第6章 3 正方形的性质与判定 第3课时 正方形的性质与判定的综合应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

第3课时正方形的性质与判定的综合应用（答案P6) 通础> 5.如图所示，已知菱形ABCD,点E,F是对角线 BD所在直线上的两点，且∠AED=45°， 知识点正方形的性质与判定的综合应用 DF=BE,连接CE,AF,CF,得四边形 1.(2024·宜昌期末)正方形具有而矩形不一定 AECF. 具有的性质是( (1)求证：四边形AECF是正方形 A.四个角都是直角 (2)若BD=4,BE=3,求菱形ABCD的面积. B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线平分一组对角 2.(2024·滨州无棣期末)如图所示，已知正方形 ABCD的面积为16，点Q是AB边上的一个 动点（点Q不与点B重合），点M,N分别是 DQ,BQ的中点，则线段MN=( A.22 B.4 C.42 D.16 3.如图所示，在正方形ABCD中，△ABE和 △CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD= 90°，AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的 耀固对正方形的性质及判定方法掌握不牢 长是 6.如图所示，已知四边形ABCD为正方形， AB=2√2，E为对角线AC上一点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于 点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接 第3题图 第4题图 CG,以下结论：①矩形DEFG是正方形： 4.如图所示，在R1△ABC中，∠ACB=90°，CD ②2CE+CG=2AD:③CG平分∠DCF: 平分∠ACB交AB于点D,按下列步骤作图. ④CG=AE.其中结论正确的序号有( 步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于 2CD的长为半径画孤，两弧相交于M,N两 点：步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点 E,F:步骤3：连接DE,DF.若AC=8,BC= A.①③④ B.①②④ 6,则线段DE的长为 C.①②③ D.①②③④ 20 优十学播课阴温 通能力> 通素养 7.如图所示，点E在正方形ABCD的对角线AC 9.如图①所示，△ABC是等腰直角三角形， 上，且CE=2AE,Rt△EFG的两直角边EF, AC=BC=4,∠ACB=90°，M,N分别是边 EG分别交BC,CD于点M,N.若正方形 AC,BC上的点，以CM,CN为邻边作矩形 ABCD的边长为n,则重叠部分四边形 PMCN,交AB于点E,F.设CM=a,CN= EMCN的面积为( b,若ab=8. (I)判断由线段AE,EF,BF组成的三角形的 形状，并说明理由。 (2)①当a=b时，求∠ECF的度数， ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明 理由， 8.如图所示，在正方形ABCD中，AB=4,点E 是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作 达这 EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边 备用图 备用图2 作矩形DEFG,连接AG (1)求证：矩形DEFG是正方形. (2)求AE十AG的值. (3)若F恰为AB的中点，请直接写出正方形 DEFG的面积. 一八年验下带：数学曲数题 21',Rt△AEB≌Rt△DGA≌Rt△CEB, (3)连接DF,如图所示. ∴DG=AE=CE.:SAE=72=2DG·AE, :四边形ABCD是正方形， .AB=AD=4,AB∥CD 设AE=x,则DG=144, :F是AB的中点，AF=FB, x .DF=√2+4=25， ÷由AB=DG得x=144,解得x=12(负值舍去)， 工 ÷正方形DEFG的面积为号×2,5X25=10. 即DG=AE=CE'=12. 四边形ABCD是正方形，.AB=BC 9,解：(1)由线段AE,EF,BF组成的三角形是直角三角形，理 在Rt△ABE中，AB=15, 由如下： .AM=AC-CM=4-a,BN=4-6, ∴.BE=√AB2-AE=15-12=9. ∴.AE=√EAM=√2(4-a),BF=2(4-b), ,四边形BE'FE是正方形，E'F=BE=9. ∴.AE2+BF3=2(4-a)+2(4-b)2=2(a2+b-8a-8b+ CF+E'F=CE',CF=CE'-E'F=12-9=3. 第3课时正方形的性质与 32),AB=√2AC=4V2, 判定的综合应用 ∴.EF=AB-AE-BF=√2[4-(4-a)-(4-b)]. .ab=8,EF2=2(a+b-4)2=2(a2+b2-8a-8b+16+ 1D2A37E49 2ab)=2(a'+b2-8a-8b十32)， AE2十BF=EF2,∴由线段AE,EF,BF组成的三角形 5,解：(1)证明：连接AC,交BD于点O,如图所示， 是直角三角形. (2)①如图①所示，连接PC交EF于点G. ,四边形ABCD是菱形， a6,.ME-AM-BN-NF. .AO=CO,BO=DO,AC⊥BD ,四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形， BE=DF,..BE+OB=DF+DO, .PC平分∠ACB.∴CG⊥AB,∴∠PGE=90°. ∴EO一FO,∴.EF与AC垂直且互相平分， CM=CN=PM=PN,..PE=PF. ,四边形AECF是菱形，.∠AEF=∠CEF ,'△AEM,△BNF,△PEF均为等腰直角三角形， 又：∠AED=45,∴∠AEC=90°， EF=AE+BF.EF=PE+PF2, .菱形AECF是正方形 :.PE=AE=PF=BF.:.ME=EG=FG=FN, (2)BD=4,BE=3,.DF=3, ∴.∠MCE=∠GCE,∠NCF=∠GCF. ∴EF=10,∴.AC=10, '∠ACB=90°， ∴菱形ABCD的面积为2AC,BD=号X10X4=20, 1 ∴∠ECF=∠ECG+∠FCG=号∠ACB=45. 6.A7.D ②仍然成立，理由如下：将△BCF绕点C逆时针旋转90°至 8.解：(1)证明：如图所示，作EM⊥AD △ACD,连接DE,如图②所示， 于点M,EN⊥AB于点N. :四边形ABCD是正方形， .∠EAD=∠EAB. EM⊥AD,EN⊥AB, ..EM=EN. :∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°， ② .四边形ANEM是矩形 ∴.∠DAC=∠B=45°，AD=BF,,.∠DAE=∠DAC+ :EF⊥DE,∴.∠MEN=∠DEF=9O°， ∠CAB=90°， ∴∠DEM=∠FEN. .DE2=AD+AE=BF+AE. :∠EMD=∠ENF=90°，EM=EN, ."EF2=BF+AE,∴.DE=EF ,△EMD≌△ENF(ASA),.ED=EF. 又，CD=CF,CE=CE, 四边形DEFG是矩形， '.△DCE2△FCE(SSS),∴.∠ECF■∠DCE■ ,四边形DEFG是正方形. 1 (2).四边形DEFG是正方形， ∠DcF-号×90-45 四边形ABCD是正方形， 专题一特殊平行四边形的综合应用 ∴.DG=DE,DC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90°， 1.C .∠ADG=∠CDE, 2.解：(1)30 .△ADG≌△CDE(SAS) (2)操作三：∠MBQ=∠CBQ AG=CE 操作四：成立，理由：根据折叠的性质，得AB=BM, ∴.AE+AG=AE+EC=AC=√AD+DC=4W2. ∠BAP=∠PMB=90°.