第17章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版 河北专用）

本章综合提升（答案P7 本章知职明纳 勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为a,,斜边长为，则 幻股定理 勾股定理的证明：一發用拼阁法证明勾股定理 ①将非直角三角形转化为堂角三角形 勾股定理的应用 ②将实际问题转化为虎角三角形模型 定 勾股定理的递定理：若三角形的三条边a,,c满足 ,则这个三 角形是直角三角形 逆命题：在两个命题中，若一个命题的假设和结论分别是另一个 勾股定理的逆定理 命题的结论和假设，则这两个命题叫做互逆命题 逆命题和逆定理！ 逆定致：若一个定理的逆命题经过证明是正确的，也是一个定理， 则称这两个定理互为逆定理 勾股数：满足 的三个正整数a,b,c称为一组勾股鼓 思想方法月纳 【变式训练1】 几何直观如图所示，在四边形ABCD中， 1.数形结合思想 AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°，求 :子链接本章 ∠DAB的度数. 勾股定理及其逆定理本身就是数形结 合的典范，所以解决本章问题时，要注意数 形结合思想的运用。 【例1】推理能力如图所示，四边形ABCD 的三边AB,BC,CD和BD的长度都为5厘米， 动点P从A出发(A→B→D)到D,速度为 2厘米秒，动点Q从D出发(D→C→B→A)到 2.转化思想 A,速度为2.8厘米/秒.5秒后P,Q相距3厘 米，试确定5秒时△APQ的形状. 《蓬檀本童一 勾股定理是通过图形的割、补、拼等方 法构造一些特殊的图形来验证的，这本身就 是转化思想的重要体现.这种思想在解决问 题中有着重要作用，例如在有些问题的图形 中没有直角三角形的情况下，就可以根据条 件通过作辅助线构造直角三角形，然后利用 勾股定理来解决问题 【34 优计学棒说的益 【例2】如图所示，在9×5的网格中，每个 【变式训练3】 小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上， 已知CD是△ABC的边AB上的高，若 若BD是∠ABC的平分线，则BD的长 CD=3,AD=1,AB=2AC,求BC的长 为() A.00 2 B./10 通食0我 C310 1.(张家口宣化区期中)在△ABC中，AB=c, 2 D.3/10 AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC 【变式训练2】 为直角三角形的是() 如图所示，在正方形网格 A.(c+b)(c-b)=a* 中，点A,B,C,D,E是格点，则 B.∠A十∠B=∠C ∠ABD+∠CBE 的度 C.a=32,b=42,c=5 数为 D.a:b:c=5:12:13 3.分类讨论思想 2.(2024·保定阜平期末)如图所示，一段斜坡上 意子链接本章… 有两棵树，两棵树之间的水平距离为12m,竖 在应用勾股定理解题时，有时会遇到多 直距离为5m,树的高度都是2m.一只小鸟从 种情况，稍不留神就会漏解或造成错解，这 一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少 就雪要我们利用分类讨论思想对各种情况 要飞() 加以分类，并逐类求解，然后综合得出结论 A.12m B.13m C.14m D.15m 【例3】探究拓展如图所示，已知四边形 ABCD中，AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD= 10,∠DCB=90°，E为CD边上的一点，DE=7, 动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 12m 着边AB向终点B运动，连接PE,设点P运动 第2题图 第3题图 的时间为秒 3.(2024·沧州青县期末)勾股定理是我国古代 (1)求BE的长。 的伟大数学发明之一.如图所示，以Rt△ABC (2)若△BPE为直角三角形，求t的值， (∠ACB=90)的各边向外作正方形，得到三 张正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放 入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S,, 左下不重叠部分的面积记作S2,若S,=3,则 S2的值是() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 一八年级下的数学：对通地专用 35 4.(2024·张家口二模)如图所示，在网格图（每 (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由」 个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB 为一边作直角三角形ABC,要求顶点C在格 点上，则图中不符合条件的点是() A.C B.C2 C.C D.C 5.(2023·衡水景县期中)如图所示，所有的四边 8.(2024·保定易县期末)如图所示，△ABC中， 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,若点P 其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A,B, 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→ C的面积分别是8cm,10cm,14cm,则正方 C→B→A运动，设运动时间为（秒(t>0). 形D的面积是 cm, (1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求 出此时t的值， (2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t 的值. 7 cm 第5题图 第6题图 6.(2024·邢台任泽区期末)如图所示，∠BAC 90°，AB=22,AC=22,BD=12,DC= 410,则∠DBA= 7.(2023·唐山路北区期中)某路段限速标志规 定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 70km/h.如图所示，一辆小汽车在该笔直路段 【上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速 检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小 汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检 测仪A之间的距离为50m, (1)求BC的长， 速检测仪 【36 优种学爆讲时进3.解：(1)由折叠登的性质可得AF=AD=10m, 【思想方法归纳】 在Rt△ABF中，，'AB=8cm, 【例1】解：，'AB=BD=5厘米，动点P ∴.BF=√AF-AB=/10-8=6(cm). 从A出发(A+B·D)到D,速度为 .FC=BC-BF=10-6=4(cm). 2厘米/秒， (2)由折叠的性质可得EF=DE, ∴，5秒时点P的运动路程为2×5=乃 D( 设EF=DE=xcm.则EC=DC一DE=(8一x)cm. 10(厘米). 在Rt△EFC中， 而AB+BD=10厘米， 由勾股定理可得CE2+FC=EF”,即(8一x)2+4=x2,解 此时P与D重合 得x=5,即EF的长为5cm AB=BC=CD=5厘米，动点Q 4.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, 从D出发(D→C→B→A)到A,速度为2.8厘米/秒， ∠D=∠B=∠BCD=90 5秒时点Q的运动路程为2.8×5=14（厘米）， ,将△ADE沿AE对折至△AFE, 面DC+CB+BA=15厘米， .AD=AF,DE=EF,∠D=∠AFE=90°. .Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图所示. ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90 在△BPQ中，，BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米， AG=AG. BQ+PQ=BP 在R△ABG和Rt△AFG中， AB=AF. △BPQ为直角三角形.且∠BQP=90°， ,,R1△ABG2Rt△AFG(HL). ,∠AQP=180°-∠BQP=90°， (2).△ABG≌△AFG,.BG=FG .△APQ为直角三角形. 设BG=FG=x,则GC=6一x., 【变式调练1】解：如图所示，连接AC, E为CD的中点，CE=EF=DE=3,∴.EG=3+x. :∠B=90,AB=BC=2, 在Rt△CEG中.CG2+CE=GE2. .AC=√AB+BC=22,∠BAC=45. .(6-x)+3=(3+x),解得x=2,.BG=2 又，CD=3,DA=1, 5.解：(1)证明：：AB/CD.∴∠BEF=∠DFE, .AC2+DA3=8+1=9=CD. 由折叠的性质可得∠BEF=∠DEF, △ACD是直角三角形， ∴∠DEF=∠DFE,∴.DE=DF. .∠CAD=90, (2)点B的坐标为(8,4)，AB=(OC=8,BC=OA=4.设 .∠DAB=45+90=135 BE=OE=x,则AE=8一x, 敌∠DAB的度数为135. 在Rt△AEO中，AE十OA=OE,.(8一x)2+4=x,解 D 得x=5,.AE=8-x=3. (3)由(2)得OF=OE=5,AE=3,过点E作EG⊥OF,垂足 为点G,则EG=OA=4,(OG=AE=3,∴.GF=OF-OG=2. 在Rt△EGF中，EF=√EG+GF=√+2=25. 数学活动 【例2】A 1.解：(1)设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为(x+1)米. 【变式训练2】45°解析：如图所示，作 在Rt△ABC中，由勾股定理得x2十4=(x十1)， ∠EBF=∠ABD,连接CF 解得x=7.5, 答：旗杆的高度BC为7,5米 BC=CF=√2+1下=5，BF= D (2)由题意可知，BD=BC=7,5米，DE=4.5米，DF=EC √3+1下=10，(5)+(5)2= 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE=√BD一DE= (10). √7.5-4.5=6（米）， △BC下是等腰直角三角形， .EC=BC-BE=7.5-6=1.5(米). .∠CBF=45°，.∠ABD十∠CBE=45 .DF=EC=1,5米. 【例3】解：(1)CD=10,DE=7,.CE=10一7=3. 答：此时绳结到地面的高度DF为1.5米 ∠DCB=90,.在R△CBE中，BE=√BC+CE=5. 2.解：(1)(a十b)2(a一b)2 (2)当∠BPE=90时，AP=10-3=7,则t=7÷1=7(秒) (2)由图②可以看出，正方形CDEF的面积一正方形IIKL 当∠BEP=90时，BE2+PE=BP,即5+4+(7-t)2 的面积=4个矩形的面积. .(a+b)2-(a-b)2=4ab. 10-,部得/一号 (3):S达后m=SE本事m十SE有sHe,十S△n十S么，= Sz方s十S△Am十SAF, “当1=7或号时，△BPE为直角三角形。 a+b+ab+b=+ab+2b, 1 1 【变式训练3】解：分两种情况： ①当△ABC是锐角或直角三角形时，如图①所示。 ∴.d+b2=c. CD⊥AB.∴.∠CDA=90 本章综合提升 CD=5,AD=1..AC=2. 【本章知识归纳】 AB=2AC,,AB=4,BD=4-1=3, a2+b2=c2a2+b2=c2a2+b2=c .BC=√CD+BD=√(W3)2+32=25: 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABCD, ∴.∠E=∠DCF. ,点F是AD的中点，，AF=DF D A B 在△AFE和△DFC中， ① I∠E=∠DCF, ②当△ABC是饨角三角形时，如图②所示， ∠EFA=∠CFD. 同理得AC=2,AB=4, AF=DF. .BC=√CD+BD=√/(W3)2+52=2/7 ∴.△AFE≌△DFC(AAS),,CD=AE,.AB=AE 综上所述，BC的长为23或2√7. (2)由(1)可得AF=DF. 【通模拟】 ,四边形ABCD是平行四边形，BC=AD. 1.C2.B3.B4.D5.176.45 BC=2AE,..AD=2AE. 7.解：(1)根据题意得∠ACB=90°，AC=30m,AB=50m, AD=2AF...AE=AF. ∴.BC=AB-AC=√50-30=40(m), ∠E=34°.∴.∠AFE=∠E=34°， 即BC的长为40m ∴.∠DAB=2∠E=68 (2)这辆小汽车超速了，理由如下： 15.解：(1)证明：：G,H分别是AC的三等分点， :该小汽车的速度为40÷2=20(m/s)=72(km/h)> .AG=GH=HC. 70 km h. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴这辆小汽车超速了. .AD∥BC,ABCD, 8.解：(1)连接PB(图略) .∠EAG=∠FCH. ,'∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm, 'GE∥BC,HF∥AD. ∴.AC=√AB-BC=8(cm). .GE∥HF, .CP+BC=PB,PA=PB=2t cm. ∴.∠EGH=∠GHF, 8-2+6-(2w,i-5 ∠AGE=∠CHF, .△AEG2△CFH(ASA). (2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图所示，过点P作PE (2)如图所示，过点E作EN⊥AC于点V, ⊥AB于点E, :GE∥BC, ∴.∠ACB=∠AGE=60°， ,EN⊥AC, .∠GEV=30, NG-TGE-1.EN-/EG-NG-5. 此时BP=(14一2)cm,PE=PC=(2-8)cm.BE=10-8 ,∠BAC=45,EN⊥AC, 2(cm). 在Rt△BEP中，PE+BE=BP, ∴.AN=EN=3, 即(21-8)+2=(14-2：)2， ∴.AG=5+1. 16 解得1一3 :G,H分别是AC的三等分点， ∴.AC=3AG=33+3. 当t=12时，点P与A重合，也符合条件 当只或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上. 第十八章平行四边形 18.1平行四边形 18.1.1平行四边形的性质 第2课时平行四边形对角线的性质 第1课时平行四边形边和角的性质 1.D2.D3.B4.C5.116.1657.C8.B9.D 1.A2.C3B4.(5,3)5.B 10.4/1311.2112.12 6.SaAr=SAAm,S4=S么g(答案不睢一) 13.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 7.D8.C9.B10.C11.B12.513.4或-2 ..AO=OC.OB=OD.