17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理及证明-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理及证明(答案P5) 通基础 5. 推理能力勾股定理神秘而美妙,它的证法多 样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小 知识点1-勾股定理 明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三 1.(2024·毫州蒙城期末)若直角三角形的两边 角形如图所示摆放时,可以用“面积法”来证明 长分别为3cm和4cm,则第三边长为 _ a*士b{}一c^{,(请你写出证明过程) A.5cm B./7cm C.5cm或、/7cm D.5cm或7cm 2.(2024·武汉期中)如图所示,在△ABC中, AB=AC=10,BC=16,点D为BC的中点 DE.AB于点E,则DE的长为( ) A.1.2 B.1.6 C.2.4 D.4.8 斜边不确定时忽视分类讨论致错 3. 教材P24练习T2变式 如图所示是由两个直 6.在Rt△ABC中,已知两边长分别为1和3,则 角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影 部分的面积是( 第三边长为 ) 通能力D 7.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制 B.25 C.144 A.16 D.169 了“赵爽弦图”,流传至今,如图所示是由“赵爽 知2勾股定理的证明 弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角 4. 新情境如图所示,意大利著名画家达·芬奇 形和一个小正方形拼接而成,设每个直角三角 用一张纸片剪拼出不一样的空洞,利用两个空 形的两条直角边分别为a,b(a>b),斜边为c 洞的面积是相等的证明了勾股定理,若设左边 则下列结论:①a+b>c;②a^{}+b^{}>2ab; 图中空白部分的面积为S.,右边图中空白部 ③(a+b){②}=(a-b){}+4ab;④、 /②(a+b) 分的面积为S。,则下列对S.,S。所列等式不 2c.其中正确的是( ) 正确的是( “- 剪开 右边部分 上下翻转 A.S.=a?+b2+2ab B.S.-c2十ab A.①② B.①②③ C.S.-S D.a*十b?-c②} C.①②④ D.①②③④ 8.如图所示是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG, 作ADIBC 根据勾股定 利用勾股定 △CDF和△DAE是四个全等的直角三角形, 于点D,设 理,利用AD 理求出AD 四边形ABCD和EFGH都是正方形,若 BD=工,用→作为“桥梁”→的长,再计算 AB-10,AH-6,则GE= 建立方程求 含工的代数 三角形的 式表示CD 出2 面积 9.如图所示,在长方形ABCD中,按以下步骤作 的长为半径作驱,两狐相交于点M和N:②作 直线MN交CD于点E,若DE-2,CE=3. 则长方形的对角线AC的长为 通素养 K 12.已知:如图所示,在Rt△ABC中,ACB 90*.AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B$ 出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运 10. 探究拓展如图所示,B,C,D三点在同一直线 动的时间为ts. 上,AO1BC于点O,BC=CD,且AB= AC-15,OA=9,P是线段DB上的一个动 点,点P从起点D向终点B(不包括点D,B) 备用图 运动,当△ACP是等腰三角形时,线段DP (1)求BC边的长. 的长为 (2)当△ABP为直角三角形时,求;的值 (3)当三13时,求点A,P之间的距离 11.如图所示,在△ABC中,AB=15,BC=14, AC-13,求△ABC的面积 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解 题思路,请你按照他们的解题思路完成解答 过程.【例2】a≥-3且a≠士1 19+/18>/18+17>0, 【变式训练2】-31 1 1 【例3】107或47解析：12√28=24W7 19+18 18+7 ①107是底边时，腰长-号（247-107)=7， 即/19一√18</18一√17 (2)x+1≥0且x-1≥0. 能组成三角形， .x≥1. ②10W7是腰长时，底边=24/7-2×10√7=4√7， :+I-√x-I 能组成三角形， =(r+I--T(/r+百+√m-I) 综上所述，它的底边长为107或47. √x+I+√x一T 【变式训练3】172 2 【例4】解：(1)x=2-5,y=2+3, x+I+- ∴x十y=(2-3)十(2+√3)=4，xy=(2-5)(2十3)= .当x=1时，分母x+1+x一1有最小值2， 22-(3)2=4-3=1. ,√x十可一√x一T的最大值为2， .x2+y2=(x十y)2-2xy=42-2×1=14. 那么√x十1一√x一1十2的最大值为√2十2. (2)r2+xy+y=(x+y)-xy=42-1=15. 【通中考】 【变式训练】-西 13.D14.B 511 15.x≥916.-25 解析：石+人=2. 第十七章。勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理及证明 +广=4++2=4+ =2 1.C2.D3.B4.A r 5.证明：：S6边台=S他后东十S地形右=S大方郑十2S含角角题· Nr+3r+1 Nx2+9x+1 号6+a+b)b+号ata+ba=c+2x名ab x+3+ i.bt8+o'+ab-c+ob.io+8-c. + 115▣ 6.√/10或227.D8.229.30 【通模拟】 10.9或2或39解析：AB=AC,A01BC, 1.B2.B3.D4.D5.A6.B7.A8.0 .B)=(OC.在R△AOB中，OB=B-AO= 9.(165 6 15-9=12,.BC=2OB=24.BC=CD,∴.BD= 24十24=48.如图所示，当CP'=AC=15时，DP=24 5 (2,√5=5，√会（答案不唯一，符合规律即可） 5 15=9.如图所示，当P"A=P"C时，OP”=12一P"C.在 R1△AOP"中，OA2+OP=AP,即9+(12-CP")2 Cp,格释CP-期Dp-有+24=g当Cp CA=15时，DP*=24+15=39. 10.解：(1)原式=33-65+43 粽上所述，当△ACP是等腰三角形时，线段DP的长度为9 =w3 2)服式-（厘+子6）×号 支我过 B P O P C—ppD -6+ 11.解：作AD LBC于点D.:在△ABC中，AB=15,BC=14, AC=13..设BD=x,则CD=14一x. (3)原式=(W6+1)×2(√6-1) 由勾股定理，得AD=AB-BD=15-x2,AD°=AC =2×(6-1D CD=13-(14-x),故15-x2=13-(14-x)2, =5/2. 解得x=9..AD=√15-9=12， 4)原式=反+2-反+}-（2+反+）》 SA=2BC·AD=2X14X12=84, -恒+2-+}-2-反- 12.解：(1)，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC= 3cm,∴.BC=√AB-AC=4cm. =-2. (2)由题意，得BP=1cm,分以下两种情况： ①如图①所示，当∠APB=90时，△ABP为直角三角形，则 1L解：3Q50g号 BP=BC=4cm,∴.1=4： (2)a=la. (3)①2-x②π-3.14 12.解：(1)/19-18= 19+81 /18-√17= 8+7 5 ②如图②所示，当∠BAP=90时，△ABP为直角三角形， BD=x尺，门高AB=(x一2)尺，门宽AD=6尺. 则CP=BP-BC=(1一4)cm. 在Rt△ADB中，∠DAB=0°，.AD+AB=BD, 由勾股定理，得AC+CP=AP2=BP-AB2, .6十(x-2)=x,解得x=10.答：竹竿长10尺 3+-40=-5,解得1-5。 1山，解：A城会受到这次台风的影响.由A点向BF作垂线，垂 足为C,如图所示.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km, 综上的值为4或气 则AC=160km 因为160<200，所以A城会受到台风影响. (3)如图③所示，当t=13时，BP=13×1=13(cm), 北 ∴.CP=BP-BC=9em. E 在R△ACP中，AP=√AC+CP=√3+g=3i(cm), 即点A,P之间的距离为3√10cm. C G F D +东 如图所示，设BF上点D,G,使AD=AG=200km,所以 △ADG是等腰三角形. ,AC⊥BF,.AC是DG的垂直平分线， 第2课时勾股定理的应用 .CD=GC,在Rt△ADC中，DA=200千米.AC=160千 1.C2.0.8 米，由勾股定理，得CD=√/DA一AC=√/200一160 3.解：依题意得：△ABC和△A,B,C均为直角三角形， 120(千米)，则DG=2DC=240千米，则遭受台风影响的时 在Rt△ABC中，AB=2.5m,BC=1.5m, 间t=240÷40=6(小时) 由勾股定理得：AC=√AB-BC=2(m). 第3课时利用勾股定理作图、计算 在Rt△A,BC中，A1B1=2.5m,B,C=2.4m, 1.C2.41 由勾股定理得：A,C=√A,B,-B,C=0.7(m), 3.解：(1)如图所示，点P即为所求 .AA1=AC-A1C=2-0.7=1.3(m). 答：电线杆上两周定点A和A1的距离是1.3m 4.C5.B6.A 7.B解析：将长方体沿CH,HE,BE剪开，向右翻斯，使面 ABCD和面BEHC在同一个平而内，连接AM,如图①所示 H C M (2)如图所示，点A在点P的右侧，所以a>2, 4.B 5.解：(1)如图①所示.（位置不唯一） C M H D B ② 由题意，得MD=MC+CD=5+10=15(cm). AD=20 cm. 在R1△ADM中，根搭勾段定理，得AM=√/15+20=25(cm). (2)连接AC,设点A右侧的格点为D,点B下侧的格点为E, 将长方体沿CH,GD,GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面 如图②所示. DCHG在同一个平面内，连接AM,如图@所示」 则BC=AC=5,且易证△ACD≌△BCE. 由题意，得BM=BC+MC=20+5=25(cm),AB=10cm. .∠ACD=∠BCE..∠ACB=∠DCE=90. 在R:△ABM中，根揭勾股定理，得AM=√25+10 ,.∠ABC=∠CAB=45. 5√29(em). 6.B 7.100 将长方体沿AB,AF,EF剪开，向下制折，使面CBEH和面 AB上F在同一个平面内，连接AM,如图③所示， 816或10政要 解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 由题意，得AC=AB+CB=10+20=30(cm),MC=5cm. 在RL△ACM中，根据勾段定理，得AM=√/30+5= 10 cm.AC=6 em...BC=AB-ACT=8 cm. 由题意，分以下三种情况：①如图①所示，当AB=AP 5√37(cm). 10cm时， ,25<5W√/2丽<5√37，则需要爬行的最短距离是25cm. ,∠ACB=90°，即AC⊥BP, 8.(1)20km(2)13km ∴PC=BC=8cm(等腰三角形的三线合一)， 9.解：在Rt△CDB中， .BP=PC+BC=16cm.∴.t=16÷1=16. 由勾股定理，得CD=BC-BD=17-8=225, 所以CD=15米（负值舍去）， 所以CE=CD十DE=15+1.6=16.6(米). 答：风筝的高度CE为16.6米 10.解：(1)-5 (2)设竹竿长x尺，由题意，得