7.4 勾股定理的逆定理-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

7.4勾股定理的逆定理（答案P12) 通塞》99393999 6.下列各组数是勾股数组的是( A.11,15,13 B.1,4,5 划识点1勾股定理的逆定理 C.8,15,17 D.4,5,6 1.在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,则该三 角形为( 通能力》92929999>9>>29>99 A.锐角三角形 7.下列各组数能称为勾股数组的是() B.直角三角形 A.1,5,2 B.1.5,2.5,2 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 C.9,12,15 D.4,5,6 2.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且(a十b)· 8.满足下列条件的三角形不是直角三角形的 (a-b)=c2,则( 是() A.a所对的角是直角 A.三内角的度数之比为1：2：3 B.b所对的角是直角 B.三边长的平方之比为1：2：3 C.c所对的角是直角 C.三边长之比为3：4：5 D.△ABC不是直角三角形 D.三内角的度数之比为3：4：5 3.已知x-12|+|x+y-25|与x2-10x+25 9.(2023·潍坊潍城区期中)如图所示，是用三块 互为相反数，则以x,y,:为三边的三角形是 正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三 三角形.（填“锐角”“直角”或“饨角”） 4.几何直观(2024·龙岩漳平期末)如图所示，在 块正方形围成的三角形是直角三角形.现有面 四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3, 积分别是1,2,3,4,5的5种型号的正方形纸 DA=1,且∠B=90°，求∠DAB的度数. 片各若干张，选取其中三张，按如图的方式组 成图案，则下列选项中，能围成直角三角形且 面积最小的是( 知识点2勾股数组 A.1,2,4 B.2,3,5 5.有六根细木棒，它们的长度（单位：cm)分别是 C.2,2,4 D.1,3,4 1,2,3,4,5,6.若从中取出三根，首尾顺次连接 搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分 10.若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且 别为( 周长为60cm,则它的面积为 em2. A.1,2,3 B.2,3,4 11.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角 C.3,4.5 D.4,5,6 形是直角三角形，则第三边长为 一年级下猫数学00 41 12.数华文化我国南宋著名数学家秦九韶的著 14.教材P58例2变式如图所示，某开发区有一 作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙 块四边形的空地ABCD,现计划在空地上种 田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里， 植草皮，经测量∠A=90°，AB=30m,BC= 大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是： 120m,CD=130m,DA=40m,若种植草皮 有一块三角形沙田，三条边长分别为5里， 的单价为30元/m”,问：将这块空地植满草 12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中 皮，需要投入多少元？ “里”是我国市制长度单位，1里=0,5千米， 则该沙田的面积为 平方千米 13.应用意识◆台风是一种自然灾害，它以台风中 心为圆心，在周围200千米的范围内形成极 端气候，有极强的破坏力，如图所示，有一台 风中心由西向东，从A移动到B,已知点C 是一个海港，且点C与A,B两点的距离分别 为AC=300km,BC=400km,A,B两点的 距离为AB=500km. 通素养》99999999999 (1)求∠ACB的度数 15.阅读建解阅读下列解题过程： (2)海港C会受到这次台风的影响吗？请说 已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足 明理由. a2c2-bc2=a‘-b,试判断△ABC的形状. 解：a2c2-b2c2=a*-b,① ∴.c2(a2-b2)=(a2-b)(a2+b2).② ∴.c2=a2+b2,③ 东 .△ABC是直角三角形. 回答下列问题： (1)上述解题过程，从第 步开始出现 错误。 (2)错误原因为 (3)本题正确结论是什么？说明理由. 42 优学条课时温一中，D为AC边的中点， 7.4勾股定理的逆定理 .BD⊥AC,CD=AD, 1.B2.A3.直角 ∠C=45. 4.解：如图所示，连接AC. .∠CBD=45°..BD=CD= ∠B=90°，AB=BC=2, AD,∠ABD=45°=∠C.又 ∴.AC=√JAB+BC=√8，∠BAC=45 :DE⊥DF,.∠FDC+∠BDF=∠BDF+ 又，CD=3,DA=1, ∠EDB,.∠FDC=∠EDB,.△EDB≌△FDC, .AC2+DA2=8+1=9=CD2=9, .BE=FC=3. :AE=4,∴AB=7,.BC=7,.BF=4.在 ∴.△ACD是直角三角形， Rt△EBF中，EF=BE2+BF2=3”+4=25, .∠CAD=90°， .EF=5. ∴.∠DAB=45°+90°=135. 7.3√2是有理数吗 故∠DAB的度数为135°. 第1课时无理数 5.C6.C7.C8.D9.D10.12011.4或34 1.ACD2.C3.A4.C5.36.9 12.7.5 7.解：(1)，2<8<32， 13.解：(1)：AC=300km,BC=400km,AB= 借助计算器可进一步估计2.8<8<2.92,2.82< 500km. 8<2.832, ..AC+BC=AB, .△ABC是直角三角形. ∴.2.82<√8<2.83. ∴.∠ACB=90. (2),8<75<9, (2)海港C不会受到台风的影响，理由如下： 借助计算器可进一步估计8.6<75<8.7， 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D 8.662<√/75<8.672，.8.66</75<8.67. 8.B9.C10.B11.A12.4 13.解：(1)√16=4√4=2，则y=2 西 (2)存在，当x=0或1时，始终输不出y值：当输人 负数，始终输不出y值. 综上所述，x的值为0或1或负数. 六Sa=zAC·BC=2AB·CD, (3)答案不唯一，x=[(√5)2]=25或x= 即300×400=500CD. 解得CD=240. [(W6)2]=36或x=[(7)2]=49或x= 240km>200km. [(w8)]=64. 海港C不会受到台风的影响。 第2课时：在数轴上表示无理数 14.解：如图所示，连接BD,在 1.D2.B Rt△ABD中， 3.W2(答案不唯一) BD=AB2+AD=302+402= 4.B5.C6.C7.-x 502.在△CBD中，CD=1302,BC=1202. 8.解：如题图所示是由36个边长为1的小正方形拼 ,120+50=1302,即BC+BD=CD, 成的方格图。 .∠DBC=90°.S阳边幕AD=SAD十S△DK= .AB=√2+1=5， 同理BC=5,CD=√10，EF=5,DE=3,AF=2. AD·AB+7BD·BC-号x40X30+号× BC=5.EF=5.DE=3.AF=2...BC.EF,DE. 50×120=3600(m),∴.需要投人3600×30 AF的长度是有理数. 108000(元). AB和CD都是无限不循环小数，∴.AB,CD的长度15解：(1)③(2)a2-b可能为零 是无理数. (3)正确结论：△ABC是等腰三角形或直角三角形.理 12 由如下： 14.解：(1)64的算术平方根是√64=8. a2c2-bc2=a-b',.c2(a2-b)=(a2+b2)· (2)0.25的算术平方根是√/0.25=0.5. (a2-b),.a-b2=0或c2=a2+b2.当a2 42 b=0时，a=b,此时△ABC是等腰三角形；当 (③)号的算术平方根是，写=号 a2-b≠0时，c2=a2+b,∠C=90°，此时△ABC (4)5°的算术平方根是√5=125 是直角三角形.∴.△ABC是等腰三角形或直角三 角形. 6()的算术平方根是，（一高-高 专题二勾股定理及其逆定理的 (6)10°的算术平方根是√10=100. 实际应用 15.解：(1)证明：，CD=3,BC=5,BD=4, ∴.CD+BD=9+16=25=BC2, 1.C2.413.64.B5.2.56.4 .△BCD是直角三角形，∴.BD⊥AC. 7.解：如图所示，设湖水深为x尺， )空 (2)设AD=x,则AC=x+3. AC为s尺，则红莲总长为(x十 .AB=AC,..AB=x+3. 0.5)尺.在Rt△ABC中，根据勾 ∠BDC=90°，.∠ADB=90°， 股定理，得x2+s2=(x十0.5)2.在Rt△ADC中， .AB2=AD2+BD,即(x+3)2=x2+4, 有0.52十s2-22,由以上两式，解得x=3.5,即湖水 第得-名AB-号+3-要 61 深3.5尺. 16.解：在Rt△ABD中，BD”=AD2-AB2=9 8.B9.B10.B11.D 62=45, 12.20 在△BCD中，BC+CD=3+6=45, 13.解：如图所示，由题意，得在 ∴.BC2+CD2=BD2.∴.∠BCD=90°，∴.BC⊥CD Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3× 故该车符合安全标准 25+3×15=120(cm).BC=90cm. 17.解：(1)∠D是直角.理由如下：如图 由勾股定理，得AB 所示，连接AC, 在Rt△ABC中，∠B=90 √/AC+BC=√/120+902=150(cm). 由勾股定理，得AC=√7十24=25. ∴.最短路程是150cm. 在△ADC中，：AD+DC=625, 14.直角三角形 AC2=625, 15.解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下： ∴.AD+DC=AC,.△ADC是直角三角形， ,AC=6.5千米，DC=2.5千米，AD=6千米， ∠D=90°. ∴.AD2+DC2=6+2.5=42.25,AC=6.5= 1 (2)Sg边卷AxD=S△A十S△ADc= 2×7×24+2× 42.25. 15×20=234(m), ∴.AD'+DC=AC2, ∴.四边形ABCD需要铺的草坪的面积为234m. .△ACD是直角三角形. 18.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点. (2)由(1)可知AD⊥BC, 理由如下： 设BD=x千米，则BA=BC=(x+2.5)千米， ,AM2+BN2=2.52+62=42.25, MN=6.5=42.25, 在R△ABD中，AD+BD°=AB2, ∴.AM+BN=MN,∴.以AM,MN,NB为边的 ∴.62+x2=(x+2.5)2, 三角形是一个直角三角形，'.点M,N是线段AB 解得x=5.95,5.95+2.5=8.45(千米)，.原路线 的勾股分割点. AB的长为8.45千米. (2)设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-x 阶段检测三（7.1~7.4) ①当MN为最长线段时，依题意，得MN AM+NB2,即(25-x)2=25+x.解得x=12. 1.D2.BCD3.B4.D5.C6.B7.A8.A ②当BN为最长线段时，依题意，得BN°=AM+ 9.210.811.212.7 MN2,即x2=25+(25-x),解得x=13. 13.8或/10或/90 综上所述，BN的长为12或13. 13