19.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

第2课时 菱形的判定（答案P23) 通塞》99999999999999999n 4.如图所示，点B,C分别是锐角∠A两边上的 点，AB=AC,分别以点B,C为圆心，以AB 知识点1一组邻边相等的平行四边形是菱形 的长为半径画弧，两弧相交于点D,连接BD, 1.(2024·保定莲池区月考)在四边形ABCD CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱 形的依据是 中，AB∥CD,AB=BC,添加下列条件后仍然 不能推得四边形ABCD为菱形的是( A.AB=CD B.AD∥BC C.AB=AD D.AD=CD 2.(2024·唐山乐亭期末)依据所标数据，下列一 知识点3对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定为菱形的是( ) 5.(2024·滨州邹平期末)若四边形ABCD中， AB=CD,AD=BC,再添加一个下列条件能 100 使其成为菱形的是() 、70110 人80 11 A.∠A=∠B B.AC⊥BD A B C.∠A=∠C D.AC=BD 6.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 110 AC,BD交于点O,则下列条件能判定四边形 、70 ABCD一定是菱形的是( D 知识点2四边都相等的四边形是菱形 3.(2024·榆林期末)如图所示，已知△ABC, AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的 A.AB=CD B.AB⊥BC △DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能 C.AC=BD D.AC⊥BD 直接判定四边形ABDC是菱形的依据 知识点4菱形的性质与判定的综合运用 是() 7.如图所示，O既是AB的中点，又是CD的中 点，并且AB⊥CD.连接AC,BC,AD,BD,则这 四条线段的大小关系是( A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A.全相等 B.互不相等 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.只有两条相等 D.不能确定 一八件级卡伊数学 105 8.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC, AB的长为() DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点 F,若AF=6,则四边形AEDF的周长 是() A.9.6 cm B.10 cm C.20 cm D.12 cm 12.(2024·临沂月考)如图所示，在菱形ABCD A.24 B.28 C.32 D.36 中，∠A=100°，E,F分别是边AB,BC的中 稻固对菱形的判定方法掌握不牢致错 点，EP⊥CD于点P,则∠FPC的度数 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 是( AC,BD相交于点O,点E,F分别是OA,OC 的中点，下列条件，不能判断四边形BEDF是 菱形的是( A.50° B.45° C.40° D.30 13.如图所示，口ABCD的对角线AC,BD相交 A.AC⊥BD B.AC=2BD 于点O,点E,F,G,H分别是OA,OB,OC, C.AC平分∠BAD D.AB=BC OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱 形，则口ABCD应满足的条件 通能力> 是 .(写出一种即可) 10.几何直观)两张全等的矩形纸片ABCD, AECF按如图所示方式交叉叠放在一起， AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC=6,则 图中重叠（阴影）部分的面积为() 14.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD 为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点 E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线 于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连 接BG,DF.若AG=13,CF=6,则 B.25 BG= D.√12 11.如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 重叠的部分为四边形ABCD,连接AC,BD, 若测得AC为12cm,BD为16cm,则线段 106 优学案课时通一 15.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC 通素养 与BD相交于点O,AC⊥BD,AC平 分∠BAD 17.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD, (1)给出下列四个条件：①AB=AD,②OB= CB=CD,E是CD上的点，BE交AC于点 OD,③∠ACB=∠ACD,④AD∥BC.从上述 F,连接DF, 四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形 (1)求证：∠BAF=∠DAF,∠AFD= ABCD是菱形，这个条件是 。(填序 ∠CFE. 号) (2)若AB∥CD,求证：四边形ABCD (2)根据所选择的条件，证明四边形ABCD 是菱形 是菱形 (3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使 得∠EFD=∠BCD,并说明理由. 16.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点E 是AB的中点，过点A作EC的平行线，过点 C作AB的平行线，两线相交于点D,过点E 作EF⊥AD于点F. (1)求证：四边形AECD是菱形 (2)若AB=25,BC=15,求线段DF的长. 一八样级卡西数学 107(2)如图②所示，作PM⊥AD于点M,PN⊥AB 于点N. 由(1)可知Rt△PMF≌ Rt△PNE(HL), .FM=NE. 8.解：(1)证明：取BD的中点E,连接AE. PAPA,PM PN, ,AD⊥AB, ∴.Rt△PAM≌Rt△PAN(HL), ..AM=AN,.'.AF+AE=(AM+ 2 ∴.∠BAD=90°.：点E是BD的中点， FM)+(AN-EN)=2AM.BAD =120, EA=BD=EB,∠EAB=∠EBA, .∠PAM=60°， .∠AEC=2∠B.∠C=2∠B 易知PA=2AM,.AE十AF=AP ∴.∠AEC=∠C,∴.AE=AC,.BD=2AC. 第2课时菱形的判定 (2)∠BAD=90°，点E是BD的中点， 1.C2.B3.B ..BD=2AE=13,EA=EB=6.5. 4.四边都相等的四边形是菱形 在Rt△BAD中，由勾股定理，得 5.B6.D7.A8.A AB=√BD-AD=√13-5=12， 9.B10.C11.B12.A .△ABE的周长为AB+AE+BE=12+6.5+ 13.AB=AD(答案不唯一)14.5 15.解：(1)④ 6.5=25. (2)证明：，AC⊥BD,AC平分∠BAD, 2.菱形 ∴.∠BAO=∠DAO,∠AOB=∠AOD=90. 第1课时菱形的性质 AO=AO,.△ABO≌△ADO,∴.AB=AD. ,AD∥BC,.∠ACB=∠DAC,.∠BAC= 1.A2.D ∠ACB,.AB=BC,∴AD=BC.AD∥BC, 3.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， .四边形ABCD是平行四边形.又，AB=BC, .AB=CD,AB∥CD. .平行四边形ABCD是菱形. 又，BE=AB, 16.解：(1)证明：AD∥EC,CD∥AB, ∴.BE=CD,BE∥CD, .四边形AECD是平行四边形. .四边形BECD是平行四边形， :∠ACB=90°，点E是AB的中点， .'.BD=EC. (2)四边形BECD是平行四边形， CE-号AB=AE平行四边形ABCD是菱形， BD//CE. (2)如图所示，设AC交DE于点O. ∴.∠AB0=∠E=50°. ∠ACB-90°，AB-25,BC=15, 又，四边形ABCD是菱形， ∴.AC=√AB2-BC=√252-15=20. .AC⊥BD,∠BOA=90°， ,四边形AECD是菱形， ∴∠BAO=90°-∠ABO=40° 4.D5.C6.B AD-AE=2AB-5,0A=0C=10,0D 7.解：菱形周长为20cm,则AB=20÷4=5(cm). OE,AC⊥DE, ,AC=8cm,∴.AO=4cm. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD= ,菱形对角线互相垂直，∴.△AOB为直角三角形. 在Rt△AOB中，BO=√AB-AO=3cm, aD-on-》'-10-, ∴.BD=2BO=6cm, ∴.DE=2OD=15.EF⊥AD, 菱形ABCD的面积为2X6X8=24(cm), ∴S装D=AD,EF=号AC·DE, .菱形ABCD对角线BD的长为6cm,面积为 24cm2. 即空F-名×20X15,解得EF=12. 8.D9.B10.B11.B12.5 4 ∴.DF=√DE-EF=√152-122=9， 即线段DF的长为9. 13.证明：(1)如图①所示，作 PM⊥AD于点M,PN⊥AB 于点N. :四边形ABCD是菱形， ∴.∠PAM=∠PAN, ∴PM=PN.PE=PF, ① .Rt△PMF≌Rt△PNE(HL), 17.解：(1)证明：在△ABC和△ADC中， ∴.∠MPF=∠NPE,∴.∠EPF=∠MPN (AB=AD, ,∠BAD+∠MPN=36O°-∠AMP-∠ANP= CB=CD, 180°，.∠EPF+∠BAD=180°. AC=AC, 23 ∴.△ABC2△ADC(SSS), ∴.CG=2,.DG=DC-CG=6. ∴.∠BAF=∠DAF.在△ABF和△ADF中， D AB-AD. ∠BAF=∠DAF, AF=AF, ∴.△ABF≌△ADF(SAS),.∠AFB=∠AFD ,∠CFE=∠AFB, ∴.∠AFD=∠CFE. 13 11.C12.B13.D14. 15.22-2 (2)证明：：AB∥CD,.∠BAC=∠ACD :∠BAC=∠DAC,∠DAC= ∠ACD, 16.解：(1)证明：由题意，得∠BAE=∠EAG, ..AD=CD..AB=AD,CB=CD,..AB=CB= ∠DAF=∠FAG,AB=AG,AD=AG, CD=AD,.四边形ABCD是菱形. .∠BAD=2∠EAF=90°， (3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由： ∴.∠B=∠BAD=∠D=90°， :四边形ABCD是菱形，∴.BC=CD,∠BCF= .四边形ABCD是矩形. ∠DCF.CF=CF,.△BCF≌△DCF(SAS), .'AB=AG,AD=AG,..AB=AD, ∴∠CBF=∠CDF.BE⊥CD, .矩形ABCD是正方形. .∠BEC=∠DEF=90°，.∠EFD=∠BCD. (2)证明：EG=BE,FG=DF 3.正方形 .EF=BE十DF, ∴.△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+ 1.B2.C3.C4.(-2,-1)5.2 CE+CF=BC+CD, 6.证明：四边形ABCD是正方形，.BC=CD, ∴.三角形ECF的周长是正方形ABCD周长的 ∠BCD=90°.，CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC= 一半 ∠DFC=90°，.∠BCE+∠CBE=90°= ∠BCE+∠DCF, (3)EC=FC=1,..EF=EC+FCT=2. ∴∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中， I∠EBC=∠FCD, ·EF=BE+DF,∴BE=DF= 2 ∠BEC=∠CFD, BC=CD. AB-BC=BE+EC=1 .△CBE≌△DCF(AAS),∴.CF=BE,CE=DF. 17.解：(1)①，四边形ABCD为正方形， .CE=EF+CF,.DF=BE+EF. .∠ABE=45.又AB=BE, 7.C8.D 9.证明：，四边形ABCD是矩形， ∠aAE=∠BEA-号×180-45)=61.5 ∠B=∠D=∠C=90°， ∴.∠DAE=90°-67.5°=22.5°. ,△AEF是等边三角形， ②证明：，正方形ABCD关于BD对称， ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60 △ABE≌△CBE,.∠BAE=∠BCE. ∠CEF=45°，.∴∠CFE=∠CEF=45°， 又，∠ABC=∠AEF=90°， ∴.∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75. .∠BAE+∠BFE=360°-90°-90°=180°= 在△AEB和△AFD中， ∠EFC+∠BFE,'∠BAE=∠EFC, I∠B=∠D, .∠BCE=∠EFC,,.CE=EF, ∠AEB=∠AFD, (2)如图①所示，当点F在线段BC上时，过点E AE=AF, 作MN⊥BC,垂足为N,交AD于点M. .△AEB≌△AFD(AAS), M D .AB=AD,.矩形ABCD是正方形. 10.解：(1)证明：在矩形ABCD中， 有∠A=∠D=90°，∴.∠DGH+∠DHG=90°. 在菱形EFGH中，EH=GH. .AH=2,DG=2,..AH=DG, ,'Rt△AEH≌Rt△DHG(HL), ① .∠AHE=∠DGH,∴.∠AHE+∠DHG=90°， CE=EF,N是CF的中点.BC=2BF, .∠EHG=90°， .菱形EFGH是正方形 -CN-c- (2)过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于Q,连接 ,∠BCD=∠CDM=∠MNC=90°， EG,如图所示， ∴.四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三 则∠FQG=90°，∴∠A=∠FQG=90° 角形，.CN=DM=ME, 由矩形和菱形的性质，知AB∥DC,HEGF, ∴∠AEG=∠QGE,∠HEG=∠FGE, ED=√DM+ME-2DM=2CN= 2 ∴.∠AEH=∠QGF.EH=GF, 如图②所示，当点F在线段CB的延长线上时，过 ∴.△AEH≌△QGF(AAS),.FQ-AH-2. 点E作MN⊥BC,垂足为N,交AD于点M. Sam=2cG·FQ=2×CGX2=2, 24