7.4 勾股定理的逆定理 　导学案　2024-2025学年青岛版数学八年级下册

勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：在△ABC中， ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性的验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和． 勾股数组 一般的，把满足a2＋b2＝c2的三个__ __称为勾股数组． 利用勾股定理的逆定理判定三角形形状 典例1 [2024·菏泽期末]如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m. 典例1图 (1)求边BC的长； (2)连接AC，判断△ADC的形状． 变式 [2024·威海期末]△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是( ) A．a＝b＝，c＝2 B．∠A＝∠B＋∠C C．a＝5，b＝12，c＝13 D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 利用勾股定理的逆定理判断两线段的位置关系 典例2 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝. (1)求AC，CE的长； (2)求证：AC⊥CE. 典例2图 变式 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2　. 求证：AB∥DC. 变式图 勾股数组的规律探究 典例3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c. 根据你发现的规律，请写出： (1)当a＝19时，求b，c的值； (2)当a＝2n＋1(n为正整数)时，求b，c的值； (3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 变式 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 … (1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c； (2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想； (3)观察下列勾股数：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412.分析其中的规律，写出第5组勾股数． 勾股定理与逆定理的综合运用 典例4 [2024·德州期中]吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A，B的距离分别为180 m和240 m，AB＝300 m，若吊车周围150 m以内会受噪声影响． 典例4图 (1)求∠ACB的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 变式 [2024·临沂期中]如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米，若种植草皮费用为5元/平方米，求种植此块草皮的费用． 变式图 1．[2024·枣庄期中]下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( ) A．a∶b∶c＝1∶2∶3 B．a2＋c2＝b2 C．∠A＋∠B＝∠C D．a＝3，b＝4，c＝5 2．[2024·绥化期中]若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＝0，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 3．[2024·菏泽期中]在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积为( ) A．30　 　 B．42　 　 C．84　 　 D．100 4．[2024·南京期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__ __°. 第4题图 5．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7，△ABE的面积为35.求： (1)AB的长； (2)四边形ACBE的面积． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：在△ABC中， ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性的验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和． 勾股数组 一般的，把满足a2＋b2＝c2的三个__正整数__称为勾股数组． 利用勾股定理的逆定理判定三角形形状 典例1 [2024·菏泽期末]如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m. 典例1图 (1)求边BC的长； (2)连接AC，判断△ADC的形状． (1)利用勾股定理以及线段中点的性质即可； (2)通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 解：(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中， ∵AB＝15 m，AE＝12 m， ∴BE＝＝＝9(m)． ∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18(m)； (2)∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15 m. ∵AD＝17 m，CD＝8 m， ∴CD2＋AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． 变式 [2024·威海期末]△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是( D ) A．a＝b＝，c＝2 B．∠A＝∠B＋∠C C．a＝5，b＝12，c＝13 D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 利用勾股定理的逆定理判断两线段的位置关系 典例2 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝. (1)求AC，CE的长； (2)求证：AC⊥CE. 典例2图 (1)根据勾股定理即可求出AC和CE的长； (2)根据勾股定理的逆定理判定即可． 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. ∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝； (2) 证明：∵AC＝，CE＝，AE＝， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE. 变式 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2　. 求证：AB∥DC. 变式图 证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8， ∴BD＝＝＝6. ∵BC＝8，CD＝2　， ∴62＋(2　)2＝82，即BD2＋CD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥DC. 勾股数组的规律探究 典例3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c. 根据你发现的规律，请写出： (1)当a＝19时，求b，c的值； (2)当a＝2n＋1(n为正整数)时，求b，c的值； (3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． (1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值； (2)根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b，c的值； (3)将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是． 解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c－b＝1， ∵a＝19，a2＋b2＝c2， ∴192＋b2＝(b＋1)2， ∴b＝180，∴c＝181； (2)通过观察知c－b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2， 又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1； (3)由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数， 当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1， 但2n2＋2n＝112≠111， ∴15，111，112不是一组勾股数． 变式 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 … (1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c； (2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想； (3)观察下列勾股数：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412.分析其中的规律，写出第5组勾股数． 解：(1)由图表可以得出： ∵n＝2时，a＝22－1， b＝4＝2×2，c＝22＋1； n＝3时，a＝32－1，b＝2×3，c＝32＋1； n＝4时，a＝42－1，b＝2×4，c＝42＋1； …； ∴a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1； (2)∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1， ∴a2＋b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； (3)由于32＋42＝52， 52＋122＝132， 72＋242＝252， 92＋402＝412， 由分析可得(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝(2n2＋2n＋1)2. ∴第五组的式子为112＋602＝612. ∴第五组勾股数为11，60，61. 勾股定理与逆定理的综合运用 典例4 [2024·德州期中]吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A，B的距离分别为180 m和240 m，AB＝300 m，若吊车周围150 m以内会受噪声影响． 典例4图 (1)求∠ACB的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． (1)根据勾股定理的逆定理求解即可； (2)过点C作CD⊥AB于点D，根据等面积法求出CD＝144 m，结合题意可得街道上的居民会受到噪声的影响，当EC＝150 m，FC＝150 m时，EF范围内的居民会受影响．由勾股定理得ED＝＝42(m)，推出DF＝ED＝42 m，即可求解． 解：(1)∵AC＝180 m，BC＝240 m，AB＝300 m， ∴AC2＋BC2＝1802＋2402＝90 000，AB2＝3002＝90 000， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°； (2)街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 典例4图 由(1)，得∠ACB＝90°， ∴AC·BC＝CD·AB， ∴×180×240＝×300·CD， 解得CD＝144 m， ∵吊车周围150 m以内会受到噪声的影响， ∴街道上的居民会受到噪声的影响． 当EC＝150 m，FC＝150 m时，EF范围内的居民会受影响． ∴ED＝＝＝42(m)， ∴DF＝ED＝42 m， 即会影响位于吊车垂直位置左右各42 m街道上的居民，即EF范围内的居民会受影响．(说法合理即可) 变式 [2024·临沂期中]如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米，若种植草皮费用为5元/平方米，求种植此块草皮的费用． 变式图 解：如图，连接AC， 变式图 ∵∠B＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝122＋92＝152， 在△ADC中，AD2＝252，CD2＝202， 而152＋202＝252， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴种植草皮的面积为S四边形ABCD＝S△ADC－S△ABC ＝AC·CD－AB·BC ＝×15×20－×12×9 ＝96(平方米)， 96×5＝480(元)． 答：种植此块草皮的费用为480元． 1．[2024·枣庄期中]下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( A ) A．a∶b∶c＝1∶2∶3 B．a2＋c2＝b2 C．∠A＋∠B＝∠C D．a＝3，b＝4，c＝5 2．[2024·绥化期中]若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＝0，则△ABC的形状是( C ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 3．[2024·菏泽期中]在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积为( C ) A．30　 　 B．42　 　 C．84　 　 D．100 4．[2024·南京期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__45__°. 第4题图 5．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7，△ABE的面积为35.求： (1)AB的长； (2)四边形ACBE的面积． 第5题图 解：(1)∵DE＝7，△ABE的面积为35，DE是AB边上的高， ∴×AB×7＝35，∴AB＝10； (2)在△ABC中， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AC2＋BC2＝62＋82＝100， ∵AB＝10， ∴AB2＝100， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴四边形ACBE的面积S＝S△ABC＋S△ABE＝×6×8＋35＝59. 学科网（北京）股份有限公司 $$