18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定1-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

(2)四边形ABCD是平行四边形. :点B与点E关于AC为“互余对顶点” .AD∥BC,AB=CD,∠BAD=∠C=110', .∠E=90°-∠B=90°-55"=35 ∠B+∠C=180. ,AE=AC,.∠ACE=∠E=35 ∠C=110°， ,四边形ABCD是平行四边形 .∠B=180°-110°=70. .ABCD,.∠ACD=∠CAB=55°， BE=CE,CE=CD. .∠DCE=∠ACD-∠ACE=55°-35=20° ..AB=BE. 18.1.2平行四边形的判定 ∴.∠BAE=∠BEA=(180°-70)÷2=55°. 第1课时平行四边形的判定1 .∠DAE=∠BAD-∠BAE=110°-55"=55 1.B2.C3.C4.3□ABCE,□ABGC,▣AFBC 8.C9.B10.C11.D12.6 5.C 13.(-2-a,-b)或(2-a,-b) 6,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 7,证明："，'△ADE≌△CBF,AD=BC.AE=CF ..AB=CD,BC=AD.AD//BC, E,F分别为边AB,CD的中点，.AB=2AE,CD=2CF, 连接AE,如图所示， ,.AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形 8.C9.平行四边形10.A11.12 12.D13.A14.D15.45 16.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 17.证明：证法一：四边形ABCD是平行四边形， ∠DAE=∠AEB.DE=BC,∴.DE=AD. .∠DAB=∠BCD,AD∥BC '.∠DAE=∠DEA,∴.∠AEB=∠DEA=∠AEF :AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD, AE=AE. ∴∠FAE-∠DAB,∠ECF-号∠BCD, 在△ABE与△AFE中， ∠AEB=∠AEF BE=FE. .∠FAE=∠ECF.,AF∥EC, ∴.△ABE≌△AFE(SAS),∴.AB=AF .∠AFC+∠ECF=180°，∠FAE+∠AEC=180 .∠AFC=∠AEC,∴.四边形AFCE是平行四边形 .AB-CD...AF-CD. 证法二：，四边形ABCD是平行四边形， (2)图中与∠B互补的角是∠BAD,∠BCD,∠AC,∠AFD. 15.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ·∠DAB=∠BCD,AB∥CD,AD∥BC .∠DEA=∠BAE.∠DCF=∠BFC ∴.∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120° AE平分∠BAD.∠BAE=∠EAD=60, ,AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线， .△ABE是等边三角形，.AB=AE, .∠DAE=∠BAE,∠DCF=∠BCF, (2):AB1 .∠BAE=∠BFC,.AE∥CF BC2AB-1 ,'ABCD,.四边形AFCE是平行四边形 18.证明：，△ABE,△BCF为等边三角形， ∴AE=BE=2BC.∴AE=CE,∴∠EAC=∠BCA. .AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°， '∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°， ∠FBE=∠CBA. BF=BC. .∠EAC=30°，.∠B4C=90. 在△FBE和△CBA中，{∠FBE=∠CBA, :AC=45,AB+(43)°=(2AB),∴.AB=4(负值舍去)， EB=AB. 口ABCD的面积=2SAx=2X号AB·AC=4X45 ,△FBE≌△CBA(SAS)..EF=AC. 又，△ADC为等边三角形，.CD=AD=AC,.EF=AD 16√3. 同理可得AE=DF,.四边形ADFE是平行四边形. 16.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 19.解：(1)：∠ACB=90°，∠CAB=30° .OB=OD,AB∥CD. .∠EBO=∠FDO. .BC-2AB. 又，∠BOE=∠DOF, 设BC=x,则AB=2r, ∴.△BOE2△DOF(ASA) x2+32=(2.x)2 ∴.OE=)F 解得=（舍去负值）。 (2)①，·四边形ABCD是平行四边形， 即BC=√3.AB=25 ∴0D=2BD=1.0A=2AC-E. :△ABD是等边三角形， 又AD=1, .AB=AD=23. .AD+OD=0A. (2)证明：：∠ACB=90°，∠CAB=30, .∠AD0=90°，∠AOD=45 .∴.∠a=90°-45°=45. ∴BC=2AB,∠ABC=60 ②由(1)可得EF垂直平分AC, :△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠BAD=60,AB=AD. .AF=FC. .∠ABC=∠BAD. 又AB=√/1+2=5=CD, .BC∥DA. ∴，△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1十5. :点E是线段AB的中点， 17.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ..AD=BC..AE=AD=AC...AE=AC=BC. :.CE-7AB-BE-AE. ∴，点B与点E关于AC互为“对顶点” '∠ABC=60°.即∠EBC=60° (2).AC=BC,∠ACB=70°，.∠B=∠CAB= 2(180 ∴.△BCE是等边三角形， .∠BEC=6O°=∠ABD ∠ACB)=5×180-709=55 .BD∥CF.又BC∥DA, .四边形BCFD为平行四边形. 11 2.解：(1)出发前，EF与MN互相平分.理由如下： 如图①所示，设对角线AC与BD相交于点O. BE=CP=名CD=3,则EH=BE-BH=3-2=L ,四边形ABCD是平行四边形， 在R:△CHE中，根据勾股定理，得CE=√C+EH= ,∴.OA=(C,OB=(D,即EF与MN互相平分 (25)°+1=13. A(E DM 10.解：(1)12 (2)证明：，AB=AC,.∠ABC=∠C,即∠PBQ=∠C ,'PQ∥AC,∠PQB=∠C, .∠PBQ=∠PQB..PB=PQ ① 2 (3)分两种情况： (2)若同时出发，(1)中的结论仍成立.理由如下： ①当点M在点D的上方时，如图①所示 如图②所示，连接EM,EN,FN,FM, 由题意，得PQ=BPt cm,AM=4tcm,AD=12cm, ,四边形ABCD是平行四边形， MD=AD-AM=(12-4t)em. .∠A=∠C,AD=BC. "'PQ∥AC,.PQMD, 由题意，得AE=CF,DM=BN,,AM=CN,BE=DF ∴.当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形 AE=CF. 即当1=12一4！时，四边形PQDM是平行四边形， 在△AEM与△CFN中， ∠A=∠C, AM=CN. 解得1= 5· .△AEM≌△CFV(SAS)..EM=FN 当点M在点D的下方时，如图②所示 同理可证EV=MF,∴四边形ENFM是平行四边形， 根据题意，得PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm, ,,EF与MN互相平分. .MD=AM-AD=(41-12)cm. 第2课时平行四边形的判定2 PQ∥AC,.PQ∥MD, 1.A ,当PQ=MD时，四边形PQMD是平行四边形， 2.证明：在△ABE与△CDF中， 即当t=材一12时，四边形PQMD是平行四边形， AB=CD. 解得1=4. AE=CF, 12 BE-DF. 综上所述，当1= 或t=4时，以P,Q,D,M为顶点的四 .△ABE≌△CDF(SSS). 边形是平行四边形 .∠ABE=∠CDF, ..AB//CD, ,.四边形ABCD是平行四边形 3.C4.45.D 6.解：(1)证明：，四边形AC下D是平行四边形， .AC∥DF,AC=DF AB=FE. CB O .AC-AB=DF-FE. ① 即BC=DE, 第3课时三角形的中位线 ,四边形BCED是平行四边形 1.B2.B3.B4.D5.14 (2)由(1)可知，BC=DE=6,四边形BCED是平行四边形， 6.解：已知：如图所示，在△ABC中， .BD∥CE, 点D,E分别是AB,AC边的中点， ∴.∠DBN=∠CNB 求证：DE∥BC,且DE=2BC. BN平分∠DBC, .∠DBN=∠CBN, 证明：如图所示，延长DE到点F,使DE=EF,连接FC, ∴∠CBN=∠CNB, DC.AF. ∴CN=CB=6, 在△AED和△CEF中， 即CN的长为6. AE-EC, 7.A8.BF=DE(答案不唯一) ∠AED=∠CEF, 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， DE=EF. AB∥CD,且AB=CD ∴△AED≌△CEF(SAS), .CF=AD,∠DAE=∠FCE, :F是CD的中点CF=2CD, ∴.CF∥AB. .AD-DB. 又：BE=名ABCF=BE. .CF=DB. ,CFBE,.四边形BECF是平行四边形 ,.四边形DBCF为平行四边形， (2)如图所示，过点C作CH⊥BE于 .DF=BC,DE∥BC 点H 在口ABCD中，ABCD,∠A=60°， DE-TDF. .∠CBE=∠A=60, ,AB=6,AD=4,.CD=AB=6, B HE .DE-BC.DE/BC. CB=AD=4. 7.1808.C9.B 在Rt△BCH中，∠BCH=90°-∠CBE=30", 10.解：(1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB ,'DE∥BC,.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, BH-7CB-2. .∠ADE=∠AED,.AD=AE,.DB=EC 点F,G.H分别为BE,DE,BC的中点， .CH=√BC-BHF=④-2=23. .FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， 由()可知，四边形BECF是平行四边形， 1218.1.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定1（答案P11) 道基佛》 知识点2两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 知识点1两组对边分别平行的四边形是平行 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD, 四边形 BC=AD,若∠B=110°，则∠A的度数为() 1.(2024·邯郸成安期末)小军不慎将一块平行 1 四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两 块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平 行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( ) A.110 B.80° C.70 D.909 3 2 6.(2024·晋城阳城期末)如图所示，点D是直 线1外一点，在1上取两点A,B,连接AD,分 A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 别以点B,D为圆心，AD,AB的长为半径画 2.(2023·安阳一模)如图所示，E是四边形ABCD 弧，两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形 的边BC延长线上的一点，且AB∥CD,则下 ABCD是平行四边形，理由是 列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形 的是( 7.教材P50习题18.1T4变式如图所示，在四边 形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点， A.∠D=∠5 B.∠3=∠4 若△ADE≌△CBF. C.∠1=∠2 D.∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形. 3.如图所示，在□ABCD中，AB=8,点E是AB 上一点，AE=3,连接DE,过点C作CF∥ DE,交AB的延长线于点F,则BF的长 为() A.5 B.4 C.3 D.2 第3题图 第4题图 4.如图所示，AB∥EG,EF∥BC,AC∥FG,图中 有 个平行四边形，它们分别 是 一八年领下的+数学财 49 知识点3两组对角分别相等的四边形是平行 A.(-3,2) B.(-4,2) 四边形 C.(0,-4) D.(2,4) 8.(2024·南京秦淮区期中)一个四边形的三个 14.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC, 内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行 BD相交于点E,∠CBD=90°，BC=4,BE= 四边形的是( ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积 A.92°，88°，88 B.102°，88°，102 为( C.92°，88°，92 D.92°，78°，92 9.如果一个四边形的每对相邻内角都互补，那么 这个四边形是 知识点4对角线互相平分的四边形是平行 A.6 B.12 C.20 D.24 15.教材P50习题18.1T10变式》如图所示，在 四边形 10.(2024·大连中山区期末)下列条件中，能判 □ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上， 定四边形是平行四边形的是( 且BE∥DF.若∠EBF=45,则∠EDF的度 A.对角线互相平分 数是 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 1L.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD 16.若一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且 的交点，且OB=OD,AC=24cm,则当 a2+b2+c2+d=2(ac+bd),则这个四边形 OA= cm时，四边形ABCD是平行 是 ,依据是 四边形 17.-题多解)如图所示，在□ABCD中，AE, 通能月22999930> CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线， 求证：四边形AFCE是平行四边形. 12.已知四边形ABCD,下列条件不能判定它是 平行四边形的是() A.AB=CD,BC=AD B.∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:1:2 C.AB∥CD,BC∥AD D.AB∥CD,BC=AD 13.如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别是A(1,0),B(一1,3)， C(一2，一1)，再找一点D,使它与点A,B,C 构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标 不可能是( d 50 优学泰说时温 18.如图所示，在△ABC中，AB≠AC,△ACD, 通素养> △ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三 角形，连接DF,EF. 20.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点 求证：四边形ADFE是平行四边形. M从点D运动到点A的速度与点N从点B 运动到点C的速度相同，点E从点A运动到 点B的速度与点F从点C运动到点D的速 度相同，连接EF,MN. (1)出发前，EF与MN是否互相平分？请说 明理由。 (2)若同时出发，(1)中的结论还成立吗？为 什么？ 19.(2024·佛山期末)如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边 在AB上方作等边△ABD,点E是线段AB 的中点，连接CE并延长交线段AD于点F. (1)若AC=3,求AD的长. (2)求证：四边形BCFD是平行四边形， 一八年领下的+数学财 51》