第6章 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

四边形EGFH为菱形， .AB=2BE=2, .GH⊥EF,OG=OH,OE=OF, .DF=AE=√AB-BE=√2-1=√5， ..OA=OC,AG-AH, ∴，四边形AGCH为菱形， ∴BD=√BF+DF=√4+(W3)2=√I9. .AG=CG ∠DFB=90°，OB=OD, 设AG=CG=x,则DG=8-x, 由勾股定理，得CD+DG2-CG, oF-0-四 即62+(8-x)2=x2, 12.解：(1)四边形DEBF是矩形.证明如下： 都得：空 DE⊥AB,BF⊥DC, .∠DEB=∠BFD=90° MG=25 -4=即= :四边形ABCD是菱形，.ABCD, ∴∠DEB+∠EDF-180, ∴当：=号时，四边形EGFH为菱形. .∠EDF=∠DEB=∠BFD=90°， “,四边形DEBF是矩形 阶段检测一（1~2) (2)如图所示，连接PB. 1.B2.C3.A4.A5.A6.O是AB的中点 7.328.8cm9.12 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD CE∥BD,EB∥AC, ,四边形OCEB是平行四边形 :四边形ABCD是菱形，.AC垂直平分BD, AC⊥BD, ∴.PB=PD. ',四边形OCEB是矩形， 由(1)知，四边形DEBF是矩形，∴DE=BF=8. ..OE=CB. 设PD=BP=x,则PE=8-x, (2)由(1)知，AC⊥BD,BC-OE=2. 在Rt△PEB中，由勾股定理，得(8一x)2十42=x2, :OC:OB=1:2, 解得x=5,.DP=5. ,设OC=x,则OB=2x 3正方形的性质与判定 在R△BOC中，由勾股定理得BC=OC+OB2,即4= x2+4x2, 第1课时正方形的性质 1.B2.875或15°3.A4.A5.B6.C7.C8.C 解得工-25（负值已合）. 5 9.C10.B11.B 12.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， c0=50B-5 ∴AC⊥BD,OD=OC,∴.∠DOG=∠COE=90°， 5 :四边形ABCD是菱形， ∠OEC+∠OCE=90°. :DF⊥CE,.∠OEC+∠ODG=90°， ∴AC=45,BD=85 ∴.∠ODG=∠OCE, 5 .△COE2△DOG(ASA) 菱形ABCD的面积是号BD·AC-9 ∴.OE=OG. 1L.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， (2)如图所示，过点E作EP⊥BC于点P ∴.AB∥DC且AB=DC ∠ABE=∠DCF 在△ABE和△DCF中， AB-DC, ∠ABE=∠DCF, BE=CF, B ∴.△ABE≌△DCF(SAS), ,四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴.AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°， AE∥DF, iAC⊥BD,Bc=AB=4,0C=号AC-号AB=2E. ,四边形ADFE是平行四边形 ∠CBD=45. ∠DFC=90, CE平分∠BCO,EP⊥BC,OE⊥OC, .平行四边形ADFE是矩形. (2)由(1)知：四边形ADFE是矩形， .PC=OC=2√2， ∴.EF=AD=3. .BP=BC-PC=4-2√2. ,四边形ABCD是平行四边形， ,∠CBD=45,EP⊥BC, ..BC=AD=3,CD=AB,OB=OD, ∴△BEP是等腰直角三角形， ∴.BE=CF=BC-EC=I, ∴BE=√2BP=4√2-4. .BF=BC+CF=4. 13.解：【问题发现与证明】证明：，四边形ABCD为正方形， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°， .AD=AB,∠BAD=∠D=90°， .∠BAE=90°-∠ABE=30°， ∴.∠ADF=∠ABG=90. 在△ADF和△ABG中， 9.解：(1)证明：如图所示， AD=AB, ∠ADF=∠ABG, DF=BG, ∴.△ADF≌△ABG(SAS),.AF=AG,∠DAF=∠BAG ,∠EAF=45°，∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=45, ∴.∠EAF=∠EAG. :MN∥BC,.∠3=∠2. 又CF平分∠GC0,.∠1=∠2，.∠1=∠3，.F0=C0 AF-AG. 同理：EO=CO,.EO=FO 在△EAF和△EAG中，（∠EAF=∠EAG, (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. AE-AE. 证明：：当点O运动到AC的中点时，AO=CO, ∴.△EAF≌△EAG(SAS),∴.EF=EG 又，EO=FO,,四边形AECF是平行四边形 .GE=BG+BE,BG=DF,..GE=DF+BE, 由(1)可知，FO=CO,∴.AO=CO=EO=FO, ∴，EF=BE十DF. .AO十CO=EO+FO,即AC=EF,,.四边形AECF是 【问题拓展与应用】：正方形ABCD的边长为6， 矩形. ,.AB=BC=CD=AD=6,∠B=∠C=∠D=90° (3)当点O运动到AC的中点，且△ABC为∠ACB=90°的直 在Rt△ABE中，AB=6,AE=35, 角三角形时，四边形AECF是正方形.理由如下： ∴.BE=√AE-AB=√(35)-6=3， 由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是 ,CE=BC-BE=6-3=3. 矩形. ,MN∥BC,,∠AOE=∠ACB 由【问题发现与证明】可知，EF=BE+DF, ∠ACB=90°，.∠AOE=90°， 设DF=x,则CF=CD一DF=6一x,EF=BE+DF= AC⊥EF,∴.四边形AECF是正方形. 3十x， 10.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下： 在Rt△FEC中，CE+CF2=EF, ,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， .3+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,∴DF=2. 得到△CBE', 在R△ADF中，AF=√AD+DF=√6+2=2√10. ∠AEB=∠CE'B=90°，BE-BE',∠EBE'=90°. 第2课时正方形的判定 又∠BEF=90°，，四边形BEFE是矩形」 1.A 又，BE=BE,,四边形BEFE是正方形 2.证明：作AG⊥EF于点G,如图所示 (2)CF=FE'.证明如下： 如图所示，过点D作DH⊥AE于点H ,.∠AGE=∠AGF=90°. AB⊥CE,AD⊥CF, DA=DE,DH LAE,六AH=zAE,∠ADH+ ∴∠B=∠D=∠C=90, ∠DAH=90 ∴.四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是正方形，AD=AB :FA平分∠DFE,EA平分∠BEF, ∠DAB=90°. ∴∠AEB=∠AEG,∠AFG=∠AFD. .∠DAH+∠EAB=90°..∠ADH=∠BAE. 在△AEB和△AEG中， 又：AD=BA,∠AHD=∠BEA=90°， I∠AEB=∠AEG, ·△ADH≌△BAE(AAS).BE=AH=2AE. ∠ABE=∠AGE=90°， :将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到 AE-AE, △CBE,,AE=CE'. .△AEB2△AEG(AAS), :四边形BEFE是正方形，∴BE=E'F, .AB=AG. EF=AH.∴，CF=HE=FE, 同理可证明：△AFG≌△AFD(AAS), (3)作DG⊥AE于点G,如图所示 ∴.AD=AG, D .AB=AD. .四边形ABCD是正方形. 3.证明：，四边形ABCD是菱形， ..AC LBD,OA=OC,OB=OD. BE=DF,∴OE=OF,∴.四边形AECF是菱形 :OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC, 由(2)可知，Rt△AEB≌Rt△DGA, ∴，菱形AECF是正方形. 由将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得Rt△CBE 4.D5.B6.B7.C8.∠ACB=90 可知，Rt△ABE≌Rt△CBE',3正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（答案P4) 通基础 A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 划识京1正方形的定义 6.如图所示，正方形ABCD的对角线AC,BD 1.下面四个定义不正确的是( 相交于点O,OA=3,则此正方形的面积 A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 为( B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形 A.32 B.12 C.18 D.36 C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 D 行四边形叫做正方形 D.对角线相互垂直的平行四边形叫做菱形 知识点2正方形的对称性 第6题图 第7题图 2.(2024·石家庄栾城区期末)如 7.如图所示，正方形ABCD的对角线AC,BD 图所示，正方形ABCD的边长 相交于点O,点E是OB的中点，连接AE,若 为4，则图中阴影部分的面积 AB=4,则线段AE的长为( 是 ,若以CD为边作B A.22 B.3 C.10 D./13 等边△CDE,则∠AED的度数是 易精臣对正方形的性质运用不熟练 知织点3正方形边、角的性质 8.如图所示，在正方形ABCD中，DE是∠BDC 3.(2024·聊城月考)如图所示，在正方形ABCD 的平分线，若正方形的边长是1，则CE的长 外侧作等边△ADE,则∠AEB的度数 是( 为() 1 A.15 B.22.5 C.20 D.10 A.2 C.2-1 D.22-1 第3题图 第4题图 第8题图 第9题图 4.(2024·商洛商南期末)如图所示，已知正方形 ABCD的边长为4，点E,F分别在边AB,BC 通能力 上，且AE=BF=1,则OC的长为( 9.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC, A.2.4 B.3 C.4 D.5 BD相交于点O.E,F分别为AC,BD上一 知识点4正方形对角线的性质 点，且OE=OF,连接AF,BE,EF.若 5.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分 ∠AFE=25°，则∠CBE的度数为() 的是() A.50° B.55 C.65° D.70 16 优学泰说时温 10.如图所示，E,F分别是正方形ABCD的边 通素养 CD,BC上的点，且CE=BF,AF,BE相交 于点G,下列结论正确的是() 13.阅读理解【问题发现与证明】 ①AF=BE:②AF⊥BE:③AG=GE: 如图①所示，四边形ABCD是正方形，E,F ④S△AG=S四边形(EGF· 分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，我们 A.①②③ B.①②④ 把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模 C.①③④ D.②③④ 型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一 在图②中，连接EF,为了证明结论“EF= BE+DF”,小亮延长CB到G,使BG=DF, 解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明 过程 G 第10题图 第11题图 【问题拓展与应用】 11.(2024·泸州中考)如图所示，在边长为6的 如图③所示，正方形ABCD的边长为6，点 正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC E,F分别在BC,CD上，若AE=35, 上的动点，且满足AE=BF,AF与DE交于 ∠EAF=45°，求AF的长. 点O,点M是DF的中点，G是边AB上的 点，AG=2GB,则OM+2FG的最小值 是() A.4 B.5 C.8 D.10 12.(2024·临沂兰陵期末)如图所示，正方形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E是 线段OB上的点（不与O,B重合），过点D 作DF⊥CE,交BC于点H,交AC于点G. (1)求证：OE=OG (2)若CE平分∠BCO,AB=4,求BE的长. 一八年级下的数学色教版 17