17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图、计算-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

第3课时 利用勾股定理作图、计算（答案P6)》 通基仙 5.如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边 长都是1，每个小格的顶点叫格点。 知识点1勾股定理与数轴、坐标系 (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的 1.如图所示，在长方形ABCD中，AB=3,AD= 正方形 1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线 (2)如图②所示，A,B,C是小正方形的顶点， AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M, 求∠ABC的度数， 则点M表示的数为() A.2 B.W5-1 C.√10-1D.5 C(1,6) B B6,2) 0 2/ 引可 4234567 第1题图 第2题图 2.如图所示，在平面直角坐标系中，A(1,2), B(6,2),C(1,6),则BC= 3.如图所示，点A是数轴上表示实数a的点. -101 (1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数√2的 点P.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点3勾股定理与图形的计算 (2)利用数轴比较√2和a的大小，并说明 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB= 理由 4,BC=8,将Rt△ABC折叠，使点C与AB的 中点D重合，折痕交AC于点M,交BC于 点N,则线段BN的长为() 7 A. C.4 知识点2勾股定理在网格中的应用 4.(2024·西安新城区模拟)如图所示，在3×3 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1,点A,B,C都在网格线的交点上，则△ABC 中边BC上的高为( ) B20 第6题图 第7题图 5 7.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,BC= C.1o 10,BD⊥AC于点D,且BD=8,则 2 D.40 SAABC- 28 优十学课时渔 辑固三角形的形状不确定漏解 11.(2024·德州乐陵期末)如图所示，△OA1A 8.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°， 为等腰直角三角形，OA:=1,以斜边OA2为 AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发， 直角边作等腰直角三角形OA,A2,再以OA? 沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的 为直角边作等腰直角三角形OA3A,,…,按 时间为t秒，连接PA,当△ABP为等腰三角 此规律作下去，则OA,的长度为() 形时，t的值为 A.() B.(2)"-1 c (9 B P- 12.如图所示，数轴与正方形网格线恰好重合，正 第8题图 第9题图 方形的顶点A在数轴上表示的数为一1，以 通能力》9399999993239999993999>9 A为圆心，以正方形边长为半径的圆弧与数 9.(2024·厦门思明区二模)出人相补原理是我 轴相交于点M,N,则点M在数轴上表示的 国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时 数为 ,MN 期数学家刘徽提出，主要内容为“将一个几何 图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面 积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之 和”.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC= 、2,BC=12,点D为BC边上一动点，过D作 DE⊥AB,DF⊥AC,则根据出入相补原理，我 们可以发现，DE+DF一定为定值，则DE+ 13.如图所示，把一张长方形纸片ABCD折叠起 DF=() 来，EF为折痕，使其对角顶点A与C重合， A号 B沿 C n号 D与G重合.若长方形的长BC为8，宽AB 为4. 10.如图所示，方格纸中小正方形的边长为1， (1)求DE的长. △ABC的三个顶点都在小正方形的格点上， (2)求EF的长. 下列结论正确的有( (3)求阴影部分△GED的面积. ①△ABC的形状是等腰三角形： ②△ABC的周长是2√10+√2； ③点C到AB边的距离是而。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第10题图 第11题图 一八件业卡新数学同 29②如图②所示，当∠BAP=90时，△ABP为直角三角形， BD=x尺，门高AB=(x一2)尺，门宽AD=6尺. 则CP=BP-BC=(1一4)cm 在Rt△ADB中，∠DAB=0°，.AD+AB=BD, 由勾股定理，得AC+CP=AP2=BP-AB2, .6十(x一2)=x,解得x=10.答：竹竿长10尺 3+-40=-5,解得1-5。 1山，解：A城会受到这次台风的影响.由A点向BF作垂线，垂 足为C,如图所示.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km, 综上的值为4或气 则AC=160km 因为160<200，所以A城会受到台风影响. (3)如图③所示，当t=13时，BP=13×1=13(cm), 北 ∴.CP=BP-BC=9em. E 在R△ACP中，AP=√AC+CP=√3+g=3o(cm), 即点A,P之间的距离为3√10cm. +东 如图所示，设BF上点D,G,使AD=AG=200km,所以 △ADG是等腰三角形. ,AC⊥BF,.AC是DG的垂直平分线， 第2课时勾股定理的应用 .CD=GC,在Rt△ADC中，DA=200千米.AC=160千 1.C2.0.8 米，由勾股定理，得CD=√/DA一AC=√/200一160 3.解：依题意得：△ABC和△A,B,C均为直角三角形， 120(千米)，则DG=2DC=240千米，则遭受台风影响的时 在Rt△ABC中，AB=2.5m,BC=1.5m, 间t=240÷40=6(小时) 由勾股定理得：AC=√AB-BC=2(m). 第3课时利用勾股定理作图、计算 在Rt△A,BC中，A1B1=2.5m,B,C=2.4m, 1.C2.41 由勾股定理得：4，C=√A,B,-B,C=0.7(m), 3.解：(1)如图所示，点P即为所求 .AA1=AC-A1C=2-0.7=1.3(m). 答：电线杆上两周定点A和A1的距离是1.3m 4.C5.B6.A 7.B解析：将长方体沿CH,HE,BE剪开，向右翻斯，使面 ABCD和面BEHC在同一个平而内，连接AM,如图①所示 H C M (2)如图所示，点A在点P的右侧，所以a>2, 4.B 5.解：(1)如图①所示.（位置不唯一） D CM D B B ① 由题意，得MD=MC+CD=5+10=15(cm). AD=20 cm. 1 在R1△ADM中，根搭勾段定理，得AM=√/15+20=25(cm). (2)连接AC,设点A右侧的格点为D,点B下侧的格点为E, 将长方体沿CH,GD,GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面 如图②所示. DCHG在同一个平面内，连接AM,如图@所示」 则BC=AC=5,且易证△ACD≌△BCE. 由题意，得BM=BC+MC=20+5=25(cm),AB=10cm. .∠ACD=∠BCE..∠ACB=∠DCE=90°. 在R:△ABM中，根揭勾股定理，得AM=√25+10 ,.∠ABC=∠CAB=45. 5√29(m). 6.B 7.100 将长方体沿AB,AF,EF剪开，向下制折，使面CBEH和面 AB上F在同一个平面内，连接AM,如图③所示， 816或10政要 解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 由题意，得AC=AB+CB=10+20=30(cm),MC=5cm. 在RL△ACM中，根据勾段定理，得AM=√/30+5= 10 cm.AC=6 em...BC=AB-ACT=8 cm. 由题意，分以下三种情况：①如图①所示，当AB=AP 5√37(cm). 10cm时， ,25<5W√/2丽<5√37，则需要爬行的最短距离是25cm. ,∠ACB=90°，即AC⊥BP, 8.(1)20km(2)13km PC=BC=8cm(等腰三角形的三线合一)， 9.解：在Rt△CDB中， .BP=PC+BC=16cm.∴.t=16÷1=16. 由勾股定理，得CD=BC-BD=17-8=225, 所以CD=15米（负值舍去）， 所以CE=CD十DE=15+1.6=16.6(米). 答：风筝的高度CE为16.6米 10.解：(1)-5 (2)设竹竿长x尺，由题意，得 ②如图②所示，当BP=AB=10m时，.1=10÷1=10. ③如图③所示，当AP=BP时， 设AP=BP=xem,则CP=BC-BP=(8-x)cm. 在R△ACP中，CP+AC=AP2,即(8-x)2十6=x. 序即-空cm则1-空1-约 解得r25 25 蜂上1的位为16或10或约 .∠BME=90°. 在直角三角形ABD中，∠B=90°，AB=3,AD=5, 9.C10.B1L.B12.-1-222 ∴.BD=√AD-AB=4. '把△ABD沿着AD翻折，得到△AED, 13.解：(1)由折叠可知DE=GE,设DE=x,则AE=8一x, ∴BD=ED,BE⊥AD,BF=EF,∴∠BFD=9O', 在Rt△AEG中，AG+GE=AE, ∴.16十x=(8-x)2,解得x=3,,.DE=3. 六5am-AB·BD-2AD·BF,即3X4=5·BF,解得 (2)如图所示，过点F作FH⊥AD于点H,则FH=4. 在R1△ABF中， Br-12 ”AF=FC,由勾股定理，得BF=AF一AB,即BF2= (8-BF)2-16,.BF=AH=3. ÷E=2BF-号DF=VBD-BF- 5 .AE=AD-DE=5,..EH=AE-AH=2, .EF2=+22=20,.EF=25(负值含去) :Saa=号BE·DF=BD,ME∴ME- 25 3解：目)由折叠可得∠ACE=∠DCE=3∠ACD,∠BCF ∠BCF-=∠BCB. :∠ACB=90°..∠ACD+∠BCB=90, ∠RD+∠PD-专×90=4行，即∠BCF=45 (3)如图所示，过点G作GM⊥AD于点M. (2)由折叠可得∠DEC=∠AEC=90°，BF=B'F=1, :号AGXGE-号AFXGM..GM-号 ∴∠EFC=45=∠ECF,∴.CE=EF=4,.BE=4+1=5, ∴Rt△BCE中，BC=√BE+CE=√④T. dSam=2×GMXDE-8 设AE=x,则AB=x+5. 在Rt△ACE中，AC2=AE+CE2, 专题二应用勾股定理解决最短路径问题 在RL△ABC中，AC=AB一BC, 1.B2.D3.5 .AE+CE=AB-BCT. 4.解：(1)如图所示，从点P,,P,分别向x轴和y轴作垂线 P,M1P,N,和P:M2,P:N2·垂足分别为M,(x1,0) 甲+=+5-1，解得吕。 N(0,y1),M(x20),N:(0,yg), 5m=AB×CE-专×（传+5）X4-号 1 4.A 5,解：(1)同意，理由：如图所示，连接EF,则根据翻折不变性， 得∠EGB=∠A=90,EG=AE=ED,EF=EF,∠EGF= 0 ∠D=,在R△BGF和R△EDF中，EF-E: .Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),.GF=DF, 其中直线P,N,和P,M:相交于点Q, 在R△P,PQ中，PQ=M,Ml=z1-xI, IP:QI-IN N:I-l:-x, PP:F=IPQF+PQ=Ix:-x+ly:-y= (x:-x1)2+(y2y)· ∴P,P,|=√(x,-x,)+(y-y1) (2)作点A(一1,1)关于x轴的对称点A(一1，一1)，连接 (2)由(1)知，GF=DF,设DF=r,BC=y,则有GF=x, AB.A,(一1，一1)与B(2,3)两点间的距离即为所求的最小 AD=y. 值，直线A,B与x轴的交点为所求的M点， MA+MB=MA+MB=A B= DC=3DF...CF=2x.DC=AB-BG=3x. ∴，BF=BG+GF=4x. √/2-(-1)+3-(-1)F=√3+4=5， 在Rt△BCF中，BC2+CF=BF, 5.C6.B7.D8.359.20 10.解：(1)若树干的底面周长为30cm,绕一圈升高40cm,则葛 即+2-=2裙-2-2 3· 藤绕树爬行的最短路线为√30+40=50(cm). (3)由(1)知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x, (2)若树干的底面周长为80cm,绕一圈爬行100cm,则爬行一 AD=y. 圈升高√100一80=60(cm).若爬行10圈到达树顶，则树 :DC=mrCF=(m-1)x.BF=BG+GF=(m+1)x. 干高为10×60=600(cm). 在R:△BCF中，BC+CF=BF, 专题三应用勾股定理解决折叠问题 即y+[(m-1).x]乎=[(m+1)r]°， 1.C 2.D解析：过点E作EM⊥BD于点M,如图所示， y-2rm8-2-2