17.5 一元二次方程的应用 第1课时 图形面积问题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

17.5一元二次方程的应用 第1课时 图形面积问题（答案P10) 通基础 划识点2边框与甬道的面积问题 3.应用意识》小张的书法作品荣获学校书法比赛 知识点1规则图形的面积问题 一等奖.作品尺寸如图所示，书法作品长5尺， 1.如图所示，现有一块长方形绿地，它的长为 宽3尺.将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正 100m,现将长边缩小至与短边相等（短边不 中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同， 变)，使缩小后的绿地的形状是正方形，且缩小 矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍.设 后的绿地面积比原来减少1200m”,设缩小后 书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面 的正方形边长为xm,则下列方程正确的 所列方程正确的是( 是( 5 A.x(.x-100)=1200 A.(5+2x)(3+2x)=2×5X3 B.x(100-x)=1200 B.(5+x)(3+x)=2×5×3 C.100(x-100)=1200 C.2(5+2.x)(3+2.x)=5×3 D.100(100-x)=1200 D.(5+2.x)(3+2x)=5×3 2.模型观念如图所示，学校准备在教学楼后面 4.某地计划对长方形广场进行扩建改造.如图所 搭建一个简易长方形自行车车棚，一边利用教 示，原广场长50米、宽40米，要求扩充后的长 学楼的后墙（可利用的墙长为19m),另外三 方形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩 边利用学校现有总长38m的铁栏围成. 建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩 (1)若围成的面积为180m,试求出自行车车 充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100 棚的长和宽 元.如果计划总费用为642000元，试求出扩充后 (2)能围成面积为200m2的自行车车棚吗？ 广场的长和宽 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明 理由. 19m 原广场 充区城 44 优学泰说时温一 易错运用一元二次方程解决几何图形问题 8.如图所示，某小区计划在一个长16m,宽9m 时，忽视长度的限制条件而出错 的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的 5.如图所示，有长为24m的篱笆，现一面利用墙 小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行， (墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有 其余部分种草.已知草坪部分的总面积为 一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为45m 112m,设小路宽xm,若x满足方程x2一 的花圃，AB的长为 17x+16=0,则修建的示意图是() 6.几何直观》如图所示，在宽为20m,长为38m D 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部 9.某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计 分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为 图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉， 540m2,求道路的宽.如果设道路宽为xm,那 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池， 么根据题意所列方程正确的是( 其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相 同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3m,种 植花草的区域的面积为60m,设水池半径为 xm,根据题意可列出方程为 A.(20-x)(38-x)=540 B.(20-x)(38-x)=38×20-540 C.(20-2x)(38-2.x)=540 D.(20-2.x)(38-2x)=38×20-540 7.如图所示，一块长方形绿地长10m,宽5m,在 10.(2024·合肥蜀山区期末)为了节省材料，某 绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来 农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够 的78%，则可列方程为( 长)为一边，用总长为120米的围网在水库中 围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且 这三块矩形区域的面积都为225平方米，则 图中区域①矩形的长a为 米 A.(10-2.x)(5-x)=10×5×78% 米 B.(10-2.x)(5-x)+2.x2=10×5×78% x域① 区城 区城3 C.(10-2x)(5+x)=10×5×78% D.(10-2.x)(5-x)-2.x2=10×5×78% 片堤 一八年级下能数学 45 11.新情境社区利用一块长方形空地建了一个 同样大小的四个小正方形之后，折成图②所 小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停 示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） 车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计 为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通 道.已知铺花砖的面积为640平方米。 (1)求通道的宽是多少米. ① ② 8 (2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当 (1)若剪去的正方形的边长为2cm,则纸盒 每个车位的月租金为200元时，可全部租出： 底面长方形的长为 cm,宽为 cm. 当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租 (2)若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去 出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少 的正方形的边长 元时，停车场的月租金收入为14400元？ (3)如图③所示，小明先在原矩形硬纸片的两 52 个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部 分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小 28 的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒 若折成的有盖长方体纸盒的表面积为 412cm2,请计算剪去的正方形的边长. 通素养 12.(2024·安庆开学)综合实践一用矩形硬纸 片制作无盖纸盒.如图①所示，有一张长 30cm,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上 46 优学泰说时温m-1≠0， 1L.解：(1)，关于x的一元二次方程x”一(2m-1).x十 △=(2m)2-4(m-1)(m-2)≥0， m=0有实数根， .△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0，解 解得m≥号且m≠1 1 2 得m≤4 (2)由(1D得m≥且m≠1，又m是符合条件的最 (2)关于x的一元二次方程x°一(2n一1)x十 小整数，∴.m=2. m=0的两个根分别为x1,x:, 将m=2代人(m-1)x2-2m.x+m=2,得 ,x:十xe=2m一1，x1r2=m. x2一4.x=0,解得x1=0,x:=4. x1十xe=2-x1x:,即2m-1=2-m, ,(k+1)x2十x+k-3=0与(m-1).x2-2mx十m=2 整理，得m2+2m一3=0， 有一个相同的根， ∴.(m十3)(m一1)=0， .当x=0时，此时k一3=0，k=3: 解得m1=一3，n2=1(不合题意，舍去). 当x=4时，16(k+1)+4+k-3=0, 故m的值为一3. k=一1.又：k十1≠0，.k=一1舍去， 12.B13.C14.B15.-2,316.1 综上所述，k的值是3. 17.解：(1)证明：在关于x的一元二次方程x” 21解：(1)证明：△=[一(k+2)]一4×2k=(k一2)2 (m十2)x十m=0中，a=1,b=-(m十2)，c=m, 所以△=m2+4m十4一4m=m2十4>0， (k一2)≥0，即△≥0， 所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实 无论k为何值，方程总有实数根 数根. (2)等腰三角形一腰长为5， (2)因为a和b是这个一元二次方程的两个根， ∴.另外一腰长为5， 所以a十b=-[-(m+2)]=m+2,ab=m, ∴.方程：x2一(k十2)x+2k=0的其中一个根为5 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(m+2)2-2m=m2+ ,,25一5(k十2)十2k=0,解得k=5, 2m+4=(m+1)2+3. ,.方程为x2一(5十2)x十2×5=0， 因为无论m为何值，(m十1)≥0， .(x-5)(x一2)=0，解得r1=5,x2=2, 所以a2+b2的最小值为3. 故△ABC的周长为5+5十2=12. 18.解：(1)8 22.解：(1)证明：依题意，得 (2)由一元二次方程nx2-(21+m)x+2m=0,得 △=[-(k+1)]2-4×1×(2k-2) =k+2k+1-8k+8 (x-m)(x-2)=0,x="或x=2. n =k2-6k十9 :一元二次方程nx-(2n十m)x十2m=0(n≠0) =(k-3)2≥0， 是“倍根方程”，”=4或”=1. ,此方程总有两个实数根 (2)将方程左边因式分解，得(x一2)[x一(k一1)门=0， 4十n5 即x-2=0或x-(k一1)=0， 当=4时m=4n,心2m-12X4n—7分， 解得x1=2,x2=k-1. 当=1时，m=n, ,m十=n十=2. (3)此方程的根刚好是某个等边三角形的边长， 71 2m-n 2n-n .k-1=2,∴.k=3. 17.4一元二次方程的根 综上所述，%的值为或2 与系数的关系 17.5一元二次方程的应用 1.A2.B3.D4.D 第1课时图形面积问题 5.解：由题意，得x1十x2=一3，t1x2=一1. 1.B (1)x1+x=（x1+x:)2-2.x1x:=(-3)2- 2.解：(1)设AB=xm,则BC=(38-2.x)m. 2×(-1)=9+2=11. 根据题意，得x(38一2x)=180. (2)1+1=十=-3 解得x1=10,.x2=9. T1 T:12 -1 3 当x=10,38-2x=18,符合题意. 6.D7.B8.B9.A 当x=9,38一2x=20,因为墙长19m,不合题意，所 10.解：(1)：关于x的一元二次方程x2十 以x=10,38一2.x=18. 2(m+1)x+m2一1=0有实数根，∴.△=[2(m+ 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长和宽 1)]2-4(m2-1)=8m+8≥0， 分别为18m,10m. 解得m≥一1， (2)不能围成面积为200m”的自行车车棚.理由如 当方程有实数根时，实数m的取值范围为 下：根据题意，得x(38-2x)=200, 整理，得x一19x十100=0. m≥一1. (2)方程两实数根分别为x12 △=b2-4ac=361-400=-39<0, 故此方程没有实数根. ∴x1+x2=-2(m十1)，x1x:=m3-1. 因此不能围成面积为200m的自行车车棚. :x十x2=(x1+x:)-2.x1x2=16+x1x, 3.A .[-2(m+1)Y-2(m2-1)=16+(m2-1). 4.解：设扩充后广场的长为3x米，宽为2x米 整理，得m2十8m一9=0，解得m1=一9，m2=1. 依题意.得3x·2.x·100+30(3x·2.x-50×40)= 又，m≥一1，.实数m的值为1. 642000. 10 解得x1=30,x:=-30(不合题意，舍去). 解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不合题意，舍去). 所以3.x=90,2x=60. 答：进馆人次的月平均增长率为50%， 答：扩充后广场的长为90m、宽为60m. (2)能接纳.理由如下： 5.5m6.A7.A8.C9.(2.x+6)2-2πx=60 ,120×(1+50%)3=405(人次)，405<450， 10.30 ,.校图书馆能接纳12月的进馆人次 11.解：(1)设通道的宽为x米， 12.解：(1)设平均每次下调的百分率为x 根据题意，得(52一2x)(28一2.x)=640. 根据题意，得10(1一x)=6.4. 解得r1=34(舍去)，x=6. 解得x1=0.2=20%,x:=1.8(舍去). 答：通道的宽为6米。 答：平均每次下调的百分率为20% (2)设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月 (2)选择方案一更优惠.理由如下： 租金收人为14400元. 选择方案一所需费用： 根据题意，得(20+a)(64-0】 =14400. 3000×6.4×0.8=15360(元). 选择方案二所需费用： 整理，得a2一440a+16000=0. 3000×6.4-3×1200=15600(元). 解得a1=400,a2=40. ,15360<15600,.选择方案一更优惠， 由于是惠民工程，∴.a=40符合题意 13.解：(1)设每瓶售价定为a元，则(a-40)[20+ 答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租 2(60-a)]=(60-40)×20, 金收入为14400元. 解得a1=50,a:=60(舍)， 12.解：(1)2612 ∴.每瓶售价定为50元. (2)设剪去的正方形的边长为xcm, (2)设洗发水打a折，则50≤62.5a≤60， 根据题意，得(30一2x)(16一2x)=240, 解得0.8≤a≤0.96， 解得x1=20(不符合题意，舍去)，x:=3. 答：洗发水至少需打八折。 答：剪去的正方形的边长为3cm. 14.解：(1)设平均每次降价的百分率为x, (3)设剪去的正方形的边长为ycm, 依题意，得40(1-x)2=32.4, 根据题意，得30×16-2y2一2×39=412， 解得x1=0.1=10%,x=1.9(不符合题意，舍去). 答：平均每次降价的百分率为10%. 解得y1=一17（不符合题意，舍去），y:一2. (2)设学校购买y(y>200)瓶洗手液， 答：剪去的正方形的边长为2cm. 则选择方案一所需费用为 第2课时平均变化率问题和利润问题 32.4×0.9y=29.16y元 1.A2.A 选择方案二所需费用为32.4×200+32.4× 3.解：(1)设3月份到5月份到该研学基地研学的新增 0.8(y-200)=(25.92y+1296)元. 人数的月平均增长率为x, 当29.16y<25.92y+1296时，y<400 由题意，得10(1十x)2=14.4, .当200<y<400时，学校选择方案一更省钱， 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意， 当29.16y=25.92y+1296时，y=400, 舍去). .当y=400时，学校选择两种方案所需费用相同 答：3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数 当29.16y>25.92y+1296时，y>400. 的月平均增长率为20%. .当y>400时，学校选择方案二更省钱。 (2)由题意可知，6月份该红色研学基地新增人数为 答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校 14.4×(1+20%)=17.28(万人)， 选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学 7月份该红色研学基地新增人数为17.28 校选择两种方案所需费用相同：当购买数量超过 (1+20%)=20.736(万人). 400瓶时，学校选择方案二更省钱， 答：7月份该红色研学基地新增人数能达 第3课时传播问题、握手问题和数字问题 到20万人. 4.D5.(x-30)(100-x)=600 1.B2.D 6.解：(1)200 3.解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台 (2)设每千克上涨x元，则售价为(25十x)元/千克， 电脑 每日可售出(40一2.x)千克. 依题意，得1+x十(1十x)x=81. 依题意，得(25十x一20)(40一2x)=300. 整理，得(1+x)2=81.则x+1=9或x十1=-9. 整理，得x一15.x十50=0. 解得x,=8,x=一10（舍去） 解得x1=5,x2=10. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑. 当x=5时，25十x=30,符合题意： (2)(1+x)2+x(1十x)2=(1+x)=(1+8)2= 当x=10时，25+x=35>32,不合题意，舍去. 729(台). 答：售价应为30元/千克 ,729>700. 7.508.B9.C10.20% 答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 11.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则 4.D5.6 10月进馆120(1+x)人次，11月进馆120(1+x)° 6.解：(1)(x-1) 人次. 2x(x-1) 依题意，得120十120(1+x)+120(1+x)2=570. 整理，得4x2十12x一7=0. (2)根据题意列方程，得2x(x一1)=45， 11