG的面积=2△AEH的面积= ..AO=CO.BO=DO. 专平行因边形EGH的面积， E,F,G,H分别是AO,BO,C),D)的中点 B0=2A0.G0=200.F0=7B0,H0=2D0 ∴△AEH的面积-四边形EFGH的面积 .EO=GO.FO=HO. .四边形EFGH是平行四边形. 13.解：(1)证明：D是BC的中点，BD=CD, BE⊥AE,CF⊥AE,.∠BED=∠CFD=90, 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD, 22.3三角形的中位线 ∠BDE=∠CDF, BD=CD. 1.B2.23.D4.C5.D6.A 19