18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理与逆定理的综合应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

在Rt△AEC中，CE=√AC-AE=10m, 第2课时勾股定理与逆定理的综合应用 ∴.CD=CE+DE=16m,即该小货车的车头D距1.A2.A3.454.90 离检测点C还有16m. 5.解：AB=BC,ABBC」 18.2勾股定理的逆定理 理由：如图所示，连接AC 第1课时勾股定理的逆定理 由勾股定理，得BC2= 12+2=5,AB2=12+ 1.D2.C3.A4.直角5.480 6.解：，AC=4,BC=3,AB=5,∴.BC+AC2=32+ 22=5,AC2=12+32=10, ∴.AB=CB,AB2+ 4=52=AB”,∴.∠C=90°.过点D作DP⊥AB于 BC2=AC. 点P.,AD平分∠BAC, ,.△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形， PD=CD.SAAME=2AC BC-7AC CD+ 即AB⊥BC. .AB=BC,AB⊥BC. AB·PD.∴.3X4=4CD+5CD, 1 6.解：(1)如图所示，连接AC, D CD- 7.C8.(13,84,85) 道 9.解：由题意，得(3m十2)十(4m十8)2=(5m十8)2， 解得m=1. B 道 10.D1L.24 :∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, 2.解：小明的解答不正确，理由：设a=,6三1，c ∴.AC=√AB+BC=√9+12=15(m), 专+e-(得）+（得）=1.6=1 .AB+BC-AC=9+12-15=6(m). 答：居民从点A到点C将少走6m路程. ∴.a+c2=b2, (2),CD=17m,AD=8m,AC=15m, ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形. ..AD*+AC*=DC, 13.D14.C15.B16.B ∴.△ADC是直角三角形，∠DAC=90°， 17.是18.直角三角形 19.证明：，E为AB的中点，CE⊥AB于点E, Se-AD·AC-号×8X15=60m. ∴.AC=BC.BC=3,∴.AC=3. AB·AC=号×9X12=54(m). 1 又AD=5,CD=4, S△m= .AC+CD=AD*, .S0边形4D=60十54=114(m2). .∠ACD=90°. 答：这片绿地的面积是114m2. 20.解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行7.B8.B9.C 走的.理由：：AB=60米，BC=80米，AC= 10.90°11.直角三角形12.45°13.2√/13 100米， 14.解：(1)证明：CD=2,BC-25,BD=4, ∴.AB2+BC=10000=AC2, .CD+BD=BC,△BDC是直角三角形， ∴.∠ABC=90°.由题知∠NBA=30°， .∠MBC=180°-90°-30°=60°， ∴.∠BDC=90°，∴.∠ADB=90°， ∴.△ABD是直角三角形. ∴.小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行 走的， (2)设腰长AB=AC=x,在Rt△ADB中， AB2=AD十BD,x=(x-2)2十4， 21.解：，BC+AB2=12+5=169, AC=13=169,∴.BC2+AB2=AC, 解得x=5, .∠ABC=90°， ∴△ABC的面积=号AC·BD=X5X4=10, 1 当BD⊥AC时BD最短，造价最低. 15.解：连接BD,如图所示. :S2g=2AB·BC= 1 2AC·BD, .BD= AB·BC60 AC13千米， 6 13×26000=120000(元). 答：修这条公路的最低造价为120000元. 22.解：(1)∠A+∠B<∠C ∠A=90°，AB=AD=3W2, (2)证明：4一=a十b+c a-b+c 2c ∴.BD=√AB+AD=√/(32)+(32)=6. .2ac=(a+b+c)a-b+c)=(a+c)-b2, BC=10,CD=8, .2uc=a2+2ac+c8-b2, ∴.BD+CD2=BC ∴.a2+c2=b,.△ABC是直角三角形. ∴.△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴.四边形ABCD的面积=S△ABD十S△DC 15 2XADXAB+ 2XBDXCD 专题三勾股定理在几何 计算中的应用 =2×32×3E+2×6×8 1.解：，∠ACB=90,CD⊥AB, ∴.∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， =9+24 ∴.∠BCD=∠A.CE平分∠ACD, =33. .∠ACE=∠DCE. 16.解：(1)证明：连接CE,如图所示 又，∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE= ,D是BC的中点，DE⊥BC, ∠BCD+∠DCE, ..CE=BE. ∠BEC=∠BCE,∴.BC=BE. BE2-EA=AC, 设BC=BE=x,则AB=1十x .CE2-EA=AC, AC2+BC2=AB2,∴.22十x2=(1+x)2, ∴.EA2+AC=CE, 解得x=1.5,即BC的长为1.5. .△ACE是直角三角 2.A 形，即∠A=90 3.解：a+b2=(a+b)2-2ab=7-2×12=25, (2)DE=3,BD=4. c2=25,∴.a2十b2=e2,.△ABC是直角三角形. ∴.BE=√DE十BD=5=CE, 4.C ..AC=EC-AE=25-AE. 5.解：(1)，AC=8km,BC=15km,AC⊥BC, ,BC=2BD=8, .AC+BC2=AB2, .在Rt△BAC中，由勾股定理，得BC2一BA2 ∴.AB=√AC+BC=8+15=17(km). 64-(5+AE)2=AC,.64-(5+AE)=25 ∴.两个送奶站之间的距离AB为17km. AE,解得AE-子 (2)如图所示，过B作永定路的垂线，垂足为D △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠1= 17.解：(1)①在Rt△ABC中，AB=6.5米，BC 30°，.∠BCD=180°-90°-30°=60. 2.5米，.AC2=AB-BC2=6.5-2.5=36, 在Rt△BCD中，∠BCD=60°，∴.∠CBD=30°， .AC=6米.，AA1=1米， 1 ∴.AC=AC-AA1=5米 CD=2B0=2×15=.5km 在Rt△A,B,C中，A,B,=AB=6.5米， 7.5÷2.5=3(h),∴.3h后这个人距B送奶站最 BC=A,B-A,C=6.5-5_69 4 近，最近距离为15-7.5=15 2 (km). ÷B,C=6米. B,B=B,C-B=丽-2.5=6-5（米 2 2 答：点B将向外移动丽一5米. 2 》永定路 ②可能相等 6.20 :AC=6米，AA,=BB1 7.解：(1)从点A爬到点B所走的路程为AD十BD= ..A C=AC-AA=6-AA=6-BB. √+(6÷2)+√2+(6÷2)=(5+√/13)cm. BC BC BB =2.5+BB:,B:C= (2)不是，分三种情况讨论： ABi-AC, ①如图①所示，将下面和右面展到一个平面内，AB ∴.(2.5+BB1)=6.52-(6-BB1)2 √(4十6)十2=√104=2√25(cm):②如图②所示，将 解得BB1=3.5或0（舍去）， 前面与右面展到一个平面内，AB=(4+2)+6= 故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B √72=6√2(cm):⑧③如图③所示，将前面与上面展到 向外移动的距离可能相等，移动距离为3.5米. (2)不可能相等. 一个平面内，AB=√/(6+2)+4=45(cm). 当AC=BC,AB=6.5米时， :6√2<4√5<2√26，.蜘蛛从A点爬到B点所走 在Rt△ABC中，AC2+BC=AB, 的最短路程为6√2cm. AC+BC=6.5,解得AC=BC=13,2 4 在Rt△A1B,C中，B1C+AC=A,B, (82+B,)广+(82-M,)=， 解得2M,-班+BB+M, .AA>BB:, 故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离。 8.解：(1)√m 2 (2)S1+S2+S+…+S8s 1620.新情境◆如图所示，小明的家位于一条南北走 通素养 向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家 出发沿南偏西30°方向走60米到达河边B 22.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别 处取水，然后沿另一方向走80米到达菜地C 为a,b,c 处浇水，最后沿第三方向走100米回到家A (1)若a=6,b=8,c=12,则∠A与∠B的和 处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向 与∠C的大小关系为 行走的？并说明理由， 2者，-名+一求证：△ABC是 直角三角形. 21.应用意识如图所示，三个村庄A,B,C之间 的距离分别是AB=5千米，BC=12千米， AC=13千米.要从B修一条公路BD直达 AC.已知公路的造价为26000元千米，求修 这条公路的最低造价是多少元. 一八样验下带数学 69 第2课时 勾股定理与逆定理的综合应用（答案P15) 通基础 系和位置关系，并说明理由. 知识点勾股定理与逆定理的综合应用 1.如图所示，大正方形是由边长为1的小正方形 拼成的，A,B,C,D四个点是小正方形的顶 点，以其中三个点为顶点，可以构成直角三角 形的个数是( ) A.2个 B.1个 C.3个 D.4个 6.新情境某小区在社区管理人员及社区居民 "D 的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿 第1题图 第2题图 化地（阴影部分）.如图所示，已知AB=9m, 2.如图所示，在四边形ABDC中，∠A=90°， BC=12m,CD=17m,AD=8m.技术人员 AC=3,AB=1,BD=5,CD=3,则∠DBC 通过测量确定了∠ABC=90°. 的度数为( (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B A.90 B.60° 再到点C位置，为了方便居民出人，技术人员 C.45 D.30 打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小 3.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB十 路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A ∠PBA= .(点A,B,P是网格线 到点C将少走多少路程？ 交点) (2)这片绿地的面积是多少？ 住宅 4.几何直观◆如图所示，在平面直角坐标系中，点 街道 A为(5,0)，点B为(-5,0)，点C为(3，一4)， 则∠ACB= 4 B-5.0) A5.0m C3.-4) 5.模型观念如图所示，在由6个大小相同的小 正方形组成的方格中，A,B,C是三个格点（即 小正方形的顶点).猜想：AB与BC的数量关 70 优十学潘课阴造一 状是 7.应用意识如图所示，某海域有相距10海里的 两个小岛A和C,甲船先由A岛沿北偏东70 方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走 DE 了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的 第11题图 第12题图 () 12.如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的 A.北偏东20°方向上 高，CE为∠ACB的平分线.若AC=15, B.北偏西20°方向上 BC=20,CD=12,EF∥AC,则∠CEF的大 C.北偏西30°方向上 小为 D.北偏西40°方向上 13.如图所示，在△ABC中，AB=5,AC=3,中 线AD=2,则BC的长为 北 ,东 第7题图 第8题图 14.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D是AC 8.模型观念◆如图所示，在正方形网格中，小正方 边上的一点，CD=2,BC=25,BD=4. 形的边长为1，A,B,C为格点（网格线的交 (1)求证：△ABD是直角三角形. 点)，则AB边上的高的长度为( (2)求△ABC的面积. A.2 B.22 C.32 D.2 9.如图所示，在等腰直角三角形ABC中， ∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6, OB=42,OC=10,O'为△ABC外一点，且 △CBO2△ABO',则四边形AO'BO的面积 为( A.10 B.16 C.40 D.80 第9题图 第10题图 10.如图所示，已知在△ABC中，CD⊥AB于点 D,AC=20,BC=15,DB=9,则∠ACB的度 数为 11.如图所示，∠A=∠OCD=90°，OA=2, OD=√7，AB=BC=CD=1,则△OBC的形 一八年最下带：数学 71》 15.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°， 通素养 AB=AD=32,BC=10,CD=8,求四边形 17.探究拓展如图所示，一根长6.5米的笔直的 ABCD的面积. 竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端 在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为 点C. (1)若BC=2.5米. ①如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米至A 处，那么点B将向外移动多少米？ ②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与 点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果 不可能，请说明理由：如果可能，请求出移动 的距离（保留根号） (2)若AC=BC,则顶端A下滑的距离与底 端B外移的距离，有可能相等吗？若可能相 等，请说明理由：若不可能相等，请比较顶端 A下滑的距离与底端B外移的距离的大小. 16.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2一 EA=AC. (1)求证：∠A=90°. (2)若DE=3,BD=4,求AE的长 72 优十学播课的准一