第7章 特色素养专题(一)新定义题型专题&本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

4.C5.30√m-2 22×√2=4， 4 4 ∴√a与2是关于4的和谐二次根式 6.解：D,√4+5=4√5· 3.解：(1)2≤x≤10 64 4×4 4 (2)①2 =4入15 ②：√20-x+√4-x=8. “u≥2，且a为整数0. .20-x=8-√/4-x, 两边同时平方，得20-x=64-16√A-F+4-x, 1 7.解：(1) 11 .4-x=3, 5W6+655√6 两边同时平方，得4一x=9, (2)用含字母(#为正整数)的等式表示(1)中的一般规律为 ,.x=一5，经检验，x=一5是原方程的解 1 11 a.=- n+(n+1)/n /n nT 本章综合提升 【本章知识归纳】 8.=a,+4+a,++a,=1一店+方店+肩 ,11 1 二次根式≥≥5石·6√片后 a Ja ==1- 所√n+Im+I 【思想方法归钠】 (3)5,=1-1 8,=1-1. 【例1】 解：由题图可知-1<a<0,0<b<1, .4+1>0.b-1<0,a-b<0, ∴x=6S:+√2S,=6-2+2-1=6-1. ,.x2+2x ∴.√(a+1)F+2√/(b-1)T-la-b =(x+1)2-1 =a+1+2(1-b)-(6-a) =a+1+2-2b-b+4 =(6-1+1)2-1 =2a-3b+3. =6-1 【变式训练1】 =5. 解：由数轴，得a<-1一1<c<0,>1. 8.解：(11+一n十可 1 ∴.-a+b>0,c-b<0. .原式=-a+(-a+b)+(c-b) (2)原武=1+(-)+1+（分）+1+（合）+… =-a-a十b十c-b =-2a+c. 1+(品动) 【例2】a≥-3且a≠士1 1,11,1 【变式训练2】一31 =0+1+1+…+1)+(1-2+立一3+-4 【例310√7或47 。》 【变式训练3】17② 【例+】 =19+(-动 解：(1)：x=2-3,y=2+√3， -19易 ∴x+y=(2-√3)+(2+3)=4 xy=(2-3)(2+5)=2-(3)°=4-3=1， 特色素养专题（一）新定义题型专题 .x2+y2=(x+y)2-2.ry=4-2×1=14. 1.解：(1)5+2与5一2互为有理化因式，理由如下： (2)x+xy+y=(x+y)-xy=4-1=15. (5+2)(5一2)=5一4=1，因为乘积的结果中不含根号，所 【变式训练】 5▣ 511 以它们互为有理化因式 【通模拟】 (2)+而 2(w6-√10) 2w3-25 1.B2.C3.D4.D5.C6.B7.A8.B (6+/0)(6-10) 6-10 9.B10.B11.B12.D13.014.615.±2√5 =5-3 16.4-2317.718.32-319.√1020.33 2 (3)原式= 2-5 5-2 21.解：1aV-号1+3aV56 (2+3)(2-3)"(W3+2)(W3-2) -反-gg-2 =2如V面-名×数v面+知X30v历 2-33-4 =3-2十2-/3 =2av历-22v历+152va =2-2 2.解：的算术平方根与v2是关于4的和谐二次根式 理由：，"最简二次根式√一2与6可以合并， (2w5-10-(23+3)(3-23)-√3 ∴a-2=6,解得a=8. 2 .a=V8=22. =4-28-[3-(28)']-2√5×6 12 =4-23-9+12-2×2 第八章一元二次方程 =4-23-9+12-4 1一元二次方程 =3-25. 1.D2.C3.-3 3)1+ 1 1+…+ 4.解：(1)3x一5.x+8=0,方程的二次项系数为3，一次项系数 1+22十53+4 2023+√/2024 为一5，常数项为8. -√2-1十5-2+4-3+…+√2024-√2023 (2)2x2-5x一18=0，方程的二次项系数为2，一次项系数为 =√2024-1 一5，常数项为一18. =2/506-1. 5.B6.x(x+2)=5287.C8.B9.D10.-311.A 12.C13.-114.x2-38.x+37=0 22.解：(1)√r-3)-(2-工)有意义， ∴2-x≥0.即x≤2， 15解：1-0，二次项系数是号一次项系数是0，裔数项 √x-3)-(√2-x) 是0. =3-x-(2-x) (2)(m十n)x2+(m一)x十p-g=0,二次项系数是m+ =3-x-2+x n,一次项系数是n一#，常数项是争一？ =1. 16.解：(1)当m-1≠0时，(m2-1)x2+(m+1)x+1=0 (2)由题意，得a<0,b>0,a>|b, 是一元二次方程，解得m≠士1. .a+b<0,b-a>0, (2)当m2-1=0,且m+1≠0时， (m2一1)x3+(m十1)x+1=0是一元一次方程， ∴.a+(a+b)-lb-a 解得m=士1，且m≠一1，即m=1. =-a-(a+b)-(b-a) 所以当m=1时，(m2一1)x2十(m十1)x十1=0是一元一次 =-&-a-b-b+4 方程. =-d-2b. 17.解：由(3k+1)x+2kx一-3是关于x的一元二次方程， 23.解：(1)1(2)25+32 知二次项系数+10，即3淡十1≠0.解得长≠-专：① (3)”3+3与6+5m是关于12的共钷二次根式， .(3+3)(6+3n)=12, 将不等式号“1化简 3 6+5-68 =2(3-3)=6 得30传-1D≥2(4+1)-6：解得≤专，回 25, 由0@可得k长号且k-子 .n=-2. 18.解：(1)在R△ABC中，：BC=1,AC=2, 24.解：设x=√6+√T+√6-/T,两边平方得 AB=/+2=5, x=(√6+1i+√6-i)2,x=(√6+1i)+ .AE=AD=AB=/5. (/6-TΠ)2十2/(6+√1I)(6-1I). 设点O表示的数为0.：OA=1, x=6+√T+6-/T+236-1T. .OE=AE-OA=5-1.0D=AD+0A=5+1. x2=22, ∴D点表示的数为5+1，即m=5+1, x=士√22 E点表示的数为-5十1，即n=-5+1. :√6+1T+√6-T>0, (2)把x=√5+1代人方程x2+x-4=0,得(5+1)+ (w5+1)h-4=0, √6+√厅+√6-T=√22. 解得6=一2， 5 25.解：(1) 即b的值为一2. 7-2 (3)琮踪说得不对.理由如下： 5(w7+2) 把x=-5+1代人方程，得(-5+1)-2(-√5+1) (7-2)(W7+√2) 4=5-2/5+1+25-2-4=0. =7+2. x=n一定是此方程的根. √10-3 (2)a= 2用配方法解一元二次方程 /10+3(√10+3)（√10-3） 第1课时用直接开平方法解一元 =/10-3: 二次方程 a+3=0. L.C2.D3.B4.15.C6.A .(a+3)2=10, 7.1=1,x:=-5 .a2+6a+9=10, 8.解：(102(x十3)°-4=0 .a2+6d=1, 原方程就是(x+3)=2. ∴.2a+12a-3=2(a°+6a)-3=2×1-3 开平方，得x十3=士2， =2-3=-1. 所以x1=-3十2，x:=-3-√2. 【通中考】 26.B27.x>128.-23 2)+10=25, 13特色素养专题（一）新定义题型专题（答案P12) 类型1规则的新定义 根式a一2与√6可以合并，请问a的算术平方 1.(2024·芜湖无为月考)阅读材料，解决问题. 根与2是关于4的和谐二次根式吗？并说明 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的 理由. 因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互 为有理化因式.如2×2=2，我们称2与2 互为有理化因式 材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运 算性质，可以对1进行如下的化简： 2-1 1 1×(2+1) √2+1 =√2十 2-1(2-1)(2+1)(2)2-1 3.(2024·济宁嘉祥期中)定义：我们将(a十b) 1,从而把分母中的根号化去，我们把这样的化 与(a一√b)称为一对“对偶式”.因为(a十 简称为“分母有理化”。 b)(a-b)=(a)2-(b)=a-b.可以有 问题： 效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 (1)5+2与5一2是否互为有理化因式？请 偶式”来解决。 说明理由。 例如：/18-x-√/11-x=1,求18-x十 (2)分母有理化： √2 6+/10 √11一x的值，可以这样解容： 1 因为(/18-x一√11一x)×(√18-x+ (3)化简： 2+55+2 /11-x)=(18-x)2-(/11-x)2=18- x-11+x=7,所以√/18-x+/11-x=7 (1)代数式/10一x+√x一2中x的取值范围 是 (2)已知：√20-x十√/4-x=8,求： ①√20-x-√4-x= ②结合已知条件和第①问的结果，解方程： √20-x+√4-x=8. 类型2运算的新定义 2.(2024·安康白河期末)定义：若两个二次根式 m,n满足m·n=p,且p是有理数，则称m 与n是关于p的和谐二次根式.已知最简二次 42 优十学潘课阴漫 本章综合提升（答案P12) 本章知识归纳 一敷的，我们把形如石(a≥0)的式子叫做 “厂”称为二次根号 二次极式 有意义的条件 后有意义的条件是被开方数：0 概念 二次根式的非负性：a_0a≥) d. 当a>0时， 性质 =101= 0. 当a=0时， -a,当a<0时 用基本运算（包括加、减、乘、除、乘方和开方）符号把数或表示数的字 母连接起来的式子 代数式的定义 二次根式】 正向运用：a万a≥0，b≥0) 二次根式的乘法 逆向运用： a≥0，b≥0 正向运用：严= (a≥0，b>0) 二次根式的除法 运算 递向运用：丹 (a≥0.b>0 最简二次根式 二次根式的加减 合并被开方数相同的最简二次根式 二次根式的实际应用 思想方法川纳 【例】已知：实数a,b在数轴上对应的点的位 置如图所示，化简：(a+1)2+2√/(b-1)严一 1.数形结合思想 1a-b1. 一子链接小章… -1a0b1 化简二次根式常常与数轴结合，一般根 据数轴确定字母或代数式的正负，然后根据 法则进行化简 y 一八年验：下不带数学曲数题 43 【变式训练1】已知实数a,b,c在数轴上对 :为部分问题来解决，分类讨论的原则是不重复、 应点的位置如图所示，化简：√a+ 不遗漏.讨论的方法是逐类进行，还必须要注意 (-a+b)2-1c-bl. 综合讨论各结果，以使解题步骤完整. “子链接本章 在处理一些含字母的问题或三角形三 边不确定时，往往需要根据具体情况进行分 类讨论 - 【例3】一个等腰三角形的周长为12√28，一 边长为10√7，则它的底边长为 【变式训练3】若等腰三角形的两边长分别 2.转化思想 为I8和/98，则这个三角形的周长为 在研究数学问题时，我们通常是将未知问题 (结果化为最简二次根式》 转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题， 4.整体思想 将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为 整体思想的核心就是把所研究对象的一部 数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互 分或全部视为一个整体运用在解题过程中，这种 相转化，最终转化为有章可循、容易解决的问题。 思想在解题时把注意力和着眼点放在问题的整 “【链授亦章 体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的 (1)确定二次根式有意义的条件时，常 计算，使问题得以简化， 常转化为不等式或不等式组，通过解不等式 “了链接本童 (组)解决问题；(2)化简√a时，一般转化为 在关于二次根式的化简求值问题中，当 化简la:(3)在进行二次根式的运算时，遇 求解已知条件中所含未知数比较困难时，可 到除法，通常先转化为乘法再进行运算。 考虑利用已知条件与所求代数式之间的联 系，运用整体思想求解，以筒化运算， 【例要使式子于有意义。则口的取值 【例4】已知x=2一3，y=2+3,求下列代 范围是 数式的值， (1)x2+y2. 【变式训练2】代数式一3一√a一b的最大值 (2)x2+xy+y2. 为 ,若√x+√一x有意义，则x十1= 3.分类讨论思想 当我们所研究的各种对象之间关系过于复 杂或涉及范围比较广时，我们大多采取分类讨论 的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分 类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究 和求解.分类讨论解题的实质是将整体问题转化 44 优十学播课道 【变式训练4】已知反十】 =2,那么 7.(2024·烟台栖霞期末)已知a<b,化简二次 根式一ab的结果是( 的值等于 A.-ab B.-a ab Wx2+3.x+1 .x2+9x+1 C.aJab D.aab 通模拟 8.(2024·咸海荣成期中)等式 1.(2024·济宁任城区月考)给出下列各式： √/(x+1)(1-x)=(x-1)1+x成立的条 ①√32：②6：③√-12：④/-m(m≤0)： 件是() A.x≥-1 B.x≥1 ⑤Wa+1:⑥5 C.x≥1或x≤-1D.-1≤x≤1 其中二次根式的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 9.(2024·泰安泰山区期中)等式-3 x+1 2.(2024·威海荣成期中)若ā是最简二次根 式，则a的值可能是( √+成立的x的取值范围在数轴上可表示 x-3 A.24 B.25 C.26 D.27 为( 3.(2024·青岛莱西期中)当a为实数时， √a=一a,则a在数轴上对应的点在( B C D A.原点的左侧 B.原点或原点的右侧 10.(2024·威海乳山期末)下列各式中，化简后 C.原点的右侧 D.原点或原点的左侧 能与2合并的是( 4.(2024·济南菜芜区模拟)实数4，b在数轴上 的位置如图所示，化简√(b一a)的结 A.12 B.√8 2 √3 D.0.2 果是() 11.(2024·烟台福山区期末)若使算式32○⑧ 0 的运算结果最小，则○表示的运算符 A.b-a B.a+b C.-a-b D.a-b 号是( 5.(2024·烟台招远期末)若(x一3)(4-x) A.+ B.- C.× D.÷ 12.(2024·济南莱芜区月考)墨迹覆盖了等式 x一3·4一x成立，则x的取值范 围是() “27了5=3”中的运算符号，则覆盖的运 A.x>3 B.x<4 算符号是( C.3≤x≤4 D.3<x≤4 A.+ B.- C.× D.÷ 6.(2024·泰安新泰月考)下列四个算式： 13.(2024·济南菜芜区月考)实数a,b,c在数轴 ①√(a2+1)=a2+1:②√a=|a|:③ab= 上对应点的位置如图所示，化简√一 a·b:④x+1)(x-1)=/x+1· a+c-(c-b)+√a= √x一1(x≥1)，其中一定成立的是( 。b0 A.①②③④ B.①②④ 14.(2024·淄博淄川区期末)若m与√24可以 C.①② D.①③ 合并，则m的最小值是 一八年验·下带数学·曲数题 45 15.(2024·济南菜芜区月考)若最简二次根式 1 1 (3) 1 r一92x十y-5和，x-3y+Ⅱ是同类二次根 1+2 2+3+原+…+ 式，则xy的平方根是 √/2023+√2024 16.(2024·威海期末)已知y=-2+2一x十 3,则2值为 y+a 17.(2024·东营垦利区期末)计算：(2一3)(2+ 3)+12×W3= 18.(2024·东营东营区期末)计算：(/18一12)+ 3= 22.(2024·烟台莱山区月考)阅读下面的解题过 19.(泰安宁阳一模)计算（12十√2)(5 程，体会如何发现隐含条件并回答下面的 /30)+60 问题： 0 化简：(1-3.x)-|1-x 20.(淄博高青一摸)已知实数m,n满足m一3+ n-12=0,则√m十√n= 解：隐含条件1一3x≥0，解得x<号 21.(2024·烟台菜山区月考)计算： .1-x>0, .原式=(1-3.x)-(1-x)=1-3.x一 1a2a-218a+3a5oa: 1+x=-2.x. 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简√(x-3) (2-x). 【类比迁移】 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化 简：a+√(a+b)-|b-a. 06 (2)(3-1)-(23+3)(3-23)- ×26 √3 46 优十学播课的进一 23.(2024·威海文登区期末)定义：若两个二次 25.(2024·烟台招远期末)在解决问题“已知 根式a,b满足a·b=c,且c为有理数，则称 1 a= ,求2a2一8a+1的值”时，小明是 a与b是关于c的共轭二次根式. 2+3 层与，巨是关于 这样分析与解答的： 的共轭二次 因为a= 1 2-3 =2-3, 根式 2+3(2+3)(2-3) (2)若m与2√5一3，√2是关于2的共轭二次 所以a-2=-√3， 根式，则m= 所以(a-2)2=3,a2-4a+4=3, (3)若3+3与6+3n是关于12的共轭二 所以a2-4a=-1, 次根式，求n的值. 所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1= 2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下 问题： (1)化简： （结果的分母中不含根号）. 7-2 24.(2024·烟台栖霞期末)学习完二次根式后， (2)若a= 求2a2十12a-3的值. √10+3 杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求 3+5+√3-5的值 甲同学认真分析了式子的结构，做出如 下解答： 设x=√3+5+3一5，两边平方得： x2=(√3+5)+（√3-5）+ 2√/(3-5)(3+√5)，即x2=3+5+3 5+4, ∴x2=10,x=士/10. 通中考> ,3+5+√3-5>0， 26.(2024·济宁中考)下列运算正确的是( ∴3+5+√3-5=10 A.√2十3=5 B.√2X5=/10 请你参考上述方法，求6十√T+√6一而 C.2÷√2=1 D.√(-5)7=-5 的值. 27.(2024·烟台中考)若代数式一3一在实数范 V-I 围内有意义，则x的取值范围为 28.(2024·威海中考)计算：√12-8× √6= 一八年验下街数学曲我圆 47