第6章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

四边形ABCD是正方形，AB=BC, 证明：：AE平分∠BAC, :.BM=BC. ·∠DAE=∠FAE 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， .四边形ADEF为平行四边形， BQ=BQ, .EF∥DA, BM=BC, .∠DAE=∠AEF, .Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL), ∠FAE=∠AEF, ,∴.∠MBQ=∠CBQ, .AF=EF. 结论依然成立。 .平行四边形ADEF为菱形. (3),正方形ABCD的边长为10，.DC=AD=10,DF= 9.解：(1)由题意可知，AE=t×1=1(cm),则DE=AD- FC=5. AE-(6-t)cm,BF=tX2=2t (cm),CF BC- FQ=3,.QC=2,DQ=8. BF▣(10-2t)cm. ,R△BMQ≌Rt△BCQ,∴.MQ=QC=2. ,AD∥BC,即DE∥CF,.当DE=CF时，四边形EFCD为 平行四边形. 设AP=x,则PM=x,PD=10-x, 又，BC⊥CD,,平行四边形EFCD是矩形， PQ=PM+MQ=x十2， 则有6一t=10-2t,解得t=4. 在直角三角形PDQ中，PQ=PD+DQ, 答：当t=4时，四边形EFCD为矩形 六(x+2)2=(10-x)+8,解得x-2 (2):AD∥BC,M是BC上一点，即AE∥FM, 3 ①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A,M,E,F为顶点 AP- 的四边形是平行四边形， 3.C4.65.D6.4 则有=4一2，解得1=音 7.解：(1)四边形ABCD是正方形， ②当点F在线段CM上，AE-FM时，以A,M,E,F为顶点 ∴.BC=CD,∠BCD=∠CDF=90° 的四边形是平行四边形， 在△BCE和△CDF中，·BC=CD,∠BCD=∠CDF 则有t=21一4，解得1=4. CE=DF, ,△BCE≌△CDF(SAS), 综上所述，当1=4攻号时，以A,M,E,F为顶点的四边形是 ∴∠CBE=∠DCF. 平行四边形 又'∠BCG+∠DCF=90°， 本章综合提升 .∠BCG+∠CBE=90. 【本章知识归纳】 .∠BGC=90. 直角直角相等相等直角相等相等相互垂直 (2)CE=1,∴.DF=1,.AF=2. 相互垂直相等菱形矩形对角线一半 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=√AB十AF= 【思想方法归纳】 3+2=√13】 【例1】B 【变式训练1】 :点H为BF的中点，∠BGF=90°， 解：(1)如图所示，连接EF,在正方形ABCD中，AB=AD, AHG=号F= ∠B=∠D 2 AB=AD, (3):阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， 在△ABE和△ADF中，∠B=∠D, :明影部分的面积为号×9-6， BE=DF, .△ABE≌△ADF(SAS),∴.AE=AF ,空白部分的面积为9一6=3. 又，∠EAF=60°，∴，△AEF是等边三角形，.EF=AE=2, ,△BCE2△CDF, BE=DF,BC=CD,∴.BC-BE=CD一DF,即CE=CF, :△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为之 ∴△CEF是等腰直角三角形，CE十CF=EF,∴EC=√2. (2)证明：如图所示，在AG上截取GH=FG,连接FH, ,∠AGC=120°，∠AGF=60°，∴△FGH是等边三角形， ∴FH=FG,∠FHG=60 设BG=a,CG=b,则) 3 △AEF是等边三角形，，∠AFE=60°， .∠AFE=∠GFH=60°，∴.∠AFE-∠EFH=∠GFH- .ab=3. 又a2+b2=32, ∠EFH,即∠AFH=∠EFG. (AF=EF, ∴.a2+2ab+b2=9+6=15, 在△AFH和△EFG中，∠AFH=∠EFG, 即(a+b)2=15, FH=FG, ∴a+b=15,即BG+CG=√15， ∴.△AFH≌△EFG(SAS), ,.△BCG的周长为√15+3. ..AH=EG,AG=AH+GH=EG+FG. 8.解：(1)证明：已知D,E,F分别为AB,BC,AC的中点， 即AG=EG+FG. ∴DE为△ABC的中位线， DE/AC,且DE=ZAC=AR 即DE∥AF,DE=AF, ,,四边形ADEF为平行四边形， (2)答案不唯一，示例：选②. 【例2】/34 ∴.∠MEH=∠NEG',而∠EHM=∠EG'N=90°， 【变式训练2】 .△EMH≌△ENG',∴.EM=EN 解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，BE=DF, ,.AD∥BC,AD=BC, '.AF∥EC,AD一DF=BC-BE,即AF=EC, .四边形AECF为平行四边形. (2)设菱形AECF的边长为x, 四边形AECF为菱形，AB=4,BC=8,.AE=EC=x, BE=8-x. ②MC+NC=√2EC.理由如下：由△EMH≌△ENG可知， 在R1△ABE中，AE2=AB+BE,即x2=4+(8一x),解 MH=NG',而EG=HC, 得x=5, ..MC+NC-MH+HC+NC-NG'+EG'+NC-EG'+ .菱形AECF的边长为5. CG'=2CG'. (3)四边形AECF为菱形，.E,F关于直线AC对称 连接BF,交直线AC于点P,如图所示，点P即为所求， CG' 2EC, ∴.MC+NC=√2EC. 【通中考】 6.D7.A8.1o B C 9.解：方案一： 连接PE.在Rt△ABF中，BF=√AB+AF=√行， 四边形ABCD是矩形，，CD=AB=3,BC=AD=5. .PB+PE的最小值为√4红. 由作图知B0=0C=号BC=2.5, 【例3】1)4 e当 由翻折的性质，知AP=AB■3，OP=OB=2.5,∠APO 【变式训练3(2,4)或(3,4)或(8,4) ∠B=90°， 【通模拟】 .OP=OC=2.5,∠QP0=∠C=90° 1.C2.A3.② 又0Q=0Q, 4.解：(1)证明：，'AO=CO,B0=DO .R△QPO≌Rt△QCO(HL),∴PQ=CQ. ,':四边形ABCD是平行四边形， 设PQ=CQ=x,则AQ=3十x,DQ=3-x, ∴∠ABC=∠ADC. 在Rt△ADQ中，AD2+DQ'=AQ,即5+(3-x)=(3十 ,∠ABC+∠ADC=180°， x)2, 侣线段CQ的长为总 25 ∴.∠ABC=∠ADC=90°， 解得x ∴平行四边形ABCD是矩形 方案二： (2)由(1)得：∠ADC=90°，四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是矩形，.CD=AB=3,BC=AD=5. ,∠ADF；∠FDC=2:1,AC=BD, .∠FDC=30. 由作图知B0=0C-号BC=2.5, DF⊥AC,.∠DCO=90°-30°=60° 由旋转的性质，知CR■AB=3,∠R=∠BAO,∠OCR= 1 1 AO-CO-AC,BO-DO-2BD,AC=BD. ∠B=90°， 则∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，.D,C,R共线. ..OC=OD, 由翻折的性质，知∠BAO=∠OAQ,∴.∠OAQ=∠R, ∴∠ODC=∠DCO=60°， ∴.QA=QR. ∴.∠BDF=∠ODC-∠FDC=30. 设CQ=x,则QA=QR=3十x,DQ=3-x, 5.解：(1)证明：在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD,且 在Rt△ADQ中，AD2+DQ=AQ2,即52+(3-x)2=(3+ ∠OBC-∠OCD,∠BOC=90°. x)2, ,∠F0G=90°， .∠BOM=∠BOC-∠MOC=90°-∠MOC,∠CON= 解得：瓷线段0Q的长为号 25 ∠FOG-∠MOC=90°-∠MOC, .∠BOM=∠CON, 第七章二次根式 在△OBM和△OCN中， 1二次根式 I∠BOM=∠CON, 1.C2.B3.B4.A5.C OB=OC, ∠OBM=∠OCN, 6.解：1)5-4红≥0，即x<子所以当x<号时，V6-证有 .△OBM≌△OCN(ASA), 意义。 ∴.EM=EN. (2)①EM=EN. @2-8>0,即>号所以当>时有意文。 理由：如图所示，过点E作EH⊥BC,EG'⊥CD （8)+10即z≥-1且x≠5.所以当x≥-1且z≠5 由正方形ABCD可知，CA平分∠BCD, lx-5≠0， ..EH=EG'. :∠HEG'=360°-∠EHC-∠EGC-∠HCG'=90°， 时，五有意义. x-5本章综合提升（答案7） 本章知职归纳 的平行9边形叫做矩形 定义 有一个角是 矩形的四个角都是 性魔 矩形 矩形的对角线 对角线 的平行四边形是矩形 判定 有三个角是 的叫边形是矩形 的平行四边形叫做菱形 定义 有一组邻边 菱形的門条边都 性质 菱形 菱形的对角线 并且每一条对角线平分一组对角 对角线 的平行四边形是菱形 特殊平行四边形 判定 四条边 的四边形是菱形 有一个角是宜角的叫做正方形 定义 有一组年边相等的叫微正方形 正方彩的四条边都相等，四个角都是立角 性质 正方形 正方形的 相等，相互垂直且相互平分 判定 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 思想方法川纳 “之链接本章 矩形中线段长度的求解.在本章中，要 1.数形结合思想 特别注意数形结合思想的运用 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对 应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量 【例1】如图所示，在矩形 关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通 ABCD中，AB=3,AD=4,P 过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与 是AD上一动点，PF⊥BD于 形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象 点F,PE⊥AC于点E,则PE+ PF的值为( 问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 A号 B号 、2 C. D.5 优学嫌说的温 【变式训练1】如图所示，在正方形ABCD 动点，请在图中用直尺在AC上作出点P,使得 中，点E、点F分别在边BC,DC上，BE=DF, PB十PE的值最小，并求出这个最小值. ∠EAF=60°. (1)若AE=2,求EC的长 (2)若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证： AG=EG+FG. 3.分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能 进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准 进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的 讨论，最后综合各类结果得到整个问题的答案. “链接本章… 在本章中，如果题目所给出的对应元素 2.转化思想 不确定或者方法不确定时，要注意分类讨论 转化思想是把一种数学问题转换成另一种 解答，以免漏解 数学问题进行思考的方法.把要解决的问题，通 【例3】如图所示，在四边形ABCD中，AB∥ 过观察分析、类比联想等思维过程转化为已有知 CD,∠A=90°，AB=10cm,CD=12cm.点P 识范围内已经解决或容易解决的问题， 从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点 “镀授亦章…… Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动. 本章中，在正方形中，线段长度和的最 规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止 值问题等利用转化思想可得到解答： 运动，设Q点运动的时间为1秒.若P,Q两点同 【例2】如图所示，在正方形 D 时出发 ABCD中，E在BC上，BE=3, (1)当四边形APQD为矩形时，t的 CE=2,P在BD上，则PE与 值为 PC的长度和的最小 (2)若PQ=BC,1的值为 值为 【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中， D AB=4,BC=8,点E,F分别是边BC,AD上的 【例3】图 【变式训练3】图 点，且BE=DF.连接AE,CF和AC. 【变式训练3】如图所示，在平面直角坐标系 (1)求证：四边形AECF是平行四边形. 中，矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10， (2)如果四边形AECF是菱形，求该菱形的 0),(0,4),点D是OA的中点，点P在BC上运 边长 动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P (3)在(2)的基础上，点P是对角线AC上的一个 的坐标为 一八年级下的数学色教烟 25 通模拟 4.(2024·烟台菜州期末)如图所示，在四边形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO= 1.(2024·泰安岱岳区期未)要求加工4个长为 CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. 4cm、宽为3cm的矩形零件.陈师傅对4个零 (1)求证：四边形ABCD是矩形. 件进行了检测.根据零件的检测结果，图中不 (2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若 一定合格的零件是( ∠ADF:∠FDC=2：1,则∠BDF的度数是 em- 4 cm- 多少？ B -4c 4 cm- G D 2.(2024·济南菜芜区月考)在正方形ABCD 5.(2024·青岛莱西期末)正方形ABCD的对角 中，对角线AC,BD交于点O,∠ADB的平分 线AC,BD相交于点O,直角三角板EFG的 线交AB于点E,交AC于点G.过点E作 直角顶点E在线段AC上，EF,EG分别与 EF⊥BD于点F,∠EDM的边DM交AC于 BC,CD边相交于点M,N. 点M.下列结论： (1)如图①所示，若E点与O点重合，求证： ①AD=(W2+1)AE: EM=EN. ②四边形AEFG是菱形： (2)如图②所示，若E点不与O点重合： ③BE=2OG: ①EM还等于EN吗？说明理由， ④若∠EDM=45°，则GF=CM. ②试找出MC,CN,EC三者之间的等量关系， 其中正确的有() 并说明理由。 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第2题图 第3题图 3.(2024·淄博沂源期末)如图所示，在△ABC 中，AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥ CD,CE∥AD.若从三个条件：①AB=AC: ②AB=BC:③AC=BC中，选择一个作为已 知条件，则能使四边形ADCE为菱形的 是 (填序号) 26 优学棒课的温 通巾考 6.(2024·东营中考)如图所示，四边形ABCD 转 是矩形，直线EF分别交AD,BC,BD于点 E,F,O,下列条件中，不能证明△BOF≌ ① △DOE的是( 【问题提出】 在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,求线段CQ 的长 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案 A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 如下： B.EO=FO 方案一：连接OQ,如图②所示.经过推理、计算 C.AE=CF 可求出线段CQ的长. D.EF⊥BD 方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO 7.(2024·济宁中考)如图所示，菱形ABCD的 处，如图③所示，经过推理，计算可求出线段 对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点， CQ的长 连接OE.若OE=3,则菱形的边长为() 请你任选其中一种方案求线段CQ的长 A.6 B.8 C.10 D.12 8.(2024·青岛中考)如图所示，菱形ABCD中， BC=10,面积为60，对角线AC与BD相交于 点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连 接EO,则EO= 9.(烟台中考)【问题背景】 如图①所示，数学实践课上，学习小组进行探 究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如 下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于 号BC的长度为半径作，两弧相交于点B, F,作直线EF交BC于点O,连接AO:②将 △AB)沿AO翻折，点B的对应点落在点P 处，作射线AP交CD于点Q. 一八年级：下的+数学也教圈 27