17.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理及其递定理的综合应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用(答案P8 通基础 知应2勾股定理及其逆定理的综合应用 3.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努 可识画1勾股定理的逆定理的应用 力之下,在临街的拐角建造了一块绿化地(阴 1. 数学文化 我国南宋著名数学家秦九韶的著 影部分).如图所示,已知AB=9m,BC 作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙 12m,CD=17m,AD=8m.技术人员通过测 田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里, 量确定了 ABC-90{。 大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是 (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B 有一块三角形沙田,三条边长分别为5里; 再到点C位置,为了方便居民出人,技术人员 12里,13里,则该沙田的面积为( )平方里. 打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小 A.30 B.50 C.60 D.65 路,请问如果方案落实施工完成,居民从点A 2.如图所示,小彭同学每天乘坐地铁上学,他观 到点C将少走多少路程? 察发现,地铁D出口和学校O在南北方向的 (2)这片绿地的面积是多少? 街道的同一边,相距80米,地铁A出口在学 校的正东方向60米处,地铁B出口离D出口 住宅 100米,离A出口100/②米。 道 (1)求之ABD的度数 1 道 (2)地铁B出口离学校O的距离为 米. 通能力 4.如图所示是用三块正方形纸片设计的“毕达哥 拉斯”图案,其中三块正方形围成的三角形是 直角三角形.现有若干块正方形纸片,面积分 别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取) 按图的方式组成图案,则下列选取中,围成的 直角三角形面积最大的是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 n提长册:数学起 5. 推理能力如图所示,在△ABC中,AB:BC: (2)求原路线AB的长 CA=3:4:5,且周长为36m,点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动;点 Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度 D。 B。 ....... C 移动,如果同时出发,则过3秒时,点B到PQ 的距离为( ) A.3/2m B.6m 通养 C.3m D.6/2m 6. 模型观念如图所示是一个提供床底收纳支 8. 探究拓展如图所示,在△ABC中,AB 撑的气压伸缩杆,除了AB是完全固定的钢架 n*+1,BC=n-1,AC-2n 外,AD,BC,DE属于位置可变的定长钢架 (1)试判断△ABC的形状,并证明. 如图①所示,AD-13cm,BC-20cm,伸缩杆 (2)当n三2时,点D从点A出发,以1个单位 PQ的两端分别固定在BC,CE两边上,其中 长度/秒的速度沿折线A→B→C→A运动,设 PB=13cm,CQ=20cm.当伸缩杆完全收拢 运动时间为:秒. (即CD//AB)时,如图②所示,床高(CD与 ①当BD平分ABC时,求t的值 AB之间的距离)为12cm,则此时伸缩杆PC ②当点D落在边AB的垂直平分线上时,求 的长度为 cm.当ADC成180*时, t的值. 伸缩杆PQ打开最大,此时PQ的长度为 ③在整个运动过程中,直接写出△BCD为等 449cm,则固定钢架AB的长度为 cm. 腰三角形时:的值 ##_##。## 0E ② 7. 应用意识如图所示,在某江笔直的河流一侧 有一旅游地A,江边有两个景点B,C,其中 BA=BC.由于某种原因,从A到B的路现在 不通,为让游客有更好的体验,现决定在江边 新建一个景点D(B,C,D三点在同一直线 上),并修建一条公路AD,测得AC一6.5千米 DC-2.5千米,AD=6千米. (1)判断△ACD的形状,并说明理由17.2 勾股定理的逆定理 ·DB=AD=100米.' ABD= DAB=45$. 第1课时 勾股定理的逆定理 (2)20/65 1.A 2. B 3.C 4. D 5.24 3.解:(1)如图所示,连接AC. 6.解:(1)证明:连接CE,如图所示. ABC-90”,AB-9m.BC-12m. 街 '$AC-AB+BC=9+12= 化宅 A 15(m). 道 '$AB+BC-AC=9+12-15=6(m). 答:居民从点A到点C将少走6m B 路程。 街道 ( (2)*:CD-17 m,AD=8m.AC-15m. ·D是BC的中点,DE1BC. '.AD+AC-DC. ..EB-EC. '.△ADC是直角三角形,DAC-90”. :BE-EA-AC”'EC-EA-AC. .Sac-AD·AC- -1×8×15-60m). '.EC=EA十AC..△AEC是直角三角形..A=90 1 (2)·D是BC的中点,BD-2.5. -×9×12=54(m). -AB·AC- Sn= 1 “A-90”,AC-3, '.BC-2BD-5. $.SAo=60+54-114(m). AB-BC-AC-5-3-4. 答:这片绿地的面积是114m. .EB-FC. 4.B 5.A 6.15 29 .设EB-EC-r,则AE-4-x. 解析:如图①所示,过P作MN1AB,交AB于 在R△FAC中.3+(4-r)=x*. 点N,交DQ于点M. 则MN-12cm..BC-20 cm.BP-13cm. 25 7 解得)一 8{.AF一 $.CP-BC-BP-7m..AB/DQ 8 .PCp#M,MM . PC PM 7 7.D 8.(11.60,61) PM 9.B 10.B 11.B 12. 10 13.150 解得PM-21 2 21.m..在Ri△CPM中. 14.解:(1)不是. CM-CP-PM-28 理由如下: m. "AH-4,HK-6,KB-5. .QM-CQ-CM-72 '.AH+KB:HK. cm...在Rt△PoM中. 5 '以AH,HK,KB为边的三角形不是一个直角三角形 '点H,K不是线段AB的勾股分割点. PQ-PM+QM-15 cm. (2)设BK-x,则HK-24-8-x-16-x. 过点D作DF AB于点F,过点C作CH AB于点H:★ ①当BK为最长线段时,根据题意,得AH*+HK*-BK}, 图①所示, '.DF-CH-12 m:CD=FH=AB-AF-BH$ 即8{}+(16-x)-x*,解得x-10; 在Rt△ADF 中,AD=13cm. DFA-90”. ②当HK为最长线段时,根据题意,得 AH*+BK-HK,即8^+--(16-x),解得x-6 $$ .AF-vAD-DF-5cm. 综上所述,BK的长为10或6. 在 Rt△CHB 中,BC-20cm, CHB=90{, 15.解:(1)PQ- (-3-2)+(-8-4)-13. *.BH-BC -CH-16cm. (2)△AOB是直角三角形,理由如下: 'CD-AB-5-16-(AB-21Dcm AO-(1-0)+(2-0)-5,B0-(4-0)+(-2- 如图②所示, 0)-20,AB-(4-1+(-2-2)-25. *PC-7 cm,CQ-20 cm,PQ-449 cm. *.AO十BO-AB..'△AOB是直角三角形 7*+20=449.即PC+CQ=PQ. (3)如图所示,作点A关于:轴的对称点A’。 '.PCQ-90*- ACP. ·A(5,5).',点A的坐标为(5.一5).连接AB交x轴于点 在Rt△ABC申,AC+BC-AB*,即(AD+CD)+BC P,此时PA+PB的值最小, AB$*(13+AB-21)+20-AB,解得AB-29 cm '.PA+PB的最小值为A'B- #△_## C [5-(-4)]+(-5-7)-15. ② 7.解:(1)△ACD是直角三角形,理由如下: ·AC=6.5千米,DC-2.5千米,AD=6千米, $$AD+DC-6+2.5-42.25,AC-6.5-42.25 '.AD+DC-AC. 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 .△ACD是直角三角形. 1.A (2)由(1)可知AD|BC, 2.解:(1)由题意,得OA1OD...乙AOD-90。 设BD=r千米,则BA-BC-(r十2.5)千米. 由勾股定理,得AD=OA+OD= 60+80- 在R△ABD中,AD+BD}-AB. 100(米). .6+-(+2.5). *$AD+DB-100+100-20000. 解得x-5.95千米,.,5.95+2.5-8.45(千米) 又·AB-(100/②)-20000. .AB-8.45千米. 'AD+DB-AB.'ADB-90。 8.解:(1)△ABC为直角三角形.证明:AB{}-(n+1)=”+$$ 8 2十1. 在Rt△CDH中,有DH+CH=CD. BC$=(n-1)=n-2n$+1,AC=(2n)=4 n .(5)(1{) 则BC+AC-n'-2n+1+4n-'+2n{}+1. '.AB=BC+AC.△ABC是直角三角形。 综上,7-2或11或2.5或1.4. (2)当n-2时,AB-5.BC-3.AC-4. 特色素养专题(三)传统文化专题 ①如图①所示,BD平分 ABC,过点D作DE AB,垂足为 1. A 2. A 3.C 4.D 5.D 6.D E.又' C-90..'CD=DE. 数学活动 BD-BD. 在Rt△BCD和Rt△BED中. 1.解:(1)设旗杆的高度BC为x米,则绳子的长度为(x十1)米, CD-ED. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得:+4一(r十1). '.Rt△BCDRt△BED(HL)...BE-BC-3. 解得r-75. 设CD-DE-x.,AD-4-x,AE-5-3-2. 答:旗杆的高度BC为7.5米. 在Rt△AED中,有DE+AE-AD*. (2)由题意可知,BD=BC-7.5米,DE-4.5米,DF-EC. .+2-(4-x).r= -2-1.5. 在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE=BD一DE= 此时,AB+BC+CD-5+3+1.5-9.5. 7.5-4.5r-6(米). .1-9.5-1-9.5. '.FC-BC-BE=7.5-6-1.5(米). .DF-EC-1.5米. 答:此时绳结到地面的高度DF为1.5米. 2.解:(1)(a十b):(a-b)* (2)由图②可以看出,正方形CDEF的面积一正方形1K1 的面积一4个矩形的面积. '.(a+b):-(a-b)?-4ab. (3)'Snm arrar -Srxm nzp+Srr Hrr. +Sam+ S.n-SrrEAno+Sac+SMis. a+b+-a+-ab-+ 1 ② l .十- ②如图②所示,DD”垂直平分AB. 点D可能在点D处,也可能在点D”处。 本章综合提升 【本章知识归纳】 当点D在点D处时,AD'-1 2AB-2.5. 十6一C平方和 平方 【思想方法归纳】 1-2.5-1-2.5. 【例1】解:·AB一BD一5厘米,动点P 当点D在D处时. 从A出发(A→B→D)到D,速度为 连接BD”..DD”垂直平分AB。'BD”-AD" 2厘米/秒. n 设CD"为x,则BD”-AD”-4-x. .5秒时P点运动路程为2×5一 在Rt△BCD”中,有BC+CD”-BD”}. 10(厘米). 而AB十BD-10厘米...此时P与D *.AB+BC+CD-5+3+0.875-8.875. 重合: .1-8.875-1-8.875. ·AB-BC-CD-5厘米,动点Q从点D出发(D→C+ B→A)到A,速度为2.8厘米秒, 综上,t-2.5或.-8.875 ③当点D在AB上:BD-BC时, 2.5秒时Q点运动路程为2.8×5一14(厘米). 而DC+CB+BA-15厘米, 此时AD-5-3-2....-2-1-2. .Q在AB边上,且BQ一4厘来,如图所示. 当点D在AC上,BC-CD时. 在△BPQ中,.BQ-4厘米,PQ-3厘米,BP-5厘米, 此时AB+BC+CD-5+3+3-11...7-11-1-11. 当点D在AB上,且过BC的垂直平分线,BD-CD时,如图 *.BQ+PQ=BP.△BPQ为直角三角形, BQP= ③所示, 90...AQP-180*- BQP-90°。 .△APQ为直角三角形. *$ B= DCB: B+ A= DCB+ DCA=90 $$$ .AD-CD...BD=AD. 【变式训练1】B .AD-2.5. 【例2】A解析:由题意可得,BC- 3十4^-5,AB-5. '.1-2.5-1-25. AC-+9-310. 1 '.AB一BC..BD是ABC的平分线. B .BDAC.AD-CD= 【变式训练2】45* ③ ④ 【例3】解:(1).·CD-10.DE-7...CE-10-7-3. 当点D在AB上,BC-CD时. 在Rt△CBE中,BE-BC+CE-5. 如图④所示,过点C作CH AB,垂足为H (2)当 BPE-90*时,AP-10-3-7,则1-7-1-7. 当 BEP-90*时,BE+PE-BP',即5+4+(7-) (10一),解得!- 5 当(-7或时,△BPE为直角三角形. 2. 【变式训练3】解:分两种情况: 0