18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

第3课时 三角形的中位线（答案P12) 0通集础》9999999999999999” 6.(2024·烟台蓬莱区期末)要证明一个几何命 题，一般要经历以下步骤： 知识1三角形的中位线定理 依题意而图 写出心知，求证 推理证明 1.(2024·沧州盐山期末)如图所示，在△ABC 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于 中，∠C=90°，AB=13,AC=5,D,E分别是 三角形的第三边，并且等于第三边的一半 AC,AB的中点，则DE的长是() 已知：如图所示，在△ABC中， A.5 B.6 C.7 D.8 求证： 证明： 第1题图 第3题图 2.在△ABC中，点D,E分别是△ABC的边 AB,AC的中点，连接DE.若∠C=68°，则 ∠AED=( A.22 B.68 C.96 D.112 3.如图所示，DE是△ABC的中位线，过点C作 CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论 正确的是( ) A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE 知识点2三角形中位线定理的应用 4.(2024·渭南蒲城期末)如图所示，在 7.教材P49习题18.1T3变式◆成都大运会主火炬 Rt△ABC中，∠C=90°，点D为边BC的中 塔位于东安湖体育公园，如图所示，小明想测 点，连接AD,点E,F分别为AB,AD的中 量东安湖A,B两点间的距离，他在东安湖的 点，连接EF,若EF=3,AC=5,则△ABC的 一侧选取一点O,分别取OA,OB的中点 面积为( M,V,但M,N之间被障碍物遮挡，故无法测 A.12 B.15 C.60 D.30 量线段MN的长，于是小明在BO,AO延长 线上分别选取P,Q两点，且满足OP=ON, OQ=OM,小明测得线段PQ=90米，则A,B 两点间的距离是 米 第4题图 第5题图 5.如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别是边 AB,BC,CA的中点，若AB=6cm,AC=8cm, 则四边形ADEF的周长等于 cm. 优学泰说时道 通能分> 通素养 8.如图所示，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB= 11.(2024·东营广饶期末)【三角形中位线定理】 120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点， 已知：如图①所示，在△ABC中，点D,E分 若DE平分△ABC的周长，则DE的长 别是边AB,AC的中点.写出DE和BC的关 为() 系并说明理由 B2+1 【应用】 C.2 D.3 2 如图②所示，在四边形ABCD中，点E,F分 别是边AB,AD的中点，若BC=5,CD=3, EF=2,∠AFE=45°，求∠ADC的度数 【拓展】 第8题图 第9题图 如图③所示，在四边形ABCD中，AC与BD 9.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°， 相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点， AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线， MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG. 延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线 求证：BD=AC. 于点F,则线段DF的长为() A.7 B.8 C.9 D.10 10.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D是 边AB上一点，DE∥BC交AC于点E,连接 BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的 中点 (1)求证：FG=FH. (2)当∠A为多少度时，FG⊥FH?并说明 理由。 一八年领下的+数学财 5520.解：(1)出发前，EF与MN互相平分.理由如下： 如图①所示，设对角线AC与BD相交于点O. BE=CF=号CD=3,则EH=BE-BH=3-2=1 ,四边形ABCD是平行四边形， 在R△CHE中，根据勾股定理，得CE=√CH+EH= ,OA=OC,OB=OD,即EF与MN互相平分 √/(23)+1=13. AE月 D(M) M D 10.解：(1)12 0 (2)证明：，AB=AC,.∠ABC=∠C,即∠PBQ=∠C .PQ∥AC,.∠PQB=∠C, B(N) ∴∠PBQ=∠PQB,.PB=PQ ① 2 (3)分两种情况： (2)若同时出发，(1)中的结论仍成立.理由如下： ①当点M在点D的上方时，如图①所示. 如图②所示，连接EM,EN,FN,FM, 由题意，得PQ=-BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm, ,四边形ABCD是平行四边形， .MD=AD-AM=(12-4t)cm. .∠A=∠C,AD=BC. PQ∥AC,∴.PQMD, 由题意，得AE=CF,DM=BN,.AM=CN,BE=DF. ∴.当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形， (AE=CF, 即当t=12-4t时，四边形PQDM是平行四边形， 在△AEM与△CFN中， ∠A=∠C AM=CN, 解得一号 .△AEM≌△CFN(SAS),∴.EM=FN ②当点M在点D的下方时，如图②所示. 同理可证EN=MF,∴.四边形ENFM是平行四边形， 根据题意，得PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm, ,.EF与MN互相平分. .MD=AM-AD=(4t-12)cm. 第2课时平行四边形的判定2 PQ∥AC,.PQMD, 1.A .当PQ=MD时，四边形PQMD是平行四边形， 2.证明：在△ABE与△CDF中， 即当t=4t-12时，四边形PQMD是平行四边形， AB=CD. 解得1=4， AE-CF, 12 或t=4时，以P,Q,D,M为顶点的四 BE-DF, 综上所述，当1= .△ABE≌△CDF(SSS), 边形是平行四边形 .∠ABE=∠CDF, .AB∥CD, .四边形ABCD是平行四边形 3.C4.45.D 6.解：(1)证明：，四边形ACFD是平行四边形， ∴.AC∥DF,AC=DF AB=FE. ..AC-AB=DF-FE, D 即BC=DE, 第3课时三角形的中位线 ∴.四边形BCED是平行四边形. 1.B2.B3.B4.D5.14 (2)由(1)可知，BC=DE=6,四边形BCED是平行四边形， 6.解：已知：如图所示，在△ABC中， .BD∥CE, 点D,E分别是AB,AC边的中点. ,∴.∠DBN=∠CNB 求证：DE/BC,且DE=BC, BN平分∠DBC, .∠DBN=∠CBN, 证明：如图所示，延长DE到点F,使DE=EF,连接FC, .∠CBN=∠CNB, DC,AF. ..CN=CB=6, 在△AED和△CEF中， 即CN的长为6. (AE-EC, 7.A8.BF=DE(答案不唯一) ∠AED=∠CEF, 9.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， DE=EF, .ABCD,且AB=CD ',△AED≌△CEF(SAS), .CF=AD,∠DAE=∠FCE, :F是CD的中点，CF=2CD, ∴.CF∥AB. AD=DB. 又：BE--AB.:CF=-BE. .CF=DB. ,CF∥BE,.四边形BECF是平行四边形. 四边形DBCF为平行四边形， (2)如图所示，过点C作CH⊥BE于 ∴.DF=BC,DF∥BC. 点H. 在口ABCD中，AB∥CD,∠A=60°， DE-7DF. .∠CBE=∠A=60°， ∴DE=-BC,DE∥BC. .AB=6,AD=4,.CD=AB=6. CB=AD=4. 7.1808.C9.B 在Rt△BCH中，∠BCH=90°-∠CBE=30°， 10.解：(1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB :DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ·BH=2CB=2, .∠ADE=∠AED,AD=AE,.DB=EC 点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点， ∴CH=√BC-BH=√4-2=25. ,.FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， 由(1)可知，四边形BECF是平行四边形， 12 FG-BD,FH-CE.FG-FH. ∴SAe=Sa=S+S=XAB·EBM+号X (2)当∠A=90时，FG⊥FH, 理由：延长FG交AC于点N BC.EN=7×6x24=2 ,FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， 11.解：(1)证明：点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，∴.DE, .FH∥AC,FN∥AB. EF都是△ABC的中位线，.EF∥AB,DE∥AC,.四边形 FG⊥FH,∠A=90,当∠A=90时，FG⊥FH. ADEF是平行四边形. 1.解：【三角形中位线定理]DE,/BC,DE=号BC. (2),四边形ADEF是平行四边形， .∠DEF=∠BAC 理由：：点D,E分别是边AB,AC的中点， D,F分别是AB,CA的中点，AH是边BC上的高， DE是△ABC的中位线， .∠AHB=∠AHC=90°，∴.DH=AD,FH=AF, .DE/BC,DE-BC. '.∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA. ∠DAH+∠FAH=∠BAC,∠DHA+∠FHA=∠DHF, 【应用】连接BD,如图①所示. .∠DHF=∠BAC,.∠DHF=∠DEF ,E,F分别是边AB,AD的中点， ∠AHF=20°，∠AHD=50°， .EF∥BD,BD=2EF=4, ∴.∠DEF=∠DHF=∠AHF+∠AHD=20°+50°=70°. .∠ADB=∠AFE=45° 12.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， BC=5,CD=3, .AD∥BC,.∠DPC=∠PCB. ∴.BD2+CD2=25,BC2=25, ,CP平分∠BCD,.∠PCD=∠PCB ∴BD2+CD2=BC2, .∠DPC=∠DCP,.DP=CD ∠BDC=90°， 'CD=CP,∴CP=CD=DP, '∠ADC=∠ADB+∠BDC=135 △PDC是等边三角形，∴.∠B=∠D=60 (2):四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.PD∥BC. 若以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形，则PD= BQ,设运动时间为t秒 ①当0≤t≤3时，PD=6-0.5t,BQ=6-2t, ① ② .6一0.5t=6一2t,解得t=0; 【拓展】证明：如图②所示，取DC的中点H,连接MH,NH. ②当3<t≤6时，PD=6-0.5t,BQ=2t-6, M,H分别是AD,DC的中点， .6-0.5t=2t一6，解得1=4.8： MH是△ADC的中位线， ③当6<1≤9时，PD=6-0.5t,BQ=18-2t, .MH/AC.MH-AC, ∴.6-0.51=18-2t,解得t=8: ④当9<t≤12时，PD=6-0.5t,BQ=2t一18， 同理可得NH/∥BD,NH=乞BD, ∴.6-0.5=2t一18，解得t=9.6. 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时， EF-EG, 以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形， ∴.∠EFG=∠EGF 18.2特殊的平行四边形 .'MH∥AC,NH∥BD 18.2.1矩形 '.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, 第1课时矩形的性质 .∠HMN=∠HNM, 1.(2)平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ..NH=MH, (3)矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 ..BD-AC. 2.B3.D 阶段检测一(18.1.1~18.1.2) 4.解：CP=AQ.理由： ,四边形ABCD是矩形， 1.C2.B3.B4.B5.B6.57.8 ∴.∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD,AD=BC, 8.√419.(5,3)或1，-3) AB∥CD,AD∥BC, 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∠E=∠F ∴.AD∥BC,AD=BC,∠ABC=∠ADC, BE=DF. .∠DAC=∠BCA. ..AE=CF. :BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC, 在△CFP和△AEQ中， ∴∠ADF=∠AC,∠CBE=-∠ABC. ∠C=∠A, CF=AE, .∠ADF=∠CBE. ∠F=∠E 又AD=BC,∠DAC=∠BCA, ,.△CFP2△AEQ(ASA), ,.△ADF≌△CBE(ASAU, CP-AQ .BE=DF. 5.C6.15 (2)如图所示，过点E作EN⊥BC 7.解：(1)证明：：四边形ABCD是矩形， 于N. .AC=BD,BC∥AD,即BC∥DE 'BE平分∠ABC,EM⊥AB, :BD∥CE,∴.四边形DECB是平行四边形， EN⊥BC, ..BD=CE,..AC=CE ∴.EM=EN=6. (2),四边形DECB是平行四边形， 平行四边形ABCD的周长 ,'.BC=DE=6. 为48， :AB=CD=8,∴BD=√BC2+CD=10. .AB+BC=24, 四边形ABCD是矩形， ..OA+OB=BD=10, 13