第6章 专题1特殊平行四边形的综合应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

'R△AEBR△DGAR△CE'B: (3)连接DF,如图所示. $DG-AE=CE'..S-72= ·四边形ABCD是正方形, *$AB-AD-4.AB/CD 设AE-r,则DG144. ·F是AB的中点..,AF-FB. $.DF-2+4-25. r .正方形DEFG的面积为×2v5X2v5-10. 即DG-AE-CE'-12. ·四边形ABCD是正方形,..AB一BC. 9.解:(1)由线段AE,EF,BF组成的三角形是直角三角形,理 在Rt△ABE中.:AB-15. 由如下: .AM-AC-CM-4-a,BN-4-b. *$BE-AB-AE-15*-12-9. :四边形BE'FE是正方形...E'F-BE-9. 'AE-2AM-②(4-a),BF-②(4-b). .CF+F'F-CE'..$CF-CE'-F'F-12-9-3 '$AE+BF-2(4-a)+2(4-b)-2(a +$-8a-86+ 第3课时 正方形的性质与 32).AB-②AC-4/2. 判定的综合应用 '.EF-AB-AE-BF-2[4-(4-a)-(4-b)]. ,ab-8,EF-2(a+b-4)-2(a+b-8a-8+16+$ 1.D 2.A3.7② 2ab)-2(a+b-8a-8b+32). .'AE*十BF*-EF*.'由线段AE,EF,BF组成的三角形 5.解:(1)证明:连接AC,交BD于点O.如图所示 是直角三角形. (2)①如图①所示,连接PC交EF于点G ## ① ·四边形ABCD是菱形. :a-b...ME-AM-BN-NF. '.AO=CO.BO-DO.AC 1BD. ·四边形CNPM是矩形,..矩形CNPM是正方形, :BE-DF...BE+OB-DF+DO. *.PC平分 ACB..CG 1AB...PGE-90”. '.EO=FO.'.EF与AC垂直且互相平分. .CM-CN-PM-PN..'PE-PF. '.四边形AECF是菱形...乙AEF一乙CEF. ·△AEM,△BNF,△PEF均为等腰直角三角形. 又:AED-45*..AEC-90*. EF*-AE*+BF,EF-PE+PF. *萎形AFCF是正方形. $PE-AE=PF-BF..$ME-EG-FG-FN. (2)·BD-4.BE-3..DF-3. *. MCE= GCE, NCF= GCF. *.FF-10...AC-10. .乙ACB-90”. .萎形ABCD的面积为AC·BD- .ECF- ECG+ FCG- 1 ACB-45°. 6.A 7.D ②仍然成立,理由如下:将△BCF绕点C逆时针旋转90至 8.解:(1)证明:如图所示,作EM1AD △ACD,连接DE,如图②所示. 于点M,ENIAB于点N ·四边形ABCD是正方形, '.EAD-乙EAB. :EM IAD.ENIAB. .EM-EN. 'EMA-乙ENA- DAB-90”. ② :.四边形ANEM是矩形. . DAC= B=45,AD=BF.:' DAE= DAC+$$ :FF 1DE.' MEN- DEF-90” CAB-90. .DEM-FEN. 'DE-AD+AE-BF+AE. . EMD- ENF-90*,EM-EN. .FF*-BF+AE..DE-EF. '.△EMD△ENF(ASA)..'.ED-EF. 又.CD-CF.CE-CE. .四边形DEFG是矩形, . △DCE △FCE(SSS).. ECF =DCE= .四边形DEFG是正方形。 (2)·四边形DEFG是正方形, 四边形ABCD是正方形. 专题一 特殊平行四边形的综合应用 '.DG=DE.DC=DA=AB=4.$GDE= ADC-90 I.C '. ADG- CDE. 2.解:(1)30) '.△ADG2△CDE(SAS) (2)操作三:MBQ- CBQ .AG-CE. 操作四;成立,理由:根据折叠的性质,得AB一BM. .AE+AG-AF+FC-AC-AD+DC-4 BAP- PMB-90. 6 ·四边形ABCD是正方形...AB=BC. 证明:.AE平分乙BAC. *.BM-BC. . DAE=乙FAE. 在R:△BMQ和Rt△BCQ中. ·四边形ADEF为平行四边形, BQ-BQ. '.EF//DA. BM-BC. '. DAE-乙AEF. '.R:△BMOR△BCO(HL) . FAE= AEF. . MBQ- CBQ. 'AF-FF. '结论依然成立. ·平行四边形ADEF为菱形 (3)·正方形ABCD的边长为10...DC=AD-10.DF= 9.解:(1)由题意可知,AE=1X1=1(cm),则DE=AD- FC-5. AE=(6-7)cm,BF=1X2-21(cm),则CF=BC- .FO-3.QC-2.DQ-8. BF -(10-2)cm. .R△BMQ-R:△BCQ..MQ-QC-2. ''AD//BC.即DE/CF.*.当DE=CF时,四边形EFCD为 设AP-x,则PM-x.PD=10-r. 平行四边形, PQ-PM+MQ-x+2. 又.BC1CD..'.平行四边形EFCD是矩形 在直角三角形PDQ中,PQ{}-PD{}+DQ. 则有6-1-10-2,解得,-4. 答:当1一4时,四边形EFCD为矩形。 20 '(r+2)-(10-x)+8,解得 3 (2)·AD/BC,M是BC上一点,即AE/FM; ①当点F在线段BM上,AE一FM时,以A,M,E,F为顶点 .Ap20 的四边形是平行四边形, 3.C 4.6 5.D 6.4 则有1-4-2t,解得1- 7 7.解:(1).四边形ABCD是正方形; ②当点F在线段CM上,AE-FM时,以A,M,E,F为顶点 *.BC-CD.BCD- CDF-90。 的四边形是平行四边形, 在△BCE和△CDF中,.BC=CD,BCD=CDF. 则有:-2-4,解得1-4. CE-DF. .△BCE△CDF(SAS). 综上所述,当/-4或-时,以A,M,E,F为顶点的四边形是 ../CBE-DCF. 平行四边形. 又:BCG+ DCF-90. 本章综合提升 '.BCG+CBE-90”. 【本章知识归纳】 . BGC-90{。 直角 直角 相等 相等 直角 相等 相等 相互垂直 (2)·CE-1.'.DF-1...AF-2. 相互垂直 相等 菱形 矩形 对角线 一半 在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF-VAB{+AF= 【思想方法归纳】 ③+2-13。 【例1】B 【变式训练1】 ?点H为BF的中点, BGF一90* 解:(1)如图所示,连接EF:在正方形ABCD中:AB一AD $.HG-Br-1 2 B-D. (AB-AD. (3)·阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3. 在△ABE和△ADF中, B-乙D, .阴影部分的面积为×9-6. BE-DF: .空白部分的面积为9一6-3. '.△ABF%△ADF(SAS)..'.AE-AF 又· EAF-60*。..△AEF是等边三角形..'.EF-AE-2. .△BCE△CDF. ·BE=DF,BC-CD...BC-BE-CD-DF,即CE-CF. 1 ..△CEF是等腰直角三角形,CE+CF-EF...EC-② (2)证明:如图所示,在AG上截取GH一FG,连接FH _ 2 “ AGC-120{..'AGF-60{}..'.△FGH是等边三角形 ..FH-FG. FHG-60{。 .△AEF是等边三角形...乙AFE-60*。 . AFE= GFH-60' AFE- EFH= GFH .a-3: 又:十-3, EFH,即 AFH- EFG. (AF-EF. '.+2ab+b8-9+6-15. 在△AFH和△EFG中,乙AFH-乙EFG, 即(十6)-15. FH-FG. '+b- 15,即BG+CG=15. ..△AFH△EFG(SAS). '.△BCG的周长为 15+3. ..AH-EG,..AG-AH+GH-EG+FG. 8.解:(1)证明:已知D.E,F分别为AB,BC.AC的中点; 即AG-EG+FG. ..DE为△ABC的中位线, .DE/AC,且DE-AC-AF. 即DE/AF,DE-AF. '.四边形ADEF为平行四边形。 (2)答案不唯一,示例,选②专题一 特殊平行四边形的综合应用(答案P6 类型1 特殊平行四边形的折叠问题 问题:如图③所示,当正方形纸片ABCD的边 一、菱形的折叠问题 长为10,FQ=3时,求AP的长 1.如图所示,已知菱形纸片 ABCD, A-60*,点P 为AB的中点,折叠菱形 纸片ABCD,使点C落在 DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE, 则DEC等于( ) A.60。 B.65。 C.75* D.80* 二、矩形的折叠问题 2. 探究拓展综合与实践:在数学活动课上,老 师带领同学们以“矩形的折叠”为主题展开综 合与实践活动 #))# ① 三、正方形的折叠问题 (1)如图①所示,老师的操作如下; 3.如图所示,将边长为6cm的正方形纸片 操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC ABCD折叠,使点D落在边AB的中点E处。 重合,得到折痕EF,把纸片展平; 点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的 操作二:再一次折叠纸片,使点A落在EF上, 长为( ) 记作点M,并使折痕经过点B,得到折痕BP _ C. D1 把纸片展平,连接PM,BM,则MBC的度数 B.3 (2)“先锋”小组将矩形纸片剪成正方形纸片后 .....D 继续探究,过程如下: 操作三:如图②所示,将正方形纸片ABCD按 照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点 第3题图 第4题图 Q,连接BQ,则MBQ与 CBQ的数量关 系是 类型2 在特殊四边形中求面积问题 操作四:如图③所示,改变折痕BP的位置(点 一、根据三角形的面积公式求解缺失条件来求 P不与点A,D重合),使点M位于EF的下 面积 方,则操作三中 MBQ与 CBQ的数量关系 4.如图所示,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个 还成立吗?请说明理由. 顶点A,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC (3)“启思”小组继续思考,经过讨论,提出如下 8,则△ABF的面积为 二、寻找全等三角形,利用面积的和差求解 五、先探究结论成立的条件,再根据条件求解 5.如图所示,将矩形ABCD的四个角向内折叠 8.如图所示,D,E,F分别是△ABC各边的中 铺平,恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形 点,连接DE,EF,AE. EFGH.若EH=5,EF=12,则矩形ABCD (1)求证:四边形ADEF为平行四边形. ) (2)加上条件 的面积是( 后,能使得四边形 B13 120 C.60 A.13 D. 120 ADEF为菱形,请从① BAC=90*,②AE平 分 BAC,③ AEC=90*}这三个条件中选择 一个条件填空(写序号),并加以证明 第5题图 第6题图 三、利用萎形的面积公式求解 6.如图所示,正方形ABCD的边长为2/2,点 E,F在BD上,且DF=BE=1,则四边形 AECF的面积为 四、利用整体思想求解 7.如图所示,在正方形ABCD中,AB一3,点E, 类型3 特殊平行四边形中的分类讨论 F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交 9. 如图所示,在四边形ABCD中,AD/BC, 于点G. BC ICD,AD=6cm,BC=10 cm,点 E从$ (1)求 BGC的度数 A出发以1cm/s的速度向D运动,点F从点 (2)连接BF,若CE=1,点H为BF的中点 B出发,以2cm/s的速度向点C运动,当其 连接HG,求HG的长 中一点到达终点时,另一点也随之停止,设运 (3)若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 动时间为ts. 的面积之比为2:3,求△BCG的周长 (1)当:取何值时,四边形EFCD为矩形? (2)M是BC上一点,且BM=4,当t取何值 时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四 边形? H