第7章 专题2二次根式化简求值的方法&专题3与二次根式有关的阅读理解及规律探索题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

专题二二次根式化简求值的方法（答案1） 类型1利用公式法、因式分解法求值 类型3利用换元法求值 1.计算：(25+52)(25-52)-(5-2)2. 5.求代数式”+2+n-4+n十2-m2-4 的 n+2-√m-4 n+2+m-4 值，其中n=2+1. 2.已知：a=√3-2，b=十√2，求： (1)a2b+ab2. 11 目类型4利用配方法求值 3.解答下列问题： 6.若a,b为实数，且b=√3-5a十5a-3+15, (1)已知a=√2+1，b=√2-1，求a2+ab+b2 b+a一2的值。 a b 的值 (2)已知x=√5-1，求代数式x2+2x-6 的值. 7.若x,y为实数，且y=√1一4z+√4x-1十 类型2利用分母有理化与整体法求值 1 1 合求号+2+子+后一2+之的值 4.已知x= 2+1y2 ,分别求下列代数 式的值 (1)x2+y2. (2)y+工 x y 一八件级卡带数学●教明 39 专题三与二次根式有关的阅读理解及规律探索题（答案P11) 类型1与二次根式有关的阅读理解题 1 ② 的值为 3√2+/17 1.推理能力一个三角形三边的长分别为a,b,c, (2)试求1 1 设p=(a+6+c,根据海伦公式S +1+2十+万+…+ 1 √p(p一a)(p一b)(p一c)可以求出这个三角 的值 /2025+√/2024 形的面积.若a=4,b=5,c=6.求： (1)三角形的面积S. (2)长为c的边上的高h. 2.你见过像4一23，√48一√45…这样的 根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有些 复合二次根式可以化简. 例如：√4-23=√3-23+1 目类型2与二次根式有关的规律探索题 √(3)2-23+12=√(3-1)2=5-1. 4.(2024·淮北月考)√92+19=10， 请用上述方法化简： √992+199=100，√999+1999=1000， (1)W5-26. (2)√7-√48. √9999+19999=10000，观察上述式子，总 结存在的规律，运用得到的规律可得 99…92+199…9的值为() √2024个9 2024个9 A.102022 B.102023 C.102024D.10202 3.(2024·六安金安区期末)阅读下面问题： 5.下面是一个按某种规律排列的数阵： 1 1×(W2-1) =2-1： 第一行 1+√2(2+1)(2-1) 5256 第二行 1 5-√2 7253W而W厅25 第三行 =√5-√2； 545473互925第四行 3+2 (3+2)(3-√2) 4… 1 5-2 根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 =5-2. 5+2(5+2)(5-2) :第n(n为整数且n≥3)行从左向右 数第(n一2)个数是 .(用含n的代数 (1)直接写出：① 的值为 7+√6 式表示) 40 优十学课时通 6.观察下列各式及其验证过程： 8.观察下列各式： 2+号-2层验证：+- 2 8 3 ++-月-是11+ √3 √8，验证： 1+1- +--- -x3-3月 11 1+1 /169 (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想 11+1+号 12 341 、4十。的变形结果并进行验证， 请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列 (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用a 问题： (a≥2，且a为整数)表示的等式. (1)归纳规律，直接写出结果： 1 1 小+7+(n+1 (n≥1，且n为整数). (2)利用规律计算： 7.(2024·合肥庐阳区期中)观察下列各式的变 1++0 1 形过程： 1 1 1 a1= =1- 2+2I 25+3√2 11 1 11 25a34+453m (1)按照此规律，写出第五个等式a,= (2)按照此规律，若Sn=a1十a2十a3十…十 a.,试用含n的代数式表示Sn (3)在(2)的条件下，若x=√6S2+√2S1,试求 代数式x2+2x的值. 一八生级下部数学●数国 41解：1由题或，月(0√写-2V而)车（一5）-6解：由=次根式的定义得侵g8: 15a-3≥0. (25-65)÷(-5)=-45÷(-5)=4, 3 3-5a=04=5b=15, .他计算出的结果为4. ∴.a+b>0,a-b<0, (2)设“■”处的数字是4，则 (F-2丽)÷(-5)=(ax5-65) “++-+ (-5)=6-号 /(a+b) ab (a-b) 6-号=5，解得a=5■处的数字是5 18.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)a2(a-b)+ab(a-b)+b(a-b) -(品)画 (a-b)(a2+ab+b2) (3)a°-b3=(a-b)(a+ab+b2), ∴(2I+1)'-(2-1) 当0-号=15时， =[(√I+1)-(-1)][(+1)°+(w②-1+ (2I+1)(√21-1)] 原武-品×层×5- =2(21+1+2√2T+21+1-2√2T+21-1) =2×64 7解：“y=1-+V一+号要有意义之0 14x一1≥0， =128. -}y=小-+可+号 专题二二次根式化简求值的方法 1.解：原式=20-50-5-2+2/10=-37+2√10. 2.解：(1)a=5-2,b=5+2, E-2+Y ∴ab=(3-2)(3+2)=1,a+b=3-2+3+2= 2++ 23, 1 1■ =√2+2+2+√2-2+2 .a2b+ab2=ab(a+b)=1×2/3=25 =2√2 (2).a=3-√2，b=3+2, 专题三 ah=(5-2)(5十2)=1，a十b=5-2+3+2= 与二次根式有关的阅读 23,b-a=3+√2-3+V2=22. 理解及规律探索题 话+2-28-4后 15 1.解：1Dp=2(4+5+6)= 1 21 (ab)2 7 3.解：(1)a2+b+b2 15 15 2p-b= 5 p-a=2-4= -5= 2p-c= 1 3 2-6= 2 =a'+2ab+b:-ab =(a+b)2-ab. /15753157 4· 当a=2+1,b=2-1时， 原式=(w2+1+2-1)-(W2+1)(W2-1) @s-7 =8-1 =7. ÷h-25-2×15,7÷65y7 4 4 (2)x十2x-6=(.x十1)-7. 2.解：(1)原式=√2-2√6+3 当x=5-1时. 原式=(W5-1+1)2-7=5-7=-2. =√/(W2-3) 4解：)：x=1 1 =5-2. -=√2-1，y= ，=2+1, 2+1 2-1 (2)原式=√/4-43+3=√(2-5)2=2-√5. ∴x-y=-2,xy=2-1=1, 3.解：(1)①W7-6②32-√17 .x2+y2=(x-y)2+2xy=(-2)2+2×1=6. 1 1 1 (2)由(1)，得x+y2=6,xy=1, (2) 十十 2+13+2+ √2025+√2024 ∴原式=+y-6 y了6 1×(2-1) 1×(5-√2) 十十 (W②+1)（②-1）(W3+2)(3-√2) 5.解：设x=n十2十√m-可y=n十2-√m一，则x十y= 2n+4,xy=4n+8. √/2025-√2024 原式=工+之=+y=r+y-2y (√2025+√2024)（√2025-√2024） y x y =√2-1十3-2+√4-3+…+√/2025-√/2024 (x十y) -2=2m+4) y 4n+8-2=n. =-1+√2025 =-1十45 当n=√2十1时，原式=√2十1. =44. 11 4.C5.30√m-2 22×2=4, 4 4 ∴√a与2是关于4的和谐二次根式 6.解：D,√4+5=4入√5· 3.解：(1)2≤x≤10 证+后层 64 4×4 4 (2)①2 =4入15 ②：√20-x+4-x=8, “（u≥2，且a为整数0. .20-x=8-√4-x, 两边同时平方，得20-x=64-16√一F+4-x, 1 7.解：(1) 11 .√/4-x=3. 56+655√6 两边同时平方，得4一x=9, (2)用含字母(#为正整数)的等式表示(1)中的一般规律为 ,.x=一5，经检险，x=一5是原方程的解 11 a. nn+T+(n+1)mm√m+T 本章综合提升 【本章知识归纳】 1 ,11 1 ∴S,=a1+a2+a+…+a。=1- 二次根式≥≥5瓜·6√行后 a a ==1- 所n+Im+I 【思想方法归钠】 【例1】 (3)5,=1-1 解：由题图可知-1<a<0,0<b<1, ,.4+1>0.b-1<0,a-b<0, ∴x=6S+√2S,=6-2+2-1=6-1. ,x2+2x ∴.√(a+1)F+2√(b-1)T-la-b =(x+102-1 =a+1+2(1-b)-(b-a) =a+1+2-2b-b+a =(6-1+1)2-1 =2a-3b+3. =6-1 【变式训练1】 =5. 解：由数轴，得a<-1,一1<c<0,b>1. 8.解：11+”一n+可 1 ∴.-a+b>0,c-b0. 原式=-a+(-+b)+(c-b) 2)原武=1+(-)+1+（合）+1+（兮）+… =-a-a十b十c-b =-2a+c, 1+(品动) 【例2a≥-3且a≠士1 =0+1+1+…+10+(1- 1111 【变式训练2】-31 2+2-334 十…十 【例310√7或47 。》 【变式训练3】172 【例+】 =19+(-动) 解：(1)，x=2-3,y=2+√3， -19品 ∴x+y=(2-√3)+(2+3)=4 xy=(2-3)(2+3)=2-(3)”=4-3=1, 特色素养专题（一）新定义题型专题 .x2+y2=(x+y)2-2.ry=4-2×1=14. 1.解：(1)5+2与5一2互为有理化因式，理由如下： (2)x+xy+y=(x+y)-xy=4-1=15. (5+2)(5一2)=5一4=1，因为乘积的结果中不含根号，所 【变式训练】 5▣ 511 以它们互为有理化因式 【通模拟】 2(6-/10) (2)后+而 2w3-2V5 1.B2.C3.D4.D5.C6.B7.A8.B (6+6)(6-10) 6-10 9.B10.B1L.B12.D13.014.615.±2√3 =5-3 16.4-2517.718.32-319.√/1020.33 2 (3)原式= √2-5 5-2 21.解：1aV-号小+3aV5 (W2+3)(2-5)(3+2)(W3-2) -反-g3-2 =2avm-×8avm+3如×50vm 2-33-4 =3-2+2-3 =2av历-22vm+152va =2-2. 2.解：的算术平方根与√2是关于4的和谐二次根式 理由：，"最简二次根式一2与6可以合并， 26 (2w3-1)-(23+3)(3-28)-√3 a-2=6,解得a=8. 2 .a=V8=22 =4-25-[3-28)']-2√5×6 12