第6章 3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

在△ADF和△ABG中， 9.解：(1)证明：如图所示， AD=AB, ∠ADF=∠ABG DF=BG· ∴.△ADF≌△ABG(SAS),∴，AF=AG,∠DAF=∠BAG. ,∠EAF=45,∴.∠BAE+∠DAF=45, .∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=45, MN∥BC,.∠3=∠2. ∴.∠EAF=∠EAG. 又，CF平分∠GC0,.∠1=∠2，∠1=∠3，∴.F0=C0. IAF=AG. 同理：E)=C),.E)=F) 在△EAF和△EAG中，{∠EAF=∠EAG, (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. AE=AE. 证明：：当点O运动到AC的中点时，AO=(CO, .△EAF≌△EAG(SAS),∴.EF=EG 又EO=FO,.四边形AECF是平行四边形 GE-BG+BE.BG-DF..GE DF+BE. 由(1)可知，FO=(O,∴AO=CO=O=FO, .EF-BE+DF. .AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴.四边形AECF是 【间题拓展与应用】，正方形ABCD的边长为6， 矩形. ,.AB=BC=CD=AD=6,∠B=∠C=∠D=90 (3)当点O运动到AC的中点，且△ABC为∠ACB=90°的直 在R1△ABE中，AB=6,AE=35, 角三角形时，四边形AECF是正方形.理由如下： ∴BE=√AE-AB=√(35)-6=3， 由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是 矩形. ,∴，CE=BC-BE=6-3=3. 由【问题发现与证明】可知，EF=BE十DF, MN∥BC,.∠AOE=∠ACB 设DF=x,则CF=CD-DF=6-x,EF=BE+DF= ∠ACB=90°，.∠AOE=90°， .AC⊥EF,,四边形AECF是正方形. 3十x· 在Rt△FEC中，CE+CF=EF, 10.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下： :将Rt△ABE绕点B按频时针方向旋转90°， .3+(6-x)=(3十x),解得x=2,.DF=2. 得到△CBE', 在R△ADF中，AF=√AD+DF=√6+2=2I0. ∴∠AEB=∠CEB=90°，BE=BE',∠EBE=90 第2课时正方形的判定 又∠BEF=90°，∴.四边形BEFE是矩形. 1.A 又，BE=BE,,四边形BEFE是正方形 2.证明：作AG⊥EF于点G,如图所示. (2)CF=FE,证明如下： 如图所示，过点D作DH⊥AE于点H. B .∠AGE=∠AGF=90° DA=DE,DH⊥AE,.AH= AB⊥CE,AD⊥CF, 2AE,∠ADH+ .∠B=∠D=∠C=90° ∠DAH=90 .四边形ABCD是矩形 :四边形ABCD是正方形，.AD=AB, :FA平分∠DFE,EA平分∠BEF, ∠DAB=90. .∠AEB=∠AEG,∠AFG=∠AFD. ∴.∠DAH+∠EAB=90°..∠ADH=∠BAE 在△AEB和△AEG中， 又，AD=BA,∠AHD=∠BEA=90°， I∠AEB=∠AEG, ∴△ADH2△BAE(AAS.∴BE=AH=2AE. ∠ABE=∠AGE=90°， ,将R1△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到 AE=AE. △CBE',∴.AE=CE ∴.△AEB≌△AEG(AAS). 四边形BE'FE是正方形，BE=EF ..AB=AG. ∴.E'F=AH.∴.CF=HE=FE' 同理可证明：△AFG≌△AFD(AAS), (3)作DG⊥AE于点G,如图所示 .AD-AG. D ..AB-AD. ,四边形ABCD是正方形. 3.证明：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. BE=DF∴OE=OF,∴.四边形AECF是菱形. OE=0A=OF.OE=OF=0A=OC.EF=AC. 由(2)可知，Ri△AEB2Rt△DGiA, .菱形AECF是正方形， 由将R:△ABE绕点B按顺时针方向旋转90得Rt△CBE 4.D5.B6.B7.C8.∠ACB=90 可知，Rt△ABE2R△CBE', 5 ∴.Rt△AEB≌Rt△DGA≌Rt△CE'B. (3)连接DF,如图所示. ∴DG=AE=CE,SE=72=2DG·AE, :四边形ABCD是正方形， ..AB=AD=4.AB//CD. 设AE=r,则DG=14 :F是AB的中点，AF=FB, .DF=√2+F=25, :由AB=DG得r=,解得r=12(负值舍去 x ÷正方形DEFG的面积为2×25×2,5=I0. 即DG=AE=CE'=12. 四边形ABCD是正方形，.AB=BC 9.解：(1)由线段AE,EF,BF组成的三角形是直角三角形，理 在Rt△ABE中，：AB=15, 由如下： AM=AC-CM=4-a,BN=4-6, ∴.BE=√AB-AE=√/15-12=9. ∴.AE=2AM=√2(4-a),BF=2(4-b). ,四边形BE'FE是正方形，.EF=BE=9. .AE2+BF2=2(4-a)2+2(4-b)2=2(a2+b2-8a-86+ CF+E'F=CECF=CE-E'F=12-9=3. 第3课时正方形的性质与 32),AB=√2AC=4√2. 判定的综合应用 ∴.EF=AB-AE-BF=√2[4-(4-a)-(4-b)] ab=8,EF2=2(a+b-4)2=2(a2+b2-8a-8b+16+ 1D2A7位4 2ab)=2(a2+b°-8a-8b十32)， AE+BF=EF,.由线段AE,EF,BF组成的三角形 5.解：(1)证明：连接AC,交BD于点O,如图所示 是直角三角形. (2)①如图①所示，连接PC交EF于点G. 四边形ABCD是菱形， ,a=b,∴.ME=AM=BN=NF .AO=CO,BO=DO,AC⊥BD ,四边形CNPM是矩形，.矩形CNPM是正方形， .BE=DF...BE+OB=DF+DO. .PC平分∠ACB,.CG⊥AB,∠PGE=90 ∴，EO=FO,∴.EF与AC垂直且互相平分， .CM=CN=PM=PN...PE=PF. ∴四边形AECF是菱形.∠AEF=∠CEF, △AEM,△BNF,△PEF均为等腰直角三角形， 又∠AED=45.∴.∠AEC=90, EF=AE+BE,EF=PE+PF. ,菱形AECF是正方形 ..PE=AE-PF=BF..ME=EG=FG-FN. (2)BD=4,BE=3..DF=3. ∴.∠MCE=∠GCE,∠NCF=∠GCF, ∴EF=10,.AC=10, :∠ACB=90, 菱形ABCD的面积为AC·BD=号×10X4=20, 1 &∠BCF=∠BCG+∠FCG=专∠ACB=A5 6.A7.D ②仍然成立，理由如下：将△BCF绕点C逆时针旋转90°至 8.解：(1)证明：如图所示，作EM⊥AD △ACD,连接DE,如图②所示， 于点M,EN⊥AB于点N. ,四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD=∠EAB. ,EM⊥AD,EN⊥AB, ..EM=EN. :∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°， .四边形ANEM是矩形 ∴.∠DAC=∠B=45,AD=BF,.∠DAE=∠DAC+ :EF⊥DE,∴∠MEN=∠DEF=9o, ∠CAB=90°， ∴.∠DEM=∠FEN. ∴DE=AD+AE=BF2+AE, ∠EMD=∠ENF=90,EM=EN, :EF=BF十AE,.DE=EF ,△EMD≌△ENF(ASA),.ED=EF 又，CD=CF,CE=CE, 四边形DEFG是矩形， ∴.△DCE≌△FCE(SSS),∴.∠ECF=∠DCE= .四边形DEFG是正方形. (2)四边形DEFG是正方形， 2∠DcF=号×90=45. 四边形ABCD是正方形， 专题一特殊平行四边形的综合应用 .DG=DE,DC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90°， 1.c .∠ADG=∠CDE, 2.解：(1)30 .△ADG2△CDE(SAS) (2)操作三：∠MBQ=∠CBQ .AG-CE. 操作四：成立.理由：根据折叠的性质，得AB=BM, ∴.AE+AG=AE+C=AC=√AD+DC=42. ∠BAP=∠PMB=90°.第2课时 正方形的判定（答案P5) 通基础 知识点2对角线相等的菱形是正方形 3.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 知识点1有一组邻边相等的矩形是正方形 相交于点O,点E,F在对角线BD上，且 1.(2024·泰安东平期末)如图所示，将长方形纸 BE=DF,OE=OA 片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为 求证：四边形AECF是正方形. BE,若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方 形，其数学原理是( A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 知识点3对角线垂直的矩形是正方形 D.轴对称图形是正方形 4.在四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的 2.(2024·泰安宁阳月考)如图所示，在Rt 交点，能判定这个四边形为正方形的是() △CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE的外角 A.AD∥BC,∠B=∠D 平分线交于点A,过点A作AB⊥CE的延长 B.AC=BD,AB=CD,AD=BC 线于点B,过点A作AD⊥CF的延长线于点 C.OA=OC.OB=OD.AB=BC D.求证：四边形ABCD是正方形. D.OA=OB=O=OD,AC⊥BD 知识4有一个角是直角的菱形是正方形 5.(2024·沧州南皮模拟)已知四边形ABCD是 平行四边形，若AC⊥BD,要使得四边形 ABCD是正方形，则需要添加条件() A.AB=BC B.∠ABC=90 C.∠ADB=30° D.AC=AB 易插适对正方形的判定方法掌握不扎实 6.(2024·北京朝阳区期中)已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC,②∠ABC 90°，③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中，选 两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是 正方形，现有下列四种选法，其中不正确的 是( A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 18 优种学秦说的道一 通能力 通素养 7.如图所示，一个四边形顺次添加下列条件中的 10.问题情境： 三个便得到正方形： 如图①所示，点E为正方形ABCD内一点， a.两组对边分别相等； ∠AEB=90°，将R1△ABE绕点B按顺时针 b.一组对边平行且相等： 方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点 c.一组邻边相等： 为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE. d.一个角是直角. 猜想证明： 顺次添加的条件：①a→c→d:②b→d*c: (1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明 ③a→b→c.其中正确的是( ) 理由. A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ (2)如图②所示，若DA=DE,请猜想线段 CF与FE的数量关系并加以证明。 (3)如图①所示，若△ADE的面积为72， 添加条件 BC=15,请求出CF的长. 四边形 正方形 第7题图 第8题图 8.如图所示，在△ABC中，AC=BC,点D,E分 别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使 DE=EF,得四边形ADCF.若使四边形AD CF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条 件为 9.如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一 个动点，过点O作直线MN∥BC,设MN交 ∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平 分线于点F (1)求证：EO=FO. (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩 形？并证明你的结论 (3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条 件时，四边形AECF是正方形？并说明理由. 一八年级下的数学色教烟 19