第16章 专题一二次根式的计算与化简求值&特色素养专题(一)新定义题型专题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

16.解：(1)原式=-√/6×2-2+2-√3=-23- √5=-35. (2)原式-层×层-× (2)原式=3-45+4-31)=7-45- 9×11×2 2 11X11x4x4=4/22. 2-√3=5-5/3 5 5×6 (3)原式=1+2+√27-5-√8 (8原式-16x÷- √/242√626×6 5√6 =1+25+35-5-8 12 3 (4)原式=(22十3)2“(2√2-3)2024·(2√2-3) =-12+5。 =[(2√2+3)22(22-3)264]·(2√2-3) =[(22+3)(22-3)]2·(22-3) I7,解：该直角三角形的面积-号AC·BC= 1 2· =(-1)202·(2√2-3) 7 =22-3. (2E+1D·(22-10=2=3.5, 6.解：原式=5-1-9+√2-1-1+22= 即Rt△ABC的面积为3.5. -7+3√2. 18.解：：最简二次根式√/5a一√5b与√/2a+4可以合 7.C8.B 并，且(a-3c)2+√/b-5c=0, 9.解：原式=(6y+3y)一 (红@+6四) y .a-3c=0且b-√5c=0,5a-√5b=2a+4, 9V5-红@-6/=3四- xVxy 则a=3c①，b=5c②，3a-√5b=4③， y y 将①、②代人③，得9c-5c=4, 解得c=1, 当-2y-27时， ∴.a=3,b=5, √5a+b-/45c 原式-27 2 -2-25,2 2 =35+5-√45×1 10.解：(1)2√5-1（答案不唯一） -45-35 =5. a唱 3-1 19.解：(1)当x-22+1时， (3)把1 1 1 +…十 1 =1=② +13+√2 x-1-2/2+1-1-2/2=￥、 1 分母有理化，得 (2)x=2√2+1，∴x-1=22, √100+√99 .(x-1)2=8,x3=7+2x, 原式=√2-1+√3-√2+√4一√3+…+100 .x2-2x-7=0,∴.x3-2x2-7x+2024 /99=-1+10=9. =x(x2-2x-7)十2024 4 4 =2024. 11.解：(1)，√4+5=4√5 20.解：(1)√n+1-√m 64 4 (2)> (3)原式=(2-1+5-2+√4一5+…+ (2)由(1)中的规律，可知3-22-1,8-32-1， √2024-√2023)（√2024+1） 15=42-1, =(√2024-1)（√/2024+1） a =2024-1 a2-1 =“√a一(a为任意自然数，且 =2023. a≥2). 专题一二次根式的计算与化简求值 验证： a a-a十a a 1.C2.B3.A /a+ a2-1 Wa2-1 Na2-1 a 4.解：(1)原式= 14W7_14w7 7X√7 7 =27. =aNa-1 22 √22 特色素养专题（一）新定义题型专题 (2)原式=√99×11=33· 1.B2.23.(1)22(2)-2 (3)原式=3×65 4.解：(1)由题意可得，m·3=6, 5×5 5· .m=23. 5.解：(1)原式=-12√27×3=-108. (2)由题意可得，(2一√2)(4十√2m)=4, 整理得，(2√2-2)m=4√2-4， =7-3-8-4w3 ∴.m=2. =-4-43. 5.解：(1)2≤x≤10 (2)①2 (2)218+V32-16√8 ②，√20-x+√4-x=8, ∴√20-x=8-√4-x, =6,2+42-16x 4 两边同时平方，得20一x=64一16√4一x+4一x, =102-4√2 .4-x=3, =62 两边同时平方，得4一x=9, 10.解：由题意，得2a十1=a2-2, ∴x=-5, 经检验：x=一5是原方程的解. 解得a1=3,a2=一1. 当a=-1时，2a十1=-1<0， 6.A a=3, 7.-3+4√2 .3x6, 本章综合提升 .x-2>0,x-6≤0， 【本章知识归纳】 ∴.原式=|x-2+√/(x-6)=(x-2)-(x-6)= √aa≥0√a·b=√ab(a≥0，b≥0) √ab= x-2-x+6=4. a·B(a≥0，b≥0) 海-月 (a≥0，b>0) 11.解：(1)由题意可知，√/18×√/32=18X32= 24(dm). g-E(a≥0，b>0) :24>20, ∴小悦的作品符合参赛标准 【思想方法归纳】 (2)由题意可得，2（√18+√32）=2(32+4√2)= 【例1】解：由题图可知一1<a<0,0<b<1, 14w2≈19.6(dm). ∴.a+1>0,b-1<0,a-b<0, ∴.需要彩条的长度约为19.6dm. .√(a+1)+2√(b-1)-|a-b|=a+1+ 12.解：(1)3√2 2(1-b)-(b-a)=a+1+2-2b-b+a=2a (2)根据题意得，截出的正方形纸片B的边长为 3b+3. 32=42(cm), 【变式训练1】解：由数轴，得a<-1,一1<c<0, 则长方形的长为3√2十4√2=7√2(cm),宽为 b>1, ∴.-a+b>0,c-b<0. 42cm, ∴.原式=-a+(-a十b)十(c-b)=-a-a十b+ .阴影部分的面积=7√2×42-(18+32)=56- c-b=-2a+c. 50=6(cm2). 【例2】a≥-3且a≠士1 (3)不能截出，理由如下： 【变式训练2】-31 ,面积为25cm的两个正方形纸片的边长均为 【例3】10W7或4√7解析：12√28=24√7， √25=5(cm), ①107是底边时，腰长=224厅-107)=77， 5+5=10=√/100>/98=7V2, ∴.不能裁出面积为25cm2的两块正方形纸片 能组成三角形， 11 13.解：(1) ②10W7是腰长时，底边=24√7-2×10√7=4√7， 56+65w5√6 能组成三角形. (2)用含字母n(n为正整数)的等式表示(1)中的一 综上所述，它的底边长为10√7或4√7. 1 1 1 般规律为：am= 【变式训练3】17√2 n++(n+1)w元√n+' 【例4】解：(1)：x=2-√5，y=2+√3， S,=a+a2+ag+…+a.=1-1+1-1 .x+y=(2-3)+(2+V3)=4, 223 xy=(2-5)(2+3)=22-(W3)2=4-3=1, 1-1+…+1-1 =1 ,x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×1=14. 分n+I√n+i (2)x+xy+y2=(x+y)2-xy=42-1=15. 8)s=1-pS1 【室式训鉴)】源 .x=√6S2+2S1=√6-2+√2-1=√6-1， 【通模拟】 .x2+2x 1.C2.A3.D4.D5.B6.B =(x+1)2-1 7.<8.2 =(6-1+1)2-1 9.解：(1)(W7-3)(w7+3)-(6+√2) =6-1 =(W7)-(5)2-(6+21z+2) =5.专题一二次根式的计算与化简求值（答案4） 类型1层二次根式的化简 (3)/15× 5 3 ÷24: 1.下列各式成立的是( /-z)--2 B.√（x-3)2=3-元 c D.√32+42=7 (4)(22+3)224(22-3)2025. 2.(2024·石家庄赵县期中)实数a,b在数轴上 的位置如图所示，化简√a一√b2一√（a-b) 的结果是( 04 A.2a B.26 C.-2b D.0 6.计算：(5-1)6+1)-（得）+11-E1- 3.(2024·临沂临沭期中)若实数x满足|x一3|十 (π-2)°+√8】 √x2十8x十16=7，化简2|x+4|-√(2x-6)的 结果是( ) A.4x+2 B.-4x-2 C.-2 D.2 4.化简： )1 2 类型3二次根式的化简求值 二 (2) (3)3 6 7.当x=√3十1时，式子x2-2x+2的值 为() A.√5+2B.5 C.4 D.3 类型2目二次根式的计算 8.已知a2-12a+1=0,当0<a<1时，va- a 5.计算： 的值为() (1)627×(-23): A.√14 B.-√/10 C.10 D.士√/10 9.先化筒，再求值：(6层+四) 23 +36xy),其中x=2y=27. (4y 3 一八年级打带数学计 类型4园与二次根式的化简与计算相关的探11，观察下列各式及其验算过程： 究题 2 2+ 2 =2 3 10.阅读理解阅读下面的材料，并解决问题： 验证： 由平方根的定义，我们知道(5)2=5,2√3× 2+ 8 2×2 2 5=2×(5)2=2×3=6,(7+√2)(7- 3 =2 3 √2)=(7)2一（√2）2=7一2=5，….如果两 3 3 个无理数相乘的积是有理数，我们称它们是 3+ =3 8 V8 互为有理化因式，如5与23是互为有理化 验证： 因式：万一2与7十2是互为有理化因式. +- 27 3×3 8=3 3 8 (1) 与3√2是互为有理化因式： (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想 与5+1是互为有理化因式. 这种方法可以将分母中含有二次根式的代数 4十号的变形结果并进行验证， 式化为分母是有理数的代数式，这个过程称 (2)针对上述各式反映的规律，写出用含a(a 为分母有理化，如：1=1X2=2 1 为任意自然数，且a≥2)表示的等式，并给出 22X2 2'3+2 验证 5-2 3-2 (5+2)(3-2) (3)2-(2)2 3-2 3-2 =5- (2)二分母有理化的结果为 2 5 √3+1 分母有理化的结果为 (3)利用以上知识计算： 1 2+13+√2 十…十 4+√5/100+99 18 优十学塞·课时通 特色素养专题（一） 新定义题型专题（答案P4) 类型1概念的新定义 5.(2024·济宁嘉祥期中)定义：我们将（√a十√b) 1.(2024·聊城莘县模拟)我们把形如a√：+b 与（√a一√石）称为一对“对偶式”.因为(a十 (a,b为有理数，√为最简二次根式)的数叫 6)(a-√6)=(a)2-(b)2=a-b,可以有 做x型无理数，如3√3十1是3型无理数，则 效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决 (5+√15)是( 例如：18-x一11一x=1,求√/18一x+ A.√3型无理数 √1一x的值，可以这样解答： B.5型无理数 因为（√18-x一√11-x)×(√/18-x+ C.√15型无理数 √/11-x)=(/18-x)2-(/11-x)2=18 D.√45型无理数 x-11+x=7,所以/18-x+√/11-x=7 2.(2024·惠州惠阳区期中)规定用符号[x]表示 (1)代数式√10一x+√x一2中x的取值范围 一个数的整数部分，例如[3.65]=3，[3]=1， 是 按此规定[13一1]= (2)已知：√/20-x十√/4一x=8,求： 3.(2024·滁州全椒月考)定义：若两个二次根式 a,b满足a·b-c,且c是有理数，则称a与b ①W20-x-√J4-x= 是关于c的共轭二次根式 ②结合已知条件和第①问的结果，解方程： √20-x+√/4-x=8 (1)若a与2是关于4的共轭二次根式， 则a= (2)若3+3与6+√3m是关于12的共轭二 次根式，则m的值为 4.(2024·北京海淀区期中)定义：若两个二次根 式m,n满足m·n=p,且p是有理数.则称 m与n是关于p的和谐二次根式. 类型2世运算的新定义 (1)若m与√3是关于6的和谐二次根 6.(2024·江门江海区月考)用※定义一种新运 式，求m. 算：对于任意实数m和n,规定m※n=m2n (2)若2一2与4+√2m是关于4的和谐二次 mn-3n,如：1※2=12×2-1×2-3×2= 根式，求m的值. 一6.则（一2）※√5的结果为() A.35B.-25C.32D.23 7.(2024·南通启东期末)我们规定运算符号“△”的 意义是：当a>b时，a△b=a+b;当a≤b时， a△b=a一b,其他运算符号的意义不变，计算： (5△2)-(25△32)= 一八年级打带数学