18.1.1平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

第2课时 平行四边形对角线的性质（答案P10) 通塞础99999999299799 知识2平行四边形性质的综合应用 5.如图所示，在□ABCD中，AC与BD相交于 知汉点1平行四边形对角线的性质 点O,则下列结论不一定成立的是() 1.教材P49习题18.1T3变式》如图所示，平行四 边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 且AC+BD=16,若△BCO的周长为14，则 AD的长为() A.AO=DO A.6 B.8 C.9 D.12 B.CD=AB C.∠BAD=∠BCD D.AD∥BC,且AD=BC 6.如图所示，在□ABCD中，AB=8,BC=10,对 第1题图 第2题图 角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别 2.(2024·临沂兰山区期中)如图所示，在平行四 交AD,BC于点E,F,且OE=3,则四边形 边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,对角 EFCD的周长是( 线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围 是() A.1 cm<OA<4 cm B.2 cm<OA<8 cm C.2 cm<OA<5 cm D.3 cm<OA<8 cm A.20 B.24 C.28 D.32 3.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC 7.(2024·承德期末)如图所示，已知在平行四边 与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E, 形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC AB=3,AO=2,BC=5,则AE的长为 于点E. (1)求证：CD=CE (2)若点E是BC的中点，∠C=110°，求 ∠DAE的度数 4.一题多解◆如图所示，□ABCD和□EBFD的 顶点A,C,E,F在同一条直线上，求证： AE=CF. 46 优学棒课的温 易错平行四边形对角线平分而非相等 12.教材P44练习T2变式◆如图所示，在□ABCD 8.下列结论正确的有( 中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直 ①平行四边形内角和为360°：②平行四边形对 线分别交AD,BC于点E,F,则图中的全等 角线相等：③平行四边形对角线互相平分： 三角形共有 对 ④平行四边形邻角互补 13.已知口ABCD的顶点A在第三象限，对角线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 AC的中点是坐标原点，边AB与x轴平行 且AB=2.若点A的坐标为(a,b),则点D 0通能力》99999999999299929 的坐标为 9.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC 14.已知：如图①所示，在□ABCD中，DE=BC, 和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD BE=EF. 和BC于点F,E.若设该平行四边形的面积为 (1)求证：AF=CD 2,则图中阴影部分的面积为( (2)如图②所示，连接AE,当AE=AF时，在 A.4 B.1 不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接 1 写出图中与∠B互补的角。 C.2 D.无法确定 第9题图 第10题图 10.推理能力，如图所示，在□ABCD中，对角线 AC,BD交于点O.若AB=2,AC=8. BD=m,AD=n.则化简：√(n-10)F+ √(m一1)的结果为() A.n十m-11 B.n-m-9 C.m-n+9 D.11-m-n 11.如图所示，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE 若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长 为() A.28 B.24 C.21 D.14 第11题图 第12题图 一八年级下始+数学：对 47 15.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, 通素养 BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点 E,且∠ADC=60 17.阅读理解阅读与思考： (1)求证：AB=AE. 若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等 (者-AC=4后，逢接OB,求平行 腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互 为“对顶点”.若再满足不在公共腰上的两个 四边形ABCD的面积. 角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为“互 余对顶点” 如图①所示，在四边形ABCD中，AC是一条 对角线，CD=CA=CB,则点B与点D关于 AC互为“对顶点”.若再满足∠B十∠D 90°，则点B与点D关于AC为“互余对顶点”， 任务：如图②所示，平行四边形ABCD与四 边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形 的对角线，AE=AD=AC,∠ACB=70°. (1)求证：点B与点E关于AC互为“对顶点” (2)当点B与点E关于AC为“互余对顶点” 16.(2024·东营河口区期末)如图①所示， 时，求∠DCE的度数. 口ABCD的对角线AC和BD相交于点O, EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E 和点F. (1)求证：OE=OF. (2)如图②所示，已知AD=1,BD=2,AC 22,∠DOF=∠a. ①当∠a为多少度时，EF⊥AC? ②在①的条件下，连接AF,求△ADF的 周长 48 优计学棒说的益①当入ABC是锐角或直角三角形,如图①所示; '.乙ADF-CBE. :CDAB..CDA-90. :AD=BC,BE-DF. .CD-③,AD-1,由勾股定理,得AC-2. ..△ADF△CBE(SAS). AB=2AC.AB-4.$BD-4-1-3. .AF-CE. *.BC-CD+BD-(3)+3-2③ (2)·AD1BD. BAD-60.AD/BC. ②当△ABC是钝角三角形,如图②所示, '. ABD-30*,BC 1BD 同理,得AC-2,AB-4. .四边形ABCD为平行四边形 *AD/BC,BC-AD-23. $BC-CD+BD-③)+5-2、$7 .AB-2AD-4/3. 综上所述,BC的长为23或2/7 .BD- AB-AD-(43)-(23)*-6. .DF-BE-2. *.FF-DF+BD+BF-10. $$_r-FF·B-x10X23-10V3. ② 20.解:(1)证明:·'G,H分别是AC的三等分点, 【通模拟】 .AG-GH-HC. ·四边形ABCD是平行四边形, 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.45{ 7.解:(1)连接PB. .AB/CD,AD/BC. · ACB-90*,AB-10cm,BC-6cm. . EAG- FCH. *AC=VAB-BC*-8(cm). .GE//BC.HF//AD...GE/FH ./EGH- GHF. .CP*+BC-PB,PA-PB-2tc m. .AGE-_CHF. 25 '(8-2)+6-(2)*..1- .△AEG△CFH(ASA). 8 (2)如图所示,过点E作ENLAC于点N. (2)当点P在 BAC的平分线上时,如图所示;过点P作 .'GE/BC. PEAB于点E, './ACB- AGE-60* .ENAC. . GEN-30*. .NG-GF=1.EN-FGNG3. . BAC-45*,EN1AC, 此时BP-(14-2t)cm,PE-PC-(21-8)em. .AN-EN-③. BE-10-8-2(cm). .AG-③+1. 在Rt△BEP中,PE+BE-BP. .G,H分别是AC的三等分点 即(2-8)+2-(14-2t)*. ..AC-3AG-33+3. 解得,1 21.解:(1)90-。 (2)①相等,理由:·四边形ABFE是平行四边形, 当/一12时,点P与A重合,也符合条件. *.AB/EF..乙CDE-乙ABC-. 16 .当:= 由(1)知ADE-90*-a. 【通中考】 *. ADC=CDE+ADE-a+(90*-a)-90. 8.B 9.C 10.D 11.60 ..ADIBC..AB=AC...BD=CD. 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 第2课时 平行四边形对角线的性质 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边和角的性质 1.A 2.D 3.B 4.110* 5.解:,四边形ABCD是平行四边形。 4.证明:证法一:连接BD:交AC于点O.·.四边形ABCD与匹 .AB/CD.AB-CD. 边形EBFD都是平行四边形.*.OA-OC,OE-OF. '.OE-OA-OF-OC,即AE-CF. ..BAE- DCF. 在△ABE和△CDF中, 证法二,.四边形ABCD是平行四边形. AB-CD, *.AB-CD.AB/CD...BAC= ACD. 乙BAE-DCF. . BAE- DCF.又·DF/BE...BEF- DFE. .乙AEB一乙CFD.在△ABE和△CDF中. AE-CF. .△ABE△CDF(SAS). 乙AEB-乙CFD. .BE-DF. BAE= DCF...△ABE△CDF(AAS).'AE-CF 6.A 7.C 8.C 9.70* 10.D 11.D AB-CD, 12.(1)△APB 同底等高的三角形面积相等 5.A 6.B (2)△ACP与△BCP、△AOC与△BOP 7.解:(1)证明:·四边形ABCD是平行四边形 13.C 14.A 15.C .AD/BC. 16.30*17.4或-2 18.36* '.乙ADE-DEC. .DE平分乙ADC, 19.解:(1)证明,,四边形ABCD为平行四边形。 *.AD/BC,AD-BC. .ADE-EDC. ./DFC-EDC. .ADB- CBD. .CD-CE. 10 (2)·四边形ABCD是平行四边形; ·点B与点E关于AC为“互余对顶点”, $AD/BC,AB-CD. BAD= C=110$$$ $ E-90$$-$B-90$-55^$=35 $$$ B+ C-180。 ·AF-AC.乙ACE-E-35{。 :乙C-110*. ·四边形ABCD是平行四边形, ' B-180-110-70。 '$AB/CD. ACD= CAB-55$ .BF-CE,CE-CD. $. DCE= ACD- ACE=55$-35$- 0$ ..AB-BE. 18.1.2 平行四边形的判定 '. BAE- BEA-(180*-70*)-2-55^$。 第1课时 平行四边形的判定1 * DAE- BAD- BAE=110*-55$- $ $$ 1.B 2.C 3.C 4.3 □ABCE,□ABGC,□AFBC 8.C 9. B 10.C 11.D 12.6 5.C $3.(-2-,-b)或(2-,-b)$ 6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 14.解:(1)证明:·四边形ABCD是平行四边形, 7.证明:.△ADE△CBF...AD=BC.AE=CF *.AB=CD,BC-AD.AD/BC. ·E.F分别为边AB,CD的中点...AB-2AE,CD-2CF. 连接AF,如图所示: ·.AB=CD.'.四边形ABCD是平行四边形。 8.C 9.平行四边形 10.A 11.12 12.D 13.A 14.D 15.45* 16.平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 17.证明:证法一:·四边形ABCD是平行四边形. . DAE- AEB..DE-BC...DE-AD '.DAB-乙BCD.AD/BC. . DAE= DEA..AEB- DEA= AEF .AE,CF分别平分DAB,BCD. [AE-AE: <BCD. 在△ABE与△AFE中,AFB三乙AFF: IBE-FE, '. FAE= ECF..AF/EC. '.△ABE△AFE(SAS)...AB-AF. '. AFC+ECF=180”,FAE+AEC=180 “AB-CD...AF-CD. .乙AFC一乙AEC,..四边形AFCE是平行四边形. (2)图中与 B互补的角是 BAD.BCD.AFC,AFD 证法二:,四边形ABCD是平行四边形, 15.解:(1)证明:·'四边形ABCD是平行四边形, '.DAB= BCD.AB/CD.AD/BC. '. ABC= ADC-60*,BAD-120” '. DEA= BAE, DCF= BFC. :AF平分 BAD...BAE-EAD-60*. .AE.CF分别是乙DAB.BCD的平分线 '.△ABE是等边三角形...AB-AE. '. DAE= BAE. DCF-BCF. BC. .乙BAE= BFC...AE/CF. .BC.AB- .AB/CD...四边形AFCE是平行四边形 18.证明:.△ABE,△BCF为等边三角形, .AE-BF- -BC..AE-CE... EAC-乙ECA. '$AB-BE-AE,BC-$CF=FB. ABE- CBF-6 0*$ :AEB-EAC+ ECA-60* ..FBE= CBA. .EAC-30..BAC-90”。 BF-BC. 在△FBE和△CBA中, FBE= CBA, 'AC-4/③,AB+(4③)-(2AB).',AB-4(负值舍去). EB-AB, $□ABCD的面积-2SAnc-2X-AB·AC=4X4v3- .△FBE△CBA(SAS)...EF-AC. 又'△ADC为等边三角形..$CD=AD=AC.'FF=AD 163. 同理可得AE一DF...四边形ADFE是平行四边形. 16.解:(1)证明:.四边形ABCD是平行四边形, 19.解:(1)'乙ACB=90*. CAB-30. .OB-OD,AB/CD. *.BC-AB. .EBO=FDO. 又.BOE-/DOF: 设BC-:,则AB-2x. .△BOE%△DOF(ASA) '.+3-(2x). .OE-OF. 解得,一③(舍去负值). (2)①,四边形ABCD是平行四边形, 即BC-/③,AB-2/3. #B-1.0A-AC-v2. .0D- .△ABD是等边三角形, 又AD-1. .AB-AD-2/3. .AD+OD-OA. (2)证明:· ACB-90*.CAB-30* ' AD0=90. AOD-45”。 $.BC-AB,乙ABC=60{ '乙a-90*-45*-45”. ②由(1)可得EF垂直平分AC. .△ABD是等边三角形, .AF-FC. '. ABD- BAD-60*,AB-AD. '.乙ABC-乙BAD. 又AB-+2-5-CD. '.BC/DA. *.△ADF的周长=AD+DF+FA-AD+CD-1+5 .点F是线段AB的中点. 17.解:(1)证明:·四边形ABCD是平行四边形, '.CE-AB-BE-AE. $AD-BC..AE-AD-AC...AE-AC-BC '点B与点E关于AC互为“对顶点” ·乙ABC-60,即 EBC-60 (2):AC-BC. ACB-70.. B- CAB= ..△BCE是等边三角形. ..BEC-60-ABD. ACB)_ ..BD/CF.又BC/DA. '.四边形BCFD为平行四边形 11