6.3 特殊的平行四边形-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

6.3特殊的平行四边形 第1课时 矩形的性质（答案P4) 通基9999999999999999” 5.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交 于点O,已知∠AOB=60°，AC=16,则图中长度 知识点1矩形的性质 为8的线段有 条.（填具体数字） 1.(2024·盐城滨海月考)矩形具有而平行四边 6.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O, 形不一定具有的性质是() 过点O作OG⊥AC,交AB于点G,连接CG: A.对角线互相平分 若∠BOG=15°，则∠BCG的度数是 B.两组对角相等 C.对角线相等 D.两组对边相等 2.两个矩形的位置如图所示，若∠1=115°，则 7.(2024·无锡中考)如图所示，在矩形ABCD ∠2=() 中，E是BC的中点，连接AE,DE.求证： A.50° B.55° C.60° D.65 (1)△ABE≌△DCE. (2)∠EAD=∠EDA. 第2题图 第3题图 3.新情境)小明同学在喝水时发现了这样一个有 趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面 始终与桌面保持平行.如图所示，矩形ABCD 为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与 知识点2直角三角形的性质定理2 CD的交点为E,当水杯侧面AB与桌面的夹 8.(2024·深圳龙岗区开学)如图所示，一根木棍 角为54时，则∠CBE的度数为() 斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍 A.46° B.36° C.54 D.56° 中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面 4.(2024·甘肃中考)如图所示，在矩形ABCD 向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距 中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABD= 离( 60°，AB=2,则AC的长为( A.6 B.5 C.4 D.3 60C 0 B M A.变小 B.不变 第4题图 第5题图 C.变大 D.无法判断 优计学旅说的温 9.几何直观，如图所示，在Rt△ABC中，14.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与 ∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB BD相交于点O,EO⊥AC于点O,交BC于 交于点D,且将△ABC的面积分成相等的两 点E.若△ABE的周长为5，AB=2,则AD 部分，则∠CDA等于() 的长为() A.30° B.45 C.60 D.75 A.2 B.2.5 C.3 D.4 15.如图所示，在矩形ABCD中，点E是CD的 中点，点F是BC上一点，且FC=2BF,连接 AE,EF,AF.若AB=2,AD=3,则∠AEF 的大小为( 第9题图 第10题图 A.30° B.45 10.如图所示，△ABC和△ABD均为直角三角 形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的 C.60° D.不能确定 中点，连接CD,CE,DE,则△CDE的形状 为 通能力 第15题图 第16题图 11.如图所示，在△ABC中，D是BC上一点， 16.教材P19例1变式如图所示，矩形ABCD AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点， 的两条对角线所夹的锐角是60°，如果一条对 EF=2,则AC的长是() 角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线 A.3 B.4 C.5 D.6 的长为 ,短边长为 17.如图所示，延长矩形ABCD的边BC至点E, 使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°， 则∠E= 第11题图 第12题图 12.推理能力如图所示，将矩形纸片ABCD沿 18.如图所示，BD,CE是△ABC的两条高，M 对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE N分别是BC,DE的中点.试说明MN与 交AD于点F.若CE平分∠ACD,AF=2, DE的关系. 则DF的长是() A.1 B.0.5 C.2 D.1.5 13.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O, AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE= 15°，则∠BOE=( ) A.30 B.45 C.60 D.75 第13题图 第14题图 一八年级下能数学0如 13 19.(2024·滨州邹平模拟)如表是小芸同学证明 定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择 其中一种，完成证明 21.推理能力如图所示，在矩形ABCD中， AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=3, 定理：直角三角形斜边上 连接DE. 的中线等于斜边的一半， (1)动点P从点B出发，以每秒1个单位长 已知：如图①所示，在 度的速度沿BC一CD一-DA向终点A运动， △ABC中，∠ABC=90°， 设点P运动的时间为t秒，求当1为何值时， 点O是AC边的中点 △ABP和△DCE全等. 求证，OB=AC (2)若动点P从点B出发，以每秒1个单位 长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接 方法一：（如图②所示） 方法二：（如图③所示） DP.设点P运动的时间为1秒，是否存在t, 证明：延长BO至D,使 证明：过点O作OD⊥ 使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出1 OD=OB,连接AD.CD. BC于点D. 的值：否则，说明理由. ③ 20.如图所示，四边形ABCD是矩形，△PBC和 △QCD都是等边三角形，且点P在矩形上 方，点Q在矩形内，连接AP,PQ (1)求∠PCQ的度数. (2)求证：∠APB=∠QPC. 14 优学条课时温一 第2课时 矩形的判定（答案P4) 通基9929999992999” 知识京2矩形的判定定理1 4.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边 知识点1根据定义判定矩形 1.如图所示，添加下列一个条件可以使□ABCD 形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定 成为矩形的是( 的方案，其中正确的是( A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 A.AB=BC B.∠D=120 C.测量对角线是否相等 C.∠A+∠C=120 D.∠B=∠C D.测量其中三个角是否都为直角 2.如图所示，过四边形ABCD的四个顶点分别 知识点3矩形的判定定理2 作对角线AC,BD的平行线，如所围成的四边 形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足 5.(2024·河北模拟)如图所示，有甲、乙两个四 的条件是 (只需写出一个符合要 边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确 求的条件) 的是() 2.52.5 下40 40y ∠40402 3.(2024·烟台菜州期末)如图所示，四边形ABCD A.甲是矩形 中，对角线AC,BD相交于点O,AO=CO, BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. B.乙是矩形 (1)求证：四边形ABCD是矩形. C.甲、乙均是矩形 (2)作DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若 D.甲、乙都不是矩形 ∠ADF:∠FDC=2:1,则∠BDF的度数是 6.(2024·唐山路北区期末)如图所示，四边形 多少？ ABCD的对角线AC,BD交于点O,根据图中 所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD 为矩形，添加的条件可以是( A.OB=5 B.OD=5 C.AB=5 D.BC=8 一年级下猫数学00 15 7.已知□ABCD,AC,BD是它的两条对角线，那 么下列条件能判断这个平行四边形为矩形的 11.几何直观如图所示，四边形ABCD为平行四 是() 边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB, A.∠BAC=∠DCA EC,DB,添加一个条件，不能使四边形 B.∠BAC=∠DAC DBCE成为矩形的是() C.∠BAC=∠ABD D.∠BAC=∠ADB 8.抽象能力如图所示，李师傅在做门窗时，不仅 要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常 常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确 A.AB=BE B.BE⊥DC 保图形是矩形.其中的道理是( C.∠ADB=90 D.CE⊥DE 12.(2024·聊城东昌府区期末)如图所示，在锐 角△ABC中，延长BC到点D,点O是AC边 上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,MN 分别交∠ACB,∠ACD的平分线于E,F两 A.有三个角是直角的四边形是矩形 点，连接AE,AF,在下列结论中： B.对角线相等的平行四边形是矩形 ①OE=OF: C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②CE=CF: D.对角线相等的四边形是矩形 ③若CE=12,CF=5,则OC的长为6： 9.数材P23练习T1变式》如图所示，四边形 ④当AO=CO时，四边形AECF是矩形. ABCD为平行四边形，下列条件：①AC 其中正确的是( BD:②AB=AD;③∠1=∠2；④AB⊥BC.其 中能说明□ABCD是矩形的有 ,(填 序号) A.①④ B.①② C.①②③ D.②③④ 13.(2024·连云港海州区月考)如图所示，在 稀三对矩形的判定方法理解错误导致出错 △ABC中，AB-3,AC=4,BC=5,P为边 10.下列命题正确的是() BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F, A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 M为EF中点，则AM的最小值为 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 16 优计学旅说的温 14.如图所示，在△ABC中，D是AB的中点， 通素养299299>92 DF∥BC,交AC于点E,过点C且与AB平 行的直线与DF相交于点F,连接CD,AF. 16.推理能力》如图所示，在矩形ABCD中，AB= (1)求证：四边形ADCF是平行四边形。 6cm,BC=8cm,E,F是对角线AC上的两 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形 个动点，分别从A,C同时出发，相向而行，速 度均为2cm/s,运动时间为t(0≤t≤5)s. ADCF是矩形，并说明理由. (1)若G,H分别是AB,DC的中点，且t 2.5,求证：以E,G,F,H为顶点的四边形始 终是平行四边形 (2)在(1)的条件下，当t为何值时，以E,G, F,H为顶点的四边形为矩形？ 备用图 15.教材P28习题6.3T3变式》如图所示，在 △ABC中，AB-AC,AD,AE分别是 ∠BAC和∠BAC外角的平分线，BE⊥AE. (1)求证：DA⊥AE (2)试判断AB与DE是否相等？证明你的 结论 一年级下猫数学00 17》 第3课时 菱形的性质和判定（答案P5) 0通惠础92990999997399397n 则m十n的值为() A.2 B.-2 C.6 D.-6 知识点1菱形的定义和性质 6.几何直观如图所示，已知菱形ABCD的对角 1.(2024·戚海环翠区期中)菱形不具有的性质 线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB, 是( 连接CE. A.对角相等 (1)求证：BD=EC, B.对边平行 (2)若∠E=50°，求∠BAO的大小. C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC, O为坐标原点，点C在x轴上，点A的坐标为 (一3,4)，则顶点B的坐标是() A.(-5,4) B.(-6,3) C.(-8,4) D.(2,4) A(-3.4) 知识点2菱形的判定 0 7.如图所示，在口ABCD中，对角线AC,BD相 第2题图 第3题图 交于点O,添加下列条件不能判定口ABCD是 3.如图所示，在菱形ABCD中，若∠D=150°， 菱形的是( 则∠1=( ) A.AC⊥BD B.AB=BC A.30 B.25° C.AC=BD D.∠1=∠2 C.20 D.15 4.如图所示，在菱形ABCD中，点E是边AB上 一点，DE=AD,连接EC.若∠ADE=36°，则 ∠DEC的度数为( D A.72 B.54 第7题图 第8题图 C.50° D.48° 8.推理能力》如图所示，已知△ABC,AB=AC, 将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原 △ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四 边形ABDC是菱形的依据是() A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 第4题图 第5题图 B.四条边都相等的四边形是菱形 5.如图所示，菱形ABCD的对角线交于原点O,若 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 点B的坐标为(4，m),点D的坐标为(n,2), D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 18 优种学案说的道 9.在☐ABCD中，AB=6cm,AD=8cm,M,V 14.如图所示，在给定的一张平行四边形纸片上 分别在AD,BC上，且DM=CN=2cm,则 作一个菱形.甲、乙两人的作法如下： 四边形ABNM是 形，判断的依据 甲：连接AC,作AC的垂直平分线MN分别 是 交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN, 10.几何直观如图所示，在口ABCD中，点O CM,则四边形AVCM是菱形. 是AC的中点，过点O作AC的垂线，分别 乙：分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别 交AD,BC于点E,F.求证：四边形AFCE 交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形 是菱形. ABEF是菱形 根据两人的作法可判断( A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 15.(2024·石家庄藁城区期末)如图所示，点E 是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 AE,若AD=DE,∠AEB=105°，则∠BAE 精对菱形的判定定理运用不熟练致错 的度数为 11.(2024·保定莲池区月考)在四边形AB CD中，AB∥CD,AB=BC,添加下列条件 后仍然不能推得四边形ABCD为菱形的 是() A.AB=CD B.AD∥BC 第15题图 第16题图 C.AB=AD D.AD=CD 16.如图所示，在□ABCD中，E,F分别是AB, 通能刀》22992929% CD的中点.当口ABCD满足 时，四 12.已知菱形的周长为9.6cm,两个邻角的比是 边形EHFG是菱形. 1:2,这个菱形较短的对角线的长是( 17.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD A.2.1 cm B.2.2 cm 是斜边BC上的高，BE为∠ABC的平分线 C.2.3 em D.2.4 cm 交AC于点E,交AD于点F,FG∥BD,交 13.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°， AC于点G,过点E作EH⊥CD于点H,连接 AB的垂直平分线交对角线AC于点E,交 FH,下列结论：①四边形CHFG是平行四边 AB于点F,连接DE,则∠CDE等于( 形；②AE=CG;③FE=FD:④四边形AEHF A.80 是菱形.其中正确的结论是 .(填序号) B.70 C.659 D.60° 一代年级：下猫数学00 19 18.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E 通素养299299>9% 是对角线AC上一点，∠ADC=∠ABC (1)求证：四边形ABCD是平行四边形. 20.如图所示，在菱形ABCD中，AB=5, (2)分别过点E,B作EF∥AB,BF∥AC,当 ∠ABC=60°，∠EAF=60°，∠EAF的两边 ∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时， 分别交BC,CD于点E,F 四边形EFCD是菱形？请说明理由. (1)如图①所示，当点E,F分别在边BC,CD 上时，求CE十CF的值. (2)如图②所示，当点E,F分别在CB,DC 的延长线时，CE,CF又存在怎样的数量关 系？证明你的结论 19.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC, AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD 上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥ AB,分别交AC,BC于点E和点F,作PQ∥ AC,交AB于点Q,连接QE (1)求证：四边形AEPQ为菱形. (2)当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为 四边形EFBQ面积的一半？ 【20 优学条说的温一 第4课时 正方形的性质和判定（答案P6) 通集l992999999 BE,若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方 形，其数学原理是() 知识点1正方形的定义和性质 A.邻边相等的矩形是正方形 1.(2024·宜昌期末)正方形具有而矩形不一定 B.对角线相等的菱形是正方形 具有的性质是( C.两个全等的直角三角形构成正方形 A.四个角都是直角 D.轴对称图形是正方形 B.对角线相等 7.小明在学习了正方形之后， C.对角线互相平分 给同桌小文出了道题，从下 D.对角线平分一组对角 列四个条件①AB=BC: 2.几何直观如图所示，在正方形ABCD中，等边 ②∠ABC=90°：③AC=BD:④AC⊥BD中， △AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上， 选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形 则∠AEB等于() (如图所示)，现有下列四种选法，你认为其中 A.609 B.70 C.75 D.80 错误的是() A.①②B.②③ C.①③ D.②④ 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D是边 60P>B BC的中点，过点A,D分别作BC,AB的平行 线，相交于点E,连接EC,AD 第2题图 第3题图 (1)求证：四边形ADCE是矩形 3.如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB= (2)当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是 3,则以AC为边长的正方形ACEF的面积 正方形。 为( A.9 B.12 C.15 D.20 4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的面 积是 cm2. 5.如图所示，在正方形ABCD中，延长BC至点 F,使得CF=CA,连接AF交CD于点E,则 ∠AED的度数为 橘固对正方形的性质掌握不熟练致错 9.(2024·兰州中考)如图所示，四边形ABCD 为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于 点F,若AD=4,则EF= 第5题图 第6题图 知识赢2正方形的判定 6.(2024·泰安东平期末)如图所示，将长方形纸 片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为 一年级下猫数学00 216.3特殊的平行四边形 又，四边形ABCD是矩形，∠DCB=90°， 第1课时矩形的性质 ∴.∠DCP=30°，同理∠QCB=30°， 1.C2.D3.B4.C5.66.15 ∴.∠PCQ=90°-30°-30°=30° 7.证明：(1)，四边形ABCD是矩形， (2)证明：，△PBC是等边三角形，∴.PB=PC. ∴.AB=DC,∠B=∠C=90. ,△QCD是等边三角形，∴CD=QC. :E是BC的中点， :四边形ABCD是矩形，.AB=DC, .BE=CE. ..AB=QC. 在△ABE和△DCE中， 又：∠ABP=∠ABC-∠PBC=30°=∠PCQ, (AB=DC, PB=PC. ∠B=∠C, ∴.在△PBA和△PCQ中，∠PBA=∠PCQ, BE=CE, AB=QC, ∴.△ABE≌△DCE(SAS). ∴.△PBA≌△PCQ(SAS),.∠APB=∠QPC (2),△ABE≌△DCE, 21.解：(1)若△ABP与△DCE全等， ..AE=DE, 则BP=CE或AP=CE. .∠EAD=∠EDA. 当BP=CE=3时，则t=3÷1=3, 8.B9.C10.等腰三角形11.B12.A13.D 当AP=CE=3时，则t=(6+6+4-3)÷1=13, 14.C15.B16.10517.15 ∴.当t为3或13时，△ABP和△DCE全等. 18.解：MN垂直平分DE,理由如下： (2),四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD=4, 如图所示，连接DM,EM. AD=BC=6,CD⊥BC. M是BC的中点，BD,CE是 在Rt△DCE中，CE=3, △ABC的两条高， ∴.DE=√DC2+CE=5. ∴EM=2BC,DM=2BC, 1 若△PDE为等腰三角形， 则PD=DE或PE=DE或PD=PE. .EM=DM. 当PD=DE时， N是DE的中点，∴.MN垂直平分DE. 'PD=DE,DC⊥BE, 19.解：方法一：延长B0至D,使OD=OB, .PC=CE=3, 连接AD,CD, ,BP=BC-CP=3,t=3÷1=3; :点O是AC边的中点， 当PE=DE=5时，BP=BE-PE,∴.BP=9 ∴.AO=CO. 5=4, BO=OD, .t=4÷1=4; ∴.四边形ABCD是平行四边形 当PD=PE时，PE=PC+CE=3+PC, :∠ABC=90°， .PD=3+PC, ,四边形ABCD是矩形， 在Rt△PDC中，DP=CD2+PC ..AC=BD, B0-BD-AC (3+PC)=16+PC.PC- 6 BP-BC-PC,..BP-2 6 6÷129 29 方法二：过点O作OD⊥BC于点D. 61 :∠ABC=90°， .∠ABC=∠ODC=90°， 综上所述：当1=3或4或得时，△PDE为等腰三 ∴.OD∥AB. 角形. :点O是AC边的中点， 第2课时矩形的判定 ∴.A0=C0, 1.D2.AC⊥BD ..BD=CD. 3.解：(1)证明：，AO=C0,BO=DO B0=0c=-7AC .四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ABC=∠ADC. 20.解：(1)，△PBC是等边三角形，∠PCB=60°. :∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠ADC=90°， ..AE=CF,..AF=CE, ∴.平行四边形ABCD是矩形 .△AGF≌△CHE(SAS), (2)由(1)得：∠ADC=90°，四边形ABCD是矩形. .GF=HE,∠AFG=∠CEH, ∠ADF:∠FDC-2:1,AC=BD, .GF∥HE, .∠FDC=30° .以E,G,F,H为顶点的四边形始终是平行四 :DF⊥AC, 边形。 ∴.∠DC0=90°-30°=60°. (2)如图所示，连接GH,由(1) .AO=CO,BO=DO, 可知四边形EGFH是平行四 ..OC=OD 边形 ∴.∠ODC=∠DCO=60°， :G,H分别是AB,DC的 ∴.∠BDF=∠ODC-∠FDC=30. 中点， 4.D5.A6.B7.C8.B9.①④ ..GH=BC=8 cm, 10.A11.B12.A13号 .当EF=GH=8cm时，以E,G,F,H为顶点的 四边形是矩形，分两种情况： 14.解：(1)证明：DF∥BC,CF∥BD,.四边形 ①若AE=CF=2t,则EF=10-4t=8,解得t= DBCF是平行四边形，∴.CF=BD.,D是AB的 0.5; 中点，BD=AD,∴CF=AD.又CF∥AB, ②若AE=CF=2t,则EF=2t+2t-10=8,解得 ∴.四边形ADCF是平行四边形. 1=4.5. (2)当△ABC满足CA=CB时，四边形ADCF是 即当t为4.5或0.5时，以E,G,F,H为顶点的四 矩形.理由如下：由(1)，得四边形DBCF是平行四 边形是矩形， 边形，∴DF=BC.CA=CB,CA=DF,∴.平 第3课时菱形的性质和判定 行四边形ADCF是矩形 1.D2.C3.D4.B5.D 15.解：(1)证明：AD平分∠BAC, 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∠BAD=2∠BAC. .AB=CD,AB∥CD 又，BE=AB, 又：AE平分∠BAF,∠BAE=∠BAR, ..BE=CD,BE//CD, :∠BAC+∠BAF=180°，∴.∠BAD+∠BAE= .四边形BECD是平行四边形， ☑BAC+∠BAFP)=号×180°=90，即∠DAE= .BD=EC. (2),四边形BECD是平行四边形， 90°，故DA⊥AE. ∴.BDCE, (2)AB=DE.证明：，AB=AC,AD平分∠BAC, .∠AB0=∠E=50° .AD⊥BC,故∠ADB=90°.，BE⊥AE, 又，四边形ABCD是菱形， .∠AEB=90. .AC⊥BD,∠BOA=90°， 又，∠DAE=90°，∴四边形AEBD是矩形， ∴.∠BAO=90°-∠AB0=40 ∴AB=DE. 7.C8.B9.菱四条边相等的四边形是菱形 16.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， 10.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABCD,AD∥BC,∠B=90°， ∴.AE∥FC,.∠EAC=∠FCA. ∴.∠BAC=∠DCA. ,O为AC的中点，∴AO=CO. .'AB=6 cm,BC=8 cm, 又，∠AOE=∠COF, 在Rt△ABC中，AC-√AB+BC=10cm. .△AOE≌△COF(ASA),.EO=FO :G,H分别是AB,DC的中点， :AO=CO,.四边形AFCE是平行四边形. ∴AG=2AB.CH=2CD,∴AG=CH. EF⊥AC,∴.四边形AFCE为菱形. 11.C12.D13.D14.C15.45 ,E,F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C 16.AB⊥BC17.①②④ 同时出发，相向而行，速度均为2cm/s, 18.解：(1)证明：ABCD, ∴.∠ABC+∠BCD=180° 又AB=AC,∠ABE=∠ACF=180°-60°=120°， :∠ADC=∠ABC,∴.∠ADC+∠BCD=180°， .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF, .AD∥BC. ..CE-CF=CE-BE=BC=AB=5, 又，ABCD,.四边形ABCD是平行四边形. .CE,CF的数量关系是CE一CF=5. (2)当∠FCE=∠DCE时，四边形EFCD是菱形. 第4课时正方形的性质和判定 理由如下： 1.D2.C3.A4.85.67.5°6.A7.B ,EF∥AB,BF∥AE, 8.证明：(1)，AB=AC,点D是边BC的中点， .四边形ABFE是平行四边形，∴.AB=EF. .BD=CD,AD⊥BC,.∠ADC=90 ,四边形ABCD是平行四边形， :AE∥BD,DE∥AB,.四边形AEDB为平行四 ∴.ABCD,AB=CD,∴.CDEF,CD=EF, 边形， ∴.四边形EFCD是平行四边形. ..AE=BD=CD. ,CD∥EF,∴∠FEC=∠DCE. 又，AE∥DC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 又，∠FCE=∠DCE,∴∠FEC=∠FCE, ,∠ADC=90°，∴.四边形ADCE是矩形. ..EF=FC, (2)设AC与DE相交于点O. '.平行四边形EFCD是菱形 DE∥AB,∠BAC=90°， 19.解：(1)证明：EF∥AB,PQ∥AC, ∴.∠DOC=∠BAC=90°，即AC⊥DE. .四边形AEPQ为平行四边形， 又，由(1)知四边形ADCE是矩形， ∴∠BAD=∠EPA. ∴，四边形ADCE是正方形 :AD平分∠CAB,∠CAD=∠BAD 9.210.C11.A12.B13.B14.A .∠CAD=∠EPA,∴.EA=EP,∴.四边形AEPQ 9 16.5 为菱形. 1520-+2 1 17.解：两人都理由：如图所示，延长NP,交AD于 (2)当P为EF的中点时，S装彩AQ=2S日边彩即Q: 点F,则四边形AMPF为正方形. 四边形AEPQ为菱形，.AD⊥EQ. ,四边形ABCD是正方形， ,AB=AC,AD平分∠BAC, .∠ABC=90°，AB=AD. .AD⊥BC,.EQ∥BC. PM⊥AB,PN⊥BC, 又，EF∥AB,.四边形EFBQ ∴.∠PMB=90°，∠PNB=90° 为平行四边形 .四边形PNBM是矩形， 如图所示，过点E作EN⊥AB于点N, .PN=MB,∠MPN=90° 则S英BAEO=EP·EN=2 EF·EN ,四边形AMPF是正方形， .AM AF PM PF 2S阳边带0： ∠PFA=90 .AB=AD,..MB=FD. 20.解：(1)连接AC. PN=MB,.PN=FD. ,四边形ABCD是菱形，∠B=60°， 又，PM=PF,∠PFD=∠MPN=90°， ∴.△ABC,△ACD都是等边三角形， .△MPN≌△PFD(SAS),∴.PD=MN, ∴.∠BAC=60°，AB=AC,∠ACD=60° ∠PNM=∠FDP. ∠EAF=60°， :∠NPE=∠FPD, ∴.∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE, ∴.∠NPE+∠PNM=∠FPD+∠FDP=90°， 即∠BAE=∠CAF. ∴.∠PEN=90°，PD⊥MN. 又AB=AC,∠B=∠ACF=60°， 18.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .△ABE≌△ACF(ASA)..BE=CF .AB=DC,∠A=∠D=90°. ∴.CE+CF=BC=AB=5. :M为AD的中点，.AM=DM (2)CE-CF=5.证明：连接AC. (AM=DM, :∠EAB=60°-∠BAF,∠CAF=60°-∠BAF, 在△ABM和△DCM中，∠A=∠D, ∴.∠EAB-∠FAC. AB=DC, 6 ∴.△ABM2△DCM(SAS) ∠CAH=90°，∴.∠ADD1=∠CAH,△ADD2 (2)当AB:AD=1:2时，四边形MENF是正 △CAH(AAS),.DD,=AH.同理EE1=BH. 方形. ∴.DD1+EE1=AH+BH=AB 理由：AB:AD=1:2AB=号AD, (3)DD-EE=AB. 6.4三角形的中位线定理 ∴.AM=AB, 1.D2.A3.204.8 .∠AMB=45°，同理∠DMC=45°， 5.证明：如图所示，连接EF.,D,E,F .∠EMF=90 分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE∥ .△ABM≌△DCM,∴.BM=CM AC,DF∥AB,EF∥BC,.四边形 ,M,N分别是边AD,BC的中点，E,F分别是线 AEDF是平行四边形. 段BM,CM的中点， 又，EF∥BC,AD⊥BC, ∴.MN⊥BC,EM=EN=MF=NF, AD⊥EF ∴.四边形MENF是菱形. ∴.□AEDF是菱形. ,∠EMF=90°，.四边形MENF是正方形. 6.A7.B 19.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠ADB=∠CDB=45°，DA=DC. 8.4.59.2710.2 DA=DC, 11.证明：如图所示，作CF的中点G,连接DG, 在△DAH和△DCH中，∠ADH=∠CDH, 则FG=GC DH=DH, :D为BC的中点，.BD=DC, .△DAH≌△DCH(SAS), .DG∥BF, .∠DAH=∠DCH. .AE:ED=AF:FG (2)结论：△GFC是等腰三角形 E为AD的中点，∴AE=ED, 理由：，△DAH≌△DCH,.∠DAF=∠DCH .AF=FG, ,CG⊥HC,.∠FCG+∠DCH=90° ..AC=3AF. .∠FCG+∠DAF=90°， :∠DFA+∠DAF=90°，∠DFA=∠CFG, ∴.∠CFG=∠FCG,∴.GF=GC,∴，△GFC是等腰 三角形. 20.解：(1)：在正方形ACFD中，AC=AD, 12.解：【定理证明】图略.E是AC的中点， ∠CAD=90°， ..AE=EC. .∠DAD,+∠CAB=90°.又，DD1⊥l, DE=EF,∠AED=∠CEF,∴.△AED≌ .∠DD1A=90°，.∠D1DA+∠DAD1=90°， △CEF(SAS), ∴∠CAB=∠D1DA. ∴.AD=CF,∠DAE=∠ECF,.BDCF. :四边形BCGE为正方形，∴∠ABC=∠CBE D是AB的中点，AD=DB,BD=CF, 90°， ∴.四边形DBCF是平行四边形， .∴.∠ABC=∠DD1A. .BC=DF=2DE,BC∥DE. (∠DD1A=∠ABC, 【合作交流D 在△ADD1和△CAB中，∠ADD,=∠CAB, 【定理应用】(2b-a) DA=AC, 专题一特殊平行四边形的 .△ADD≌△CAB(AAS), 性质和判定综合题 ∴DD1=AB. 1.解：(1)如图所示 (2)DD1十EE1=AB.理由：过点C作CH⊥L,垂 足为H.:DD1⊥AB,.∠DD1A=∠CHA=90, ∠DAD十∠ADD1=90°.：四边形CADF是正 方形，∴.AD=CA,∠DAC=90°，∴∠DAD1+ (2)证明：点E,F分别为OA,OB的中点，